一元二次方程綜合培優(yōu)(難度大-含參考答案)

一元二次方程綜合培優(yōu)(難度大-含參考答案)1、已知$\frac{x^2}{3}-2x+1=-5x-2000$，求$\frac{x-2}{2004}$的值。2、已知$a^2-2004a+1=0$，求$2a^2-4007a+4$的值。3、若$ab\neq1$，且$5a^2+2005a+7=0$，$7b^2+2005b+5=0$，求$\frac{a}$的值。4、已知方程$2x^2-2ax+3a-4=0$沒有實數(shù)根，則代數(shù)式$a^2-8a+16+2-a$的值為多少？5、已知$y=2x+6-x$，求$y$的最大值。6、已知$a+b+c=0$，$abc=2$，$c\neq0$，則（）。A、$ab=\pi$B、$a+b\leq-2$C、$a+b\leq-3$D、$a+b\leq-4$7、已知$a-b=8$，$ab+c^2+16=0$，求$a+b+c$的值。8、已知$m^2+m-1=0$，求$m^3+2m^2-2006$的值。9、已知$a-b=4$，$ab+c^2+4=0$，求$a+b$的值。10、若方程$x^2+px-q=0$的兩根為$x_1,x_2$，且$x_1\neq1$，$p+q+3\neq0$，則$x_2$（）。A、小于1B、等于1C、大于1D、不能確定11、已知$\alpha$是方程$x^2+x-\frac{1}{3}=0$的一個根，則$\alpha^3-11\alpha$的值為多少？12、若$3x^2-x=1$，求$9x^4+12x^3-2x^2-7x+2008$的值。13、方程$3x+2-3x^{-2}=2$的解為多少？14、已知$2x^2-6x+y^2=0$，求$x^2+y^2+2x$的最大值。15、方程$x^2-2|x|+2=m$恰有三個實根，則$m$等于多少？16、方程$x^2+3x-\frac{3}{4}=9$的全體實數(shù)根之積為多少？17、關(guān)于$x$的一元二次方程$2x^2-5x-a=0$的兩根之比$x_1:x_2=2:3$，則$x_2-x_1$等于多少？18、已知$\alpha,\beta$是方程$x^2+x-1=0$的兩個實根，則$\alpha^4-3\beta$的值為多少？19、若關(guān)于$x$的方程$\frac{2ax+a}{x-1}+\frac{x}{x-a}=0$只有一解，求$a$的值。注：原文中的“”符號無法識別，已改為“$\neq$”。1、已知$x^2-5x-2000=0$，則$\frac{(x-2)^3-(x-1)^2+1}{x-2}$的值是（D）$-5x-2000$，則$x$的值是（D）2004。2、已知$a^2-2004a+1=0$，則$2a^2-4007a+2002$的值是2002。3、實數(shù)$x,y$滿足方程$x^2+2y^2-2xy+x-3y+1=0$，則$y$的最大值是$\frac{1}{3}$。4、方程$\left(x^2+x-1\right)=1$的所有整數(shù)解的個數(shù)是（C）4。5、已知關(guān)于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的兩根分別為$-3$和$1$，則方程$bx^2+cx+a=0$的兩根為$-1$和$3$。6、實數(shù)$x,y$滿足$x^2+xy+y^2=2$，記$u=x^2-xy+y^2$，則$u$的取值范圍是$1\lequ\leq2$。7、已知實數(shù)$m,n$滿足$m^2+m-2009=0$，則$m+n\neq-1$且$m-n=\frac{\sqrt{8037}}{2}$。9、已知方程$x^2+(2k+1)x+k^2-2=0$的兩實根的平方和等于$11$，則$k$的取值是（A）$-3$或$1$。10、設(shè)$a,b$是整數(shù)，方程$x^2+ax+b=0$有一個實數(shù)根是$7-\sqrt{43}$，則$a+b=-9$。13、已知方程$ax^4-(a-3)x^2+3a=0$的一根小于$-2$，另外三根皆大于$-1$，求$a$的取值范圍是$0<a<\frac{4}{3}$。14、已知關(guān)于$x$的方程$x^2-2x+k=0$有實數(shù)根$x_1$，$x_2$，且$y=x_1^3+x_2$，則$y$沒有最大值或最小值。15、求所有有理數(shù)$q$，使得方程$qx^2+(q+1)x+(q-1)=0$的所有根都是整數(shù)，答案是$q=0$或$q=-2$。3、若ab1，且$5a^2+2005a+7=0$，$7b^2+2005b+5=0$，則$\frac{1}{a}+\frac{1}$的值為多少？解析：由$7b^2+2005b+5=0$得：$$5\left(\frac{1}\right)^2+2005\left(\frac{1}\right)+7=0$$因為$ab\neq1$，即$a\neq\frac{1}$，所以可以把$a$和$b$看作一元二次方程$5x^2+2005x+7=0$的兩根。根據(jù)二次方程的求根公式，有$$a+b=\frac{-2005}{5}=-401$$$$ab=\frac{7}{5}$$所以$$\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{a+b}{ab}=-\frac{401}{7}$$答案為$-\frac{401}{7}$。4、已知方程$2x^2-2ax+3a-4=0$沒有實數(shù)根，則代數(shù)式$a^2-8a+16+2-a$的值為多少？解答：已知方程$2x^2-2ax+3a-4=0$沒有實數(shù)根，所以根的判別式$\Delta<0$，即$(-2a)^2-4\times2\times(3a-4)<0$，解得$a\in(2,4)$。代入$a^2-8a+16+2-a$得$$a^2-7a+18=(a-2)(a-9)$$因為$a\in(2,4)$，所以$a-2>0$，$a-9<0$，所以$(a-2)(a-9)<0$，即$a^2-7a+18<0$，所以$$a^2-8a+16+2-a=2$$答案為$2$。5、已知$y=2x+6-x$，則$y$的最大值為多少？解析：令$6-x=t\geq0$，則$x=6-t$。代入$y=2x+6-x$得$y=-2t+t+12=-t+12$。因為$t\geq0$，所以$y$關(guān)于$t$的二次函數(shù)開口向下，最大值在$t=0$處取得，即$y=12$。答案為$12$。6、已知$a+b+c=0$，$abc=2$，$c\neq0$，則$a+b$的取值范圍為多少？解析：由$a+b+c=0$得$a+b=-c$。由$abc=2$得$ab=\frac{2}{c}$。因為$c\neq0$，所以$ab$有意義。把$a$和$b$看作方程$x^2+cx+\frac{2}{c}=0$的兩根，則根的判別式為$\Delta=c^2-\frac{8}{c}\geq0$，解得$c\geq2$或$c\leq-2$。因為$c\neq0$，所以$c>0$或$c<0$。若$c>0$，則$a+b=-c<0$；若$c<0$，則$a+b=-c>0$。所以$a+b$的取值范圍為$a+b\leq-2$或$a+b\geq2$。答案為$a+b\leq-2$。答案：x2=1考點：二次方程的解、系數(shù)與根的關(guān)系。分析：根據(jù)已知條件，可以列出方程組，解出p和q，然后根據(jù)二次方程的解的性質(zhì)求出x2。解答：由題意得：x1x2p，x1x2q又x11，pq3∴x2px1代入x1x2q中，得x1px1q∴x12px1q0∴x1pp24q2，且x2pp24q2∵x11∴pp24q21∴p24q0又pq3∴qp3代入p24q0中，得p24q代入qp3中，得p31∴x2px1ppp24q21歸納：本題考查了二次方程的解的性質(zhì)，以及系數(shù)與根的關(guān)系。解題關(guān)鍵在于列出方程組，解出p和q，然后代入求解。分析：根據(jù)方程的同解原理，令y=3x-2，則原方程可化為y^2-3=2，即y^2=5，解得y=±√5。代回原式，解得x=(y+2)/3，因此解為x=(√5+2)/3或x=(-√5+2)/3。改寫：根據(jù)方程的同解原理，我們可以令y=3x-2，這樣原方程就可以化為y^2-3=2，即y^2=5。解出y=±√5后，再將其代回原式，解得x=(y+2)/3，因此方程的解為x=(√5+2)/3或x=(-√5+2)/3。這道題的關(guān)鍵在于運用同解原理，將方程轉(zhuǎn)化為更易解的形式。、x4或x1，但x1不是實數(shù)根，故舍去。當y3時，x23x73，解得x2或x5，但x5不是實數(shù)根，故舍去。所以方程的實數(shù)根為x2或x4，積為8，絕對值為8，故答案為A。歸納：本題考查換元法解分式方程的思想，通過巧妙的變形，將原方程化為整式方程求解，注意對解的判別與篩選。17、已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(1,3)，且與x軸交于點(2,0)，則f(x)的解析式為（）A、f(x)2x27x3B、f(x)2x27x3C、f(x)2x27x3D、f(x)2x27x3答案：A考點：二次函數(shù)的基本性質(zhì)。分析：由題意可知，二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(1,3)，且與x軸交于點(2,0)，故f(1)3，f(2)0，故f(x)a(x1)(x2)的解析式。解答：由f(x)a(x1)(x2)，代入f(1)3，f(2)0，得a(11)(12)3，a(21)(22)0解得a3，所以f(x)3(x1)(x2)2x27x3點評：本題是中檔題，考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)，通過題目中給出的條件，列出方程解答即可，注意解析式的系數(shù)與圖象的開口方向的對應(yīng)關(guān)系。(1)對于任意給定的x1和x2，如果f(x1)≠f(x2)，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，f(x)在x1和x2之間必定有一個零點。因為二次函數(shù)的圖像是一個開口朝上或者開口朝下的拋物線，如果它在x1和x2之間沒有零點，那么它的圖像就必定是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的，這樣就不可能存在兩個不相等的x1和x2使得f(x1)≠f(x2)，因此f(x)在x1和x2之間必定有一個零點。(2)根據(jù)題意，f(x1)+f(x2)有兩個不相等的實根，且在(x1,x2)內(nèi)有一個為m，另一個為x1+x2-m。因為f(x)是二次函數(shù)，所以它的圖像是一個開口朝上或者開口朝下的拋物線，且對稱軸為x=-b/2a。根據(jù)題意可知，在(x1,x2)內(nèi)存在一個實根m，因此f(m)=0，即am^2+bm+c=0。又因為f(x1)+f(x2)有兩個不相等的實根，因此f(x1)+f(x2)=2am^2+2bm+2c有兩個不相等的實根，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，其兩個根的和為-2b/a，因此有2am^2+2bm+2c=-2b/a，即am^2+bm+c=-b/2a。因此，m是f(x)的一個零點，且位于(x1,x2)內(nèi)，另一個零點為x1+x2-m，也位于(x1,x2)內(nèi)。因此，f(x)在(x1,x2)內(nèi)有兩個不相等的實根。若$f(x)$關(guān)于對稱軸$x=x$對稱，證明：$x=\frac{\pi}{m^2}$?？键c：一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)的性質(zhì)；等差數(shù)列的性質(zhì)。專題：計算題；轉(zhuǎn)化思想。分析：（1）通過計算一元二次方程的判別式，如果大于0，則方程有兩個不相等的實數(shù)根；設(shè)方程對應(yīng)的函數(shù)為$g(x)$，由$g(x_1)g(x_2)<0$，可得方程有一個根屬于$(x_1,x_2)$。（2）由題意可得$f(m)=\frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]$，即$a(\frac{\pi}{m^2})^2+b\frac{\pi}{m^2}+c=\frac{1}{2}[a(x_1^2+x_2^2)+b(x_1+x_2)+2c]$，由于$x_1+x_2=2x$，即$a(2x^2-x_1^2-x_2^2)+b(2x-x_1-x_2)=0$，證得結(jié)論$x=\frac{\pi}{m^2}$，故$b=-a(2m^2-x_1^2-x_2^2)/(2x_1x_2)$。解答：證明：（1）因為$f(x)=ax^2+bx+c$關(guān)于對稱軸$x=x$對稱，所以$f(x)=f(2x-x)=a(2x-x)^2+b(2x-x)+c=a(4x^2-4x+1)+b(2x-2x+1)+c=2a(x^2-x)+a+b+c$。設(shè)$g(x)=f(x)-\frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]$，則$g(x)=f(x)-\frac{1}{2}[ax_1^2+bx_1+c+ax_2^2+bx_2+c]=ax^2+bx+c-\frac{1}{2}[ax_1^2+bx_1+c+ax_2^2+bx_2+c]=a(x-x_1)(x-x_2)$。由$g(x_1)g(x_2)<0$，可得方程有一個根屬于$(x_1,x_2)$，即$x=\frac{x_1+x_2}{2}=x=\frac{\pi}{m^2}$。（2）因為$f(m)=\frac{1}{2}[f(x_1)+f(x_2)]$，所以$a(\frac{\pi}{m^2})^2+b\frac{\pi}{m^2}+c=\frac{1}{2}[a(x_1^2+x_2^2)+b(x_1+x_2)+2c]$，即$a(\frac{\pi}{m^2})^2+b\frac{\pi}{m^2}+c=\frac{1}{2}[2a(2m^2-x_1^2-x_2^2)+b(2x_1+2x_2)+4c]$，化簡得$a(\frac{\pi}{m^2})^2+b\frac{\pi}{m^2}+c=a(x_1^2+x_2^2-4m^2)+b(x_1+x_2-2\frac{\pi}{m^2})+2c$，因為$x_1+x_2=2x$，所以$b=-a(2m^2-x_1^2-x_2^2)/(2x_1x_2)$。綜上所述，$x=\frac{\pi}{m^2}$。1.若$x-1=1$，則$x^3-3x$的值為多少？解答：由$x-1=1$得$x=2$，代入$x^3-3x$中得$2^3-3\times2=4$，因此答案為$\text{B}.$歸納：本題關(guān)鍵是將$x-1=1$作為整體，然后將$x^3-3x$進行因式分解變形解答。2.已知實數(shù)$\alpha$、$\beta$滿足$\alpha^2+3\alpha-1=0$，$\beta^2-3\beta-1=0$，且$\alpha\beta\neq1$，則$\alpha-2+3\beta$的值為多少？解答：由$\beta^2-3\beta-1=0$得$1-3\beta=\beta^2$，即$\beta^2+3\beta-1=0$，由$\alpha\beta\neq1$可知$\alpha\neq\frac{1}{\beta}$，因此$\alpha^2+\alpha\beta-2\alpha\beta-\frac{1}{\beta^2}=\alpha^2-2\alpha\beta+\frac{1}{\beta^2}=(\alpha-\frac{1}{\beta})^2=4$，即$\alpha-\frac{1}{\beta}=\pm2$，又因為$\alpha\beta\neq1$，所以$\alpha=-\beta+3$，代入$\alpha-2+3\beta$得$10$，因此答案為$\text{D}$。歸納：本題是通過構(gòu)造一元二次方程的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題。3.實數(shù)$x$、$y$滿足方程$x^2+2y^2-2xy+x-3y+1=0$，則$y$的最大值為多少？解答：將方程變形為關(guān)于$x$的一元二次方程$x^2+(1-2y)x+2y^2-3y+1=0$，由于此方程有解，所以$\Delta\geq0$，即$(1-2y)^2-8(2y^2-3y+1)\geq0$，解得$y\leq\frac{1}{4}$或$y\geq\frac{3}{2}$，又因為$y$為實數(shù)，所以$y$的最大值為$\frac{3}{2}$，因此答案為$\text{B}$。點評：本題考查了一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$，$a$，$b$，$c$為常數(shù)）根的判別式。當$\Delta>0$，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當$\Delta=0$，方程有兩個相等的實數(shù)根；當$\Delta<0$，方程沒有實數(shù)根。同時考查了轉(zhuǎn)化思想的運用和一元二次不等式的解。4.方程$2x-x^2=2$的正根的個數(shù)為多少？解答：將方程變形為$x^2-2x+2=0$，由于$\Delta<0$，所以方程沒有實數(shù)根，因此答案為$\text{0}.$歸納：本題考查了一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$，$a$，$b$，$c$為常數(shù)）根的個數(shù)。當$\Delta>0$，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當$\Delta=0$，方程有兩個相等的實數(shù)根；當$\Delta<0$，方程沒有實數(shù)根。分析：已知方程的兩個根為-3和1，所以可以得出方程的因式為$a(x+3)(x-1)$。然后將$b$和$c$用$a$表示，代入另一個方程中，進行因式分解求根。解答：因為方程的兩個根為-3和1，所以方程可以表示為$a(x+3)(x-1)=0$。將其展開得到$ax^2+2ax-3a=0$，所以$b=2a$，$c=-3a$。將$b$和$c$代入方程$bx^2+cx+a=0$，得到$2ax^2-3ax+a=0$。將其因式分解得到$a(2x-1)(x-1)=0$，因此方程的兩個根分別為$\frac{1}{2}$和1，即$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=1$。點評：本題考查了解一元二次方程的方法，需要熟練掌握因式分解和求根的方法。同時，需要注意代數(shù)式的轉(zhuǎn)化和化簡，避免出現(xiàn)計算錯誤。已知實數(shù)$m$，$n$滿足$m^2+m-2009=0$，求$\dfrac{2009-n}{2mn-n}$的值。解析：由$m^2+m-2009=0$得$\Delta=1+8036=8037$，所以$m_1=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{8037}}{2}$，$m_2=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{8037}}{2}$，又因為$m_1+m_2=-1$，$m_1m_2=-2009$，所以$n=\dfrac{-1-m_1}{m_1m_2}$，即$n=\dfrac{2}{m_1}-1$。所以$\dfrac{2009-n}{2mn-n}=\dfrac{2009-\frac{2}{m_1}+1}{2mn+\frac{2}{m_1}}=\dfrac{2010-\frac{4}{m_1}}{2m\cdot\frac{2}{m_1}}=\dfrac{1005m_1}{2m}=\dfrac{1005\sqrt{8037}-1005}{2}$。，0）、B（x2，0），且A，B兩點的橫坐標之和為2，那么b，c的取值是（）A、b0，c0或b2，c1B、b0，c1或b2，c0C、b0，c1或b2，c1D、b0，c1或b2，c1答案：D考點：函數(shù)的圖象；解一元二次方程；根的性質(zhì)。分析：由題意可知，函數(shù)的圖象與x軸交于兩個不同的點A（x1，0）、B（x2，0），且A，B兩點的橫坐標之和為2，因此x1x22。由于A，B兩點均為函數(shù)的零點，因此根據(jù)一元二次方程的根的性質(zhì)，可得到方程的系數(shù)與根之間的關(guān)系，從而解出b，c的值。解答：由題意得：x1x22，設(shè)函數(shù)的另一個根為x3，則有x1x2x3b1由一元二次方程的根的性質(zhì)可得：x1x2b1a1，x1x2c∴x3x1x2b1∴x1x2x1x2x3c∴a1bc∴abc又因為A，B兩點的橫坐標之和為2，因此有：x1x22∴b12∴b1又因為abc，因此有：cab1∴b1，c1故選D。歸納：本題考查的是函數(shù)的圖象與根的關(guān)系，利用根的性質(zhì)解一元二次方程，從而求出系數(shù)的值。需要注意的是，要根據(jù)題意設(shè)出方程，并理清方程中各個量之間的關(guān)系。12、已知關(guān)于x的方程$(a+2)x^2-2ax+a=0$有兩個不相等的實數(shù)根$x_1$和$x_2$，并且拋物線$y=x^2-(2a+1)x+2a-5$與x軸的兩個交點分別位于點$(2,0)$的兩旁。（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）當$x_1+x_2=22$時，求a的值?！痉治觥浚?）由一元二次方程的二次項系數(shù)不為和根的判別式求出a的取值范圍。設(shè)拋物線$y=x^2-(2a+1)x+2a-5$與x軸的兩個交點的坐標分別為$(\alpha,0)$、$(\beta,0)$，且$\alpha<\beta$，則$\alpha$、$\beta$是$(a+2)x^2-2ax+a=0$的兩個不相等的實數(shù)根，再利用$(a+2)x^2-2ax+a=0$的根的判別式求$a$的取值范圍，又因為拋物線$y=x^2-(2a+1)x+2a-5$與x軸的兩個交點分別位于點$(2,0)$的兩旁，利用根與系數(shù)的關(guān)系確定；（2）把代數(shù)式變形后，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出a的值。【解答】（1）由$(a+2)x^2-2ax+a=0$有兩個不相等的實數(shù)根$x_1$和$x_2$，得$$\Delta=(-2a)^2-4(a+2)a\geqslant0$$解得$a\in(-\infty,-\frac{1}{2}]\cup[2,\infty)$。又因為拋物線$y=x^2-(2a+1)x+2a-5$與x軸的兩個交點分別位于點$(2,0)$的兩旁，即$\alpha<2<\beta$，所以$$\begin{cases}\alpha\beta=2a-5\\\alpha+\beta=2(2a+1)\end{cases}$$解得$$\alpha=2a-3-\sqrt{a^2-14a+29},\quad\beta=2a-3+\sqrt{a^2-14a+29}$$因為$\alpha<\beta$，所以$$\begin{aligned}&2a-3-\sqrt{a^2-14a+29}<2a-3+\sqrt{a^2-14a+29}\\\Rightarrow\&\sqrt{a^2-14a+29}>0\\\Rightarrow\&a^2-14a+29>0\\\Rightarrow\&a\in(-\infty,2-\sqrt{2})\cup(2+\sqrt{2},\infty)\end{aligned}$$綜上，$a\in(-\infty,-\frac{1}{2}]\cap((-\infty,2-\sqrt{2})\cup(2+\sqrt{2},\infty))=[2+\sqrt{2},\infty)$。（2）因為$x_1+x_2=22$，所以$$\begin{aligned}&x_1x_2=\frac{a}{a+2}\\&x_1+x_2=\frac{2a}{a+2}\end{aligned}$$解得$$x_1,x_2=11\pm\sqrt{121-\frac{4a}{a+2}}$$因為$x_1,x_2$是實數(shù)，所以$$121-\frac{4a}{a+2}\geqslant0$$解得$a\leqslant8$。又因為$a\in[2+\sqrt{2},\infty)$，所以$a=8$。【答案】（1）$a\in[2+\sqrt{2},\infty)$；（2）$a=8$。解答：首先，格式錯誤已經(jīng)全部刪除，接下來對每段話進行改寫：已知方程$ax^4-(a-3)x^2+3a=0$的一根小于$-2$，另