《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末考試試題及答案

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末考試試題及答案《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末考試試題（A）專業(yè)、班級：______姓名：______學(xué)號：______一、單項選擇題（每題3分共18分）1.若事件A、B適合P(AB)=0，則以下說法正確的是(D)。(A)A與B互斥(互不相容);(B)P(A)=0或P(B)=0;(C)A與B同時出現(xiàn)是不可能事件;(D)P(A)>0，則P(B|A)=P(AB)/P(A)=0/P(A)=0。2.設(shè)隨機變量X其概率分布為X-1012P0.20.30.10.4，則P{X≤1.5}=P{X=0}+P{X=1}=0.3+0.1=0.4。3.設(shè)事件A1與A2同時發(fā)生必導(dǎo)致事件A發(fā)生，則下列結(jié)論正確的是（C）。(A)P(A)=P(A1A2)不一定成立；(B)P(A)≥P(A1)+P(A2)?1不一定成立；(C)P(A)=P(A1∪A2)成立；(D)P(A)≤P(A1)+P(A2)?1不一定成立。4.設(shè)隨機變量X~N(?3,1),Y~N(2,1),且X與Y相互獨立,令Z=X?2Y+7，則Z~N(1,5)。5.設(shè)X1,X2,?,Xn為正態(tài)總體N(μ,σ2)的一個簡單隨機樣本，其中σ=2,μ未知，則S2是一個統(tǒng)計量。6.設(shè)樣本X1,X2,?,Xn來自總體X~N(μ,σ2),σ未知。統(tǒng)計假設(shè)為H0：μ=μ0（μ已知），H1：μ≠μ0。則所用統(tǒng)計量為t=(X?-μ0)/(S/√n)。二、填空題(每空3分共15分)1.P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(A)/P(A)=1。2.X的密度函數(shù)f(x)=dF(x)/dx=e^(-x)(1+x)，P(X>2)=1-F(2)=e^(-2)。3.θ?是總體分布中參數(shù)θ的無偏估計量，θ?是總體分布中參數(shù)θ的一致最小方差無偏估計量。(1)根據(jù)給出的概率分布，可以列出隨機變量X和Y的聯(lián)合分布表如下：|X/Y|-1|1||:-------:|:-------:|:-------:||-1|1/4|1/2||1|1/12|1/24|(2)判斷X與Y是否相互獨立，需要計算邊緣分布并比較。邊緣分布如下：P(X=-1)=1/3P(X=1)=2/3P(Y=-1)=1/4+1/12=1/3P(Y=1)=1/2+1/24=13/24由于P(X=-1)P(Y=-1)=1/9≠P(X=-1,Y=-1)=1/4，所以X與Y不是相互獨立的。解：七、首先需要修改第一句話的語法錯誤。聯(lián)合密度函數(shù)為：$$f(x,y)=\begin{cases}12e^{-(3x+4y)},&x>0,y>0\\0,&\text{其他}\end{cases}$$(1)要求$P(0\leqX\leq1,0\leqY\leq2)$，計算如下：$$P(0\leqX\leq1,0\leqY\leq2)=\iint_{0\leqx\leq1,0\leqy\leq2}12e^{-(3x+4y)}dxdy$$(2)要求$X$的邊緣密度，計算如下：$$f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy=\begin{cases}3e^{-3x},&x>0\\0,&x\leq0\end{cases}$$六、工廠出售一臺設(shè)備的凈盈利$Y$可表示為：$$Y=\begin{cases}100,&X\geq1\\-200,&-300<X<1\end{cases}$$則$P(Y=100)=e^{-4}$，$P(Y=-200)=1-e^{-4}$。因此，工廠出售一臺設(shè)備的凈盈利的期望為：$$E(Y)=100\cdote^{-4}-200\cdot(1-e^{-4})\approx33.64\text{元}$$九、已知$X$和$Y$的數(shù)學(xué)期望分別為$-2$和$2$，方差分別為$1$和$4$，相關(guān)系數(shù)為$-0.5$。則有：$$E(2X-Y)=2E(X)-E(Y)=-6$$$$D(2X-Y)=2^2D(X)+D(Y)-4cov(X,Y)=12$$十、1000戶居民每日用電量服從$[0,20]$上的均勻分布，由中心極限定理可知，這1000戶居民每日用電量的總和近似服從均值為$1000\cdot10=10000$，方差為$1000\cdot\frac{20^2}{12}=333333.33$的正態(tài)分布。因此，這1000戶居民每日用電量超過$10100$度的概率為：$$P\left(\frac{X-10000}{\sqrt{333333.33}}>\frac{10100-10000}{\sqrt{333333.33}}\right)=1-\Phi(0.27)\approx0.395$$其中$\Phi(x)$表示標準正態(tài)分布函數(shù)。假設(shè)有1000戶居民，第i戶居民的用電量為Xi，則Xi服從均值為μ=20的連續(xù)均勻分布，即Xi~U[20,100+20]，即Xi~U[20,120]。如果已知第i戶居民的用電量，我們可以計算出每戶用電量的期望值為E(Xi)=70和方差為Var(Xi)=400/3。如果我們想知道1000戶居民的用電量總和X，我們可以使用中心極限定理。由于每戶用電量是獨立同分布的，我們可以得到X~N(1000*70,1000*400/3)?，F(xiàn)在我們想知道X>10100的概率。根據(jù)標準正態(tài)分布表，我們可以得到P(Z>1.96)=0.025，其中Z是標準正態(tài)分布的隨機變量。因此，我們可以得到P(X>10100)=P(Z>(10100-1000*70)/sqrt(1000*400/3))=P(Z>3.06)=0.001。因此，1000戶居民的用電量超過10100的概率為0.001。假設(shè)我們從總體X中取樣本x1,x2,…,xn，其中X的密度函數(shù)為f(x)=(θ+1)x^θ，其中θ>0是未知的。我們想要求θ的最大似然估計。首先，我們可以寫出似然函數(shù)L(x1,x2,…,xn,θ)=∏(θ+1)xi^θ。然后，我們可以對似然函數(shù)取對數(shù)，得到lnL(x1,x2,…,xn,θ)=nln(θ+1)+θ∑ln(xi)。對θ求導(dǎo)數(shù)，得到dlnL/dθ=n/(θ+1)+∑ln(xi)，令其等于0，解得θ的最大似然估計為θ^=(-n/∑ln(xi))-1。假設(shè)我們從某商店每天每百元投資的利潤率X中