概率論與數(shù)理統(tǒng)計PPT完整全套教學課件

隨機事件及其概率隨機事件及其概率隨機變量及其分布多維隨機變量隨機變量的數(shù)字特征大數(shù)定律與中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計的基本概念參數(shù)估計假設(shè)檢驗方差分析回歸分析全套可編輯PPT課件1.1隨機事件1.3概率的公理化定義1.2

古典概型和幾何概率1.4條件概率與事件的獨立性目錄1.5全概率公式和貝葉斯公式第1章隨機事件及其概率

自然界和日常生活中不斷地發(fā)生著各種各樣的現(xiàn)象，通?？梢詫⑵浞譃閮深?一類稱為確定性現(xiàn)象或必然現(xiàn)象，即在一定條件下必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象.例如，在沒有外力的作用下，做勻速直線運動的物體必然保持其勻速直線運動狀態(tài)；在一個標準大氣壓下，水加熱到100℃必然會沸騰；上拋的石子一定會落下；等等.另一類稱為隨機現(xiàn)象或偶然現(xiàn)象，即在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象.例如，投擲一枚硬幣，不能提前預(yù)知將出現(xiàn)正面還是反面；從一大批產(chǎn)品中任取一個，這個產(chǎn)品可能是正品也可能是次品；遠距離射擊，有可能擊中也有可能擊不中；等等.第1章隨機事件及其概率

顯然，隨機現(xiàn)象在每次試驗中是否出現(xiàn)帶有不確定性、偶然性.但人們通過長期的觀察和實踐發(fā)現(xiàn)，這些隨機現(xiàn)象在大量的重復(fù)試驗中呈現(xiàn)一定的規(guī)律性.例如，在相同的條件下，多次重復(fù)拋擲一枚均勻硬幣時出現(xiàn)正面和反面的次數(shù)幾乎相同.這種在大量重復(fù)試驗中，隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)的內(nèi)在規(guī)律性稱為統(tǒng)計規(guī)律性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計就是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門基礎(chǔ)學科，它從數(shù)量的角度給出隨機現(xiàn)象的描述，為人們認識和利用隨機現(xiàn)象的規(guī)律性提供了有利的理論工具.其理論和方法被廣泛地應(yīng)用于自然科學、社會科學、工程技術(shù)和經(jīng)濟管理等許多領(lǐng)域.1.1.1隨機試驗與隨機事件1.1隨

機

事

件

為了研究和揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，我們要對隨機現(xiàn)象進行大量的重復(fù)觀察，我們把觀察的過程稱為試驗.若一個試驗滿足以下要求：（1）可重復(fù)性：在相同的條件可以重復(fù)進行；（2）多可能性：每次試驗的結(jié)果具有多種可能性，并且試驗前可以明確所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（3）隨機性：試驗之前不能確定該次試驗將出現(xiàn)哪一種結(jié)果.則稱該試驗為隨機試驗，簡稱為試驗.通常用E表示.1.1.1隨機試驗與隨機事件在隨機試驗中，我們關(guān)心的是試驗的結(jié)果，這些可能的結(jié)果，被稱為隨機事件，簡稱為事件.通常用大寫字母A，B，C，…表示.例如，拋擲一枚均勻的骰子，觀察它出現(xiàn)的點數(shù)，顯然這是一個隨機試驗，不妨記為E.記{出現(xiàn)i點}（i=1，2，…，6），B={出現(xiàn)偶數(shù)點}，C={出現(xiàn)的點數(shù)不超過4}都為試驗E所產(chǎn)生的隨機事件.顯然上述事件都只包含一個不可再分解的最簡單的結(jié)果，這樣的事件稱為基本事件.而B、C則是由若干個基本事件組成的，這樣的事件稱為復(fù)合事件.概括地說，就是基本事件為不可分解的事件，復(fù)合事件可分解成多個基本事件.1.1.1隨機試驗與隨機事件

另外，隨機試驗中的有些結(jié)果是必然發(fā)生的，我們稱之為必然事件，記作；還有些結(jié)果是不可能發(fā)生的，稱之為不可能事件，記作.例如，上例中，{出現(xiàn)的點數(shù)不超過6}是必然事件；{出現(xiàn)的點數(shù)超過6}是不可能事件.今后為了討論方便，必然事件和不可能事件也看作隨機事件.1.1.2樣本空間

在一個隨機試驗中，我們首先關(guān)心的是其所產(chǎn)生的所有基本事件，從而引入了樣本空間這一概念.定義1.1

隨機試驗E的所有基本事件所組成的集合稱為E的樣本空間（samplespace），記為.其中的元素基本事件也稱為樣本點，記為

.顯然，樣本空間是全體樣本點的集合，即.而任意的隨機事件A則是部分樣本點構(gòu)成的集合，也是樣本空間的子集，即.所以，在具體問題中，給定樣本空間是對隨機現(xiàn)象進行數(shù)學描述的第一步.1.1.2樣本空間例1-1

在投擲一枚硬幣觀察其出現(xiàn)正面還是出現(xiàn)反面的試驗中，有兩個樣本點.記表示“正面”，表示“反面”,則樣本空間為.例1-2

記錄某電話臺在1min內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，記表示“接到i次呼叫”，則樣本空間.例1-3

從一批電視機中任意抽取一臺，測試它的使用壽命，則樣本空間為

.例1-4

設(shè)袋中裝有3個黑球(編號為1，2，3)，2個白球(編號為4，5)，現(xiàn)從中任取2球，觀察兩個球的號碼.設(shè)事件A表示“取出兩個白球”.1.1.2樣本空間（1）可以記樣本點表示“取出編號為i，j的球”，則樣本空間，事件.（2）也可以記樣本點表示“取出的第一個球編號為i，第二個球的編號為j”,則樣本空間，事件.在這個例子中，（1）中的樣本點不強調(diào)球的順序，（2）中的樣本點區(qū)分球的順序.這個例子也表明，同一個問題中可選不同的樣本點，但在選定樣本點后，隨機事件中的樣本點形式一定要與樣本空間中的形式一致.1.1.2樣本空間

在一個隨機試驗當中，可以有很多隨機事件.為了通過對簡單事件的研究來掌握比較復(fù)雜事件的規(guī)律，需要研究事件的關(guān)系及事件的運算。由于事件是集合，因此事件的關(guān)系及運算與集合的關(guān)系及運算類似.關(guān)鍵是要理解事件的關(guān)系與運算的概率意義.在下面的討論中，所涉及到的所有事件均屬于同一個樣本空間1.1.2樣本空間易知，對任意的事件A，有.若且，則稱事件A與B相等.記作A=B.1.事件的包含與相等若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，即若，則必有，則稱事件B包含事件A.記作或.1.1.2樣本空間若事件A和事件B至少有一個發(fā)生，這一事件稱為事件A與事件B的和（并），記作.顯.

這一定義可以推廣到有限個及可列多個事件的場合.一般地，事件“至少有一個發(fā)生”稱為這n個事件的和，記為，簡記為.稱事件“至少有一個發(fā)生”為這可列個事件的和，記為.2.事件的和（并）1.1.2樣本空間3.事件的積（交）若事件A和事件B同時發(fā)生，則這一事件稱為事件A與事件B的積（交）,記作或.則這一定義同樣可以推廣到有限個及可列多個事件的場合.一般地，事件“同時發(fā)生”稱為這n個事件的積，記為，簡記為.稱事件“同時發(fā)生”為這可列個事件的積，記為.

顯然有以下結(jié)論：1.1.2樣本空間3.事件的積（交）（1）對任意事件A、B有：.（2）如果，則.1.1.2樣本空間4.事件的差若事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生，則這一事件稱為事件A與B的差，記作.顯然

=，并且..1.1.2樣本空間5.互不相容（互斥）事件

若事件A與事件B在一次試驗中不能同時發(fā)生，即，則稱事件A與B是互不相容（或互斥）的.如果一組事件中任意兩個事件都是互不相容的，即則稱事件互不相容.顯然任一試驗的所有基本事件之間是互不相容的.我們約定，若事件A與B互不相容，則記它們的和事件為A+B，若互不相容，則記它們的和事件為或，即在本書中當用“+”或“”表示事件和時，隱含著參與求和的事件是互不相容的.1.1.2樣本空間6.互逆事件（對立事件）

如果在每次試驗中事件A與事件B有且只有一個事件發(fā)生，則稱事件A與B是互逆的（或?qū)α⒌模?其中一個事件是另一個事件的逆事件（或?qū)α⑹录?，記?

顯然，我們有以下結(jié)論：01事件A與B互逆02表示“A不發(fā)生”；031.1.2樣本空間6.互逆事件（對立事件）

任意事件A與事件B有，表示“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”.以上事件之間的關(guān)系與運算可以用文氏（Venn）圖來直觀的描述.若用平面上的一個矩形表示樣本空間，矩形內(nèi)的點表示樣本點，圓A與圓B分別表示事件A與事件B，則事件A與B之間的各種關(guān)系與運算如圖1-1所示.04圖1-11.1.2樣本空間6.互逆事件（對立事件）

類似集合的運算，事件的運算滿足以下運算法則：01020304交換律：結(jié)合律:分配律：得摩根（DeMorgan）對偶律：分配律和對偶律也可以推廣到有限或可列個事件的情形，即1.1.2樣本空間6.互逆事件（對立事件）

其中I是有限指標集或可列指標集.例1-5

設(shè)A、B、C表示三個事件，用A、B、C表示下列事件：（1）A發(fā)生而B與C都不發(fā)生；（2）A、B至少有一個發(fā)生而C不發(fā)生；（3）A、B、C中至少一個事件發(fā)生；（4）A、B、C中恰有一個事件發(fā)生；（5）A、B、C中至少兩個事件發(fā)生；（6）A、B、C中至多有一個事件發(fā)生；（7）三個事件都不發(fā)生；（8）三個事件不都發(fā)生.1.1.2樣本空間6.互逆事件（對立事件）

解：（1）B與C都不發(fā)生可表示為，故答案為或；（2）A、B至少有一個發(fā)生可表示為，故答案為；（3）由和事件的定義可知，答案為；（4）恰有一個事件發(fā)生有三種可能，即且它們互不相容.所以，A、B、C中恰有一個事件發(fā)生應(yīng)為這三個事件之和，故答案為；（5）事件都表示至少有兩個事件發(fā)生，故A、B、C中恰有兩個事件發(fā)生應(yīng)為；（6）A、B、C中至多有一個事件發(fā)生意味著沒有兩個或兩個以上事件同時發(fā)生，從而答案為；（7）三個事件都不發(fā)生即它們的逆事件都發(fā)生，故答案為；（8）三個事件不都發(fā)生即表示A、B、C不能同時出現(xiàn)，故用逆事件表示為；也可理解為至少有一個發(fā)生，從而也可表示成.顯然由對偶律可得.1.1.2樣本空間6.互逆事件（對立事件）

例1-6

一名射擊選手向同一目標射擊三次，事件表示第i次擊中目標.試用文字描述下列事件：.解

表示前兩次中至少有一次擊中目標；表示前兩次擊中目標而第三次沒有擊中目標；表示后兩次中至少有一次沒有擊中目標；表示三次設(shè)計中至多有一次命中目標.1.1.2樣本空間6.互逆事件（對立事件）

例1-7

設(shè)A、B、C表示三個事件，證明下列等式：（1）；（2）.

證（1）由差事件的運算及對偶律可得：，，從而.

1.1.2樣本空間6.互逆事件（對立事件）

證（2）利用對偶律及分配律可得：

在隨機試驗中，我們關(guān)心的是某個隨機事件是否發(fā)生，以及發(fā)生可能性的大小.它是隨機事件的客觀屬性，是可以度量的.隨機事件的概率就是從數(shù)量上描述隨機事件出現(xiàn)的可能性大小的一個數(shù)量指標.1.2古典概型和幾何概率1.2.1概率的統(tǒng)計定義

人們在長期的實踐中發(fā)現(xiàn)，雖然一次試驗中某個隨機事件可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，但在大量重復(fù)試驗中它卻呈現(xiàn)出明顯的規(guī)律性.要描述這種規(guī)律性，我們首先要引入頻率的概念.1.2.1概率的統(tǒng)計定義

定義1.2

設(shè)隨機事件A在n次重復(fù)試驗中出現(xiàn)k次，則稱比值為事件A在n次試驗中出現(xiàn)的頻率，記作.010203顯然，頻率具有如下性質(zhì)：對任意事件A，有對必然事件

，有若事件互不相容，則.1.2.1概率的統(tǒng)計定義

以最簡單的擲硬幣試驗為例.投擲一枚均勻的硬幣，可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.就一次試驗而言，我們看不出兩個結(jié)果發(fā)生的規(guī)律性，但如果做大量的重復(fù)試驗，就可以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律性.歷史上曾有不少人做過這類試驗，結(jié)果見表1-1.試驗者試驗次數(shù)n出現(xiàn)正面次數(shù)k頻率得摩根2

0481

0610.518蒲豐4

0402

0480.506

9K?皮爾遜12

0006

0190.501

6K?皮爾遜24

00012

0120.500

5維尼30

00014

9940.499

81.2.1概率的統(tǒng)計定義

可見，隨著試驗次數(shù)n的增加，出現(xiàn)正面的頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，即總在0.5附近擺動并且逐漸穩(wěn)定在0.5.類似的試驗還有：人們發(fā)現(xiàn)英語中各個字母被使用的頻率，質(zhì)量檢驗中某種產(chǎn)品出現(xiàn)次品的頻率，以及壽命在60~70歲的人占總?cè)丝诘谋壤?，等等，當觀察次數(shù)增多時，都呈現(xiàn)出某種穩(wěn)定性.上述種種情況均表明：當重復(fù)試驗的次數(shù)n逐漸增大時，事件A出現(xiàn)的頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，逐漸的穩(wěn)定于某個常數(shù).這個常數(shù)是事件A所固有的特性，它刻畫了事件A發(fā)生的可能性大小，我們把這個常數(shù)稱為事件A的概率.1.2.1概率的統(tǒng)計定義

定義1.3

在相同的條件下重復(fù)進行n次試驗，如果當n增大時，事件A出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù)p附近擺動，則稱常數(shù)p為事件A的概率，記作P(A).這一定義稱為概率的統(tǒng)計定義.

由上述定義，可以推出概率的以下性質(zhì)：

010203非負性：對任意事件A，有

；有限可加性：若事件互不相容，則.規(guī)范性：對必然事件，有；1.2.1概率的統(tǒng)計定義

我們注意到，雖然概率的統(tǒng)計定義適用于任何類型的隨機試驗，但由于用該定義確定事件的概率時，需要做大量的重復(fù)試驗.而在實際中不可能對每一個事件都做大量試驗，所以概率統(tǒng)計定義并沒有具體給出一個有效的計算概率的方法.要計算隨機事件A發(fā)生的概率P(A)是比較復(fù)雜的，而且不同類型的隨機試驗常有不同的計算方法.下面我們討論兩種簡單的概型——古典概型和幾何概型.1.2.2古典概型定義1.4

若隨機試驗E滿足下列條件：有限性：試驗樣本空間中只有有限個樣本點，即；等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性是相同的，即，

則稱此試驗為古典概型，或稱為等可能概型.若古典概型E的樣本空間

，則每個樣本點的概率為

設(shè)該試驗所產(chǎn)生隨機事件A中含有m個樣本點，則.例如，投擲一顆均勻的骰子，顯然為古典概型，其樣本空間中含有6個樣本點.設(shè)事件A出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)，則A中含有3個樣本點，所以.總結(jié)上述過程，可以給出古典概型中事件概率的計算公式.01021.2.2古典概型

定義1.5

設(shè)古典概型中共有n個樣本點，事件A中包含m個樣本點，則A的概率.（1-1）此式稱為概率的古典定義.由上述定義可以看出，利用概率的古典定義計算事件概率時，需要計算出樣本空間中樣本點的個數(shù)及事件中所含樣本點個數(shù).對較簡單的情況，可以把樣本空間中的樣本點一一列出，但當試驗較復(fù)雜時，就需要一定的技巧了.其中，排列、組合的知識是不可缺少的.另涉及兩條重要的計數(shù)規(guī)則：1.2.2古典概型

加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，若第i類方法中包含種方法，那么完成這件任務(wù)共有種不同的方法.

乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個步驟進行，若第i個步驟可以通過種方法完成，那么完成這件任務(wù)共有種不同的方法.這兩條計數(shù)規(guī)則的區(qū)別在于：加法原理表現(xiàn)出并行的特征，即每一種方法都可完成任務(wù)；而乘法原理表現(xiàn)出分步的特征，即每一步只能完成任務(wù)的一部分.在實際應(yīng)用中不可混淆.1.2.1概率的統(tǒng)計定義

例1-8

將一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)事件A為“恰好有一次正面”，事件B為“至少有一次正面”.求P(A)與P(B).

解

記正面為H，反面為T，則相應(yīng)的樣本空間為={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}.而事件A={HTT，THT，TTH}，B={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH}.所以P(A)=，P(B)=.上述使用的是列舉法，即將樣本空間及事件中的樣本點一一列舉，計算所得.也可以利用排列、組合結(jié)合加法原理、乘法原理計算樣本點個數(shù)，從而計算其概率.事實上，每拋擲一次硬幣會有兩種可能，所以由乘法原理拋擲三次一共有種可能，即樣本空間中有8個樣本點.

事件A表示只有一次正面，所以只需從三次中任選一次就可以，有種可能，即事件A含有3個樣本點.所以P(A)=.事件B為“至少有一次正面”，包含了三種情況：恰好有一次正面、恰好有兩次正面和恰好有三次正面.所以，由加法原理可知事件B中所含樣本點個數(shù)為.所以P(B)=.1.2.2古典概型

例1-9

箱中有50件外形一樣的同種產(chǎn)品，其中正品45件，次品5件.現(xiàn)按下列兩種方法抽取產(chǎn)品：（1）每次任取一件，觀察后放回箱中，再任取下一件，這種抽取方式叫做有放回抽樣；（2）每次任取一件，觀察后不放回，在剩下的產(chǎn)品中再任取一件，這種抽取方式叫做無放回抽樣.分別采用這兩種方法從中任取三件，求其中有兩件次品的概率.1.2.2古典概型

解

顯然為古典概型問題.記A為事件“三件中有兩件次品”.（1）有放回抽樣.由于每次抽取后都放回，所以所取的每件產(chǎn)品都有50種可能并且考慮產(chǎn)品的順序，故此時樣本空間中樣本點總數(shù).再考慮事件A中樣本點個數(shù)，首先考慮哪兩次取出的是次品，即從三次中任取兩次，則有種可能；再考慮具體產(chǎn)品，在上述的種可能中都是2件次品1件正品，故在每種可能下都有種取法.由乘法原理可知，事件A中所含樣本點個數(shù).所以P(A)=.1.2.2古典概型

（2）無放回抽樣。此時如果樣本點不考慮產(chǎn)品的順序，則樣本空間中樣本點個數(shù)，事件A中樣本點個數(shù)，故P(A)=.或采用排列即樣本點考慮產(chǎn)品順序時，樣本空間中樣本點個數(shù)，事件A中樣本點個數(shù)，故

P(A)=.1.2.2古典概型

在這個例子中，我們要注意以下幾點：①在有放回抽樣中，樣本點一定要考慮順序，否則樣本點個數(shù)難以計算.②在無放回抽樣中，樣本點中是否要考慮順序則要根據(jù)題意判斷，如果結(jié)果中強調(diào)順序，則一定要用排列；如果結(jié)果中沒有強調(diào)順序，則可用組合也可用排列.

在計算概率時，我們常會碰到有放回抽樣和無放回抽樣的問題，不同的抽樣方式，得出的概率往往是不同的.特別，當被抽取對象的數(shù)目較少時，差異會較大；但當被抽取的總數(shù)目較大，而抽取的數(shù)目較少時，這兩種抽取方式下的概率相差不大.概率論中，許多表面上屬性不同的實際問題，在數(shù)學模型上可以歸結(jié)為同一個問題，而解決了一個數(shù)學模型后，可用來解決一類實際問題.例如，上例中的問題，我們可以推廣到一般情況.設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件為次品，從中任取n件產(chǎn)品，用事件A表示“取出的n件中恰有m件次品”，則：1.2.2古典概型

（1）有放回抽樣時，事件A的概率為

P(A)=.（2）無放回抽樣時，事件A的概率為P(A)=.1.2.2古典概型

例1-10

設(shè)箱子中有a個白球，b個黑球，現(xiàn)采用無放回抽取，每次取一個球.求：任取個，恰有m個白球，n個黑球的概率；第k次才取得白球的概率；第k次取到白球的概率.解

（1）在這個問題中利用上面所總結(jié)的無放回抽樣的形式可知所求事件的概率為.1.2.2古典概型010203

（2）在這個問題中抽取與順序有關(guān).所做試驗不妨看作從個球中有順序地取出k個球，所以樣本空間中樣本點個數(shù).所求事件要求第k次才取得白球，隱含著前面次取出的都是黑球，由乘法原理可知該事件中所含樣本點個數(shù)，于是所求概率為.（3）樣本空間中樣本點個數(shù)仍然是.而所求事件只要求第k次取到白球，對前面的次沒有要求，所以可從a個白球中任取一個作為第k次取出的白球，而前面取出的個可看成從剩下的個中任取個，由乘法原理可知該事件中所含樣本點個數(shù)，故所求事件概率為.1.2.2古典概型

上例（3）中值得注意的是最后的結(jié)果與k無關(guān)！也就是說，每一次取到白球的概率都跟第一次取到白球的概率相同，而跟取球的先后次序無關(guān).這也就是抽簽問題的模型，即抽簽時各人機會均等，與抽簽的先后順序無關(guān)，也稱為抽簽與順序無關(guān).1.2.2古典概型

例1-11將3個球隨機地放入5個盒子中，設(shè)每個球放入每個盒子是等可能的.求下列事件的概率：事件A表示指定的3個盒子中各有1個球；事件B表示恰有3個盒子中各有1個球；事件C表示有1個盒子中恰有2個球.

解由題意可知每個球都有5種不同的選擇，所以3個球放入5個盒子中共有種放法.（1）事件A中因為盒子是指定的，所以只要將3個球做全排列即可，故A中樣本點個數(shù)，于是.1.2.2古典概型010203

（2）事件B中首先要從5個盒子中選3個盒子，有種選法，其次在每種情況下將3個球做全排列，由乘法原理可知事件B中含有個樣本點，所以.

（3）事件C需要分三個步驟來完成：首先要從5個盒子中選出2個盒子，有種選法；其次要將3個球分成兩組，有種分法；最后將兩組球放入選出的2個盒子中，有種放法.由乘法原理可知，事件C中含有個樣本點，所以.1.2.2古典概型

例1-12

將10本書隨意放在書架上，求指定的5本書放在一起的概率.

解樣本空間中含有個樣本點，設(shè)指定5本書放在一起這一事件為A，則A的實現(xiàn)可看成兩個步驟：首先將指定的5本書排列，有5!種情況；然后將指定的5本書看成一個整體與剩下的5本書排列，有種可能，所以事件A中樣本點個數(shù)為5!6!.于是.1.2.2古典概型

古典概型要求樣本空間中樣本點個數(shù)是有限的.但在實際問題中，經(jīng)常遇到樣本空間樣本點個數(shù)是無窮的情形.若等可能的條件仍然成立，仿照概率的古典定義，則可給出幾何概率的定義.1.2.3幾何概率

定義1.6

設(shè)試驗E的結(jié)果可以用某一區(qū)域內(nèi)的點的隨機位置來確定，若區(qū)域的度量（當是一維時，其度量為長度；當是二維時，其度量為面積；當是三維時，其度量為體積）是有限的，并且試驗結(jié)果落在的任意子區(qū)域內(nèi)的概率，只與該子區(qū)域的度量成正比，而與其位置和形狀無關(guān).則用分別表示事件A所對應(yīng)的子區(qū)域及區(qū)域的度量.則稱（1-2）為事件A的幾何概率.1.2.3幾何概率

例1-13

在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個數(shù)，求這兩個數(shù)的和小于的概率.

解

設(shè)在(0,1)內(nèi)任取的兩個數(shù)為x，y,則樣本空間.令A(yù)表示“兩個數(shù)的和小于”，則.事件A所在區(qū)域見圖1-2中的陰影部分，其度量；于是由幾何概率得：.1.2.3幾何概率

例1-14（會面問題）兩人相約在10：00~11：00在某地見面，約定先到者等后到者20min，過時離開.如果每人在指定的1h內(nèi)任一時刻到達是等可能的，求兩人能見面的概率.

解設(shè)兩人到達的時間為x，y,則樣本空間.令A(yù)表示“兩人能夠見面”（見圖1-3中的陰影部分），則.于是由幾何概率得：.1.2.3幾何概率

幾何概率的計算與幾何圖形密切相關(guān)，因此，做這一類題目的關(guān)鍵是要將樣本空間和事件對應(yīng)的幾何圖形畫清楚，再計算出它們的度量，利用定義得到事件的幾何概率.在這一節(jié)中我們介紹了概率的三種定義，雖然具體形式不同，也都有自身的局限性，但也表現(xiàn)出了概率的一些共性：非負性：對任意事件A，有；規(guī)范性：對必然事件，有；有限可加性：若事件互不相容，則.所以，概率論要作為一門嚴密的數(shù)學分支，就需要打破它們各自的局限性，建立概率嚴密的、統(tǒng)一的定義.在總結(jié)前人的大量研究成果的基礎(chǔ)上，1933年，蘇聯(lián)數(shù)學家科爾莫哥洛夫(Kolmogorov)在他的《概率論的基本概念》一書中建立的概率論的公理化體系.1.2.2古典概型010203

定義1.7

設(shè)為樣本空間，對于每一個事件A賦予一個實數(shù)，記作，如果它滿足下列條件：非負性：對任意事件A，有；規(guī)范性：對必然事件，有；可列可加性：若事件互不相容，則.則稱實數(shù)為事件A的概率(probability).這就是概率的公理化定義，它克服了概率的統(tǒng)計定義、古典定義與幾何概率的局限性，是對各種隨機現(xiàn)象所具有的共同特征的抽象和概括.這一公理化體系的出現(xiàn)，為現(xiàn)代概率論的發(fā)展奠定了堅實的基礎(chǔ).1.3.1概率的公理化定義0102031.3概率的公理化定義

由概率的公理化定義，可以推出概率的一些性質(zhì).性質(zhì)1

對于不可能事件，有.證明

令，顯然它們互不相容，并且它們的和為必然事件，由定義中的規(guī)范性和可列可加性得：,再利用概率的非負性，可得.這個性質(zhì)說明，不可能事件的概率為零，但逆命題不一定成立，即概率為零的事件不一定是不可能事件.例如，當幾何概率中事件A只含有一個點時，其概率為零，但不是不可能事件.1.3.2概率的性質(zhì)

性質(zhì)2（有限可加性）若事件互不相容，則.

證明

令，則事件互不相容，由概率的可列可加性得.

性質(zhì)3

（逆事件的概率）.證明

由于，所以，即.1.3.2概率的性質(zhì)

性質(zhì)4（減法公式）對任意的事件A、B，有.證明

由事件的運算可知，對任意事件A、B有.由概率的有限可加性得，整理即得.推論（單調(diào)性）若事件，則且.證明

若事件，則，所以.利用概率的非負性可知，所以.性質(zhì)5（有界性）對任意的事件A，有.證明因為，由單調(diào)性得.1.3.2概率的性質(zhì)

性質(zhì)5（有界性）對任意的事件A，有.證明

因為，由單調(diào)性得.性質(zhì)6（加法公式）對任意的兩個事件A，B，有.

證明因為且A與互不相容，所以.性質(zhì)6還可以推廣到3個事件的情形：.一般地，設(shè)為任意n個事件，可由歸納法證得1.3.2概率的性質(zhì)

例1-15

已知，在下列條件下，求.若A與B互不相容；若；若.

解.（1）若A與B互不相容，則，所以，于是.（2）若，則，所以.（3）若，代入公式可得.1.3.2概率的性質(zhì)010203

例1-16

設(shè)，求：事件A，B，C全不發(fā)生的概率；事件C發(fā)生而A和B不發(fā)生的概率.

解因為，利用概率的單調(diào)性有，而，所以.（1）由事件運算的對偶律及逆事件的概率可得應(yīng)用三個事件的加法公式，有所以.（2）利用事件及概率的運算性質(zhì)，可得將數(shù)據(jù)代入可得.1.3.2概率的性質(zhì)0102

例1-17

某設(shè)備由甲、乙兩個部件組成，當超載負荷時，各自出現(xiàn)故障的概率分別為0.9和0.85，同時出現(xiàn)故障的概率為0.80.求超載負荷時至少有一個部件發(fā)生故障的概率.解設(shè)事件A為甲部件出現(xiàn)故障，事件B為乙部件出現(xiàn)故障，則.于是.即至少有一個部件出現(xiàn)故障的概率為0.95.1.3.2概率的性質(zhì)

例1-18

從1~100中任取一整數(shù)，求取到的數(shù)能被3或5整除的概率.

解設(shè)事件A表示“能被3整除”，事件B表示“能被5整除”，顯然要求,利用加法公式，所以需求出.考查事件A：因為，所以事件A中含有33個樣本點.同理，事件B中含有20個樣本點.而事件表示“既能被3整除又能被5整除，即能被15整除”，故含有6個樣本點，所以，從而.1.3.2概率的性質(zhì)

例1-19

一批產(chǎn)品共50件，其中5件次品，其余為正品.從中任取3件，求其中有次品的概率.解設(shè)事件A表示“取出的有次品”，下面用三種方法來解決這個問題.方法一：利用逆事件，其中表示“三件都是次品”，故所以.方法二：討論取出的三件產(chǎn)品中的次品數(shù).設(shè)事件表示“取出的產(chǎn)品中恰好有i件次品”，，顯然互不相容，所以，故1.3.2概率的性質(zhì)

方法三：討論每件產(chǎn)品的情況.設(shè)事件表示“第i件產(chǎn)品為次品”，，則，由加法公式得：.由例1-10中抽簽與順序無關(guān)的結(jié)論可知：.事件表示“前兩件是次品”，這說明對第三件產(chǎn)品的情況沒有要求，所以從剩下的48件產(chǎn)品中任取一件就可以，所以，同理可得.事件表示“三件都是次品”，故.于是.1.3.2概率的性質(zhì)

在自然界和人類社會中，許多事件是相互影響、相互聯(lián)系的,所以在討論事件發(fā)生的概率時，經(jīng)常會遇到這樣的情況：已經(jīng)知道事件A發(fā)生，求事件B發(fā)生的概率，稱之為條件概率，記為1.4.1條件概率1.4條件概率與事件的獨立性

例1-20

拋擲一枚均勻的骰子，觀察其出現(xiàn)點數(shù).（1）求出現(xiàn)2點的概率；（2）已知出現(xiàn)的是偶數(shù)點，求出現(xiàn)2點的概率.解

設(shè)A表示出現(xiàn)偶數(shù)點，B表示出現(xiàn)兩點，則（1）.（2）由于A已經(jīng)發(fā)生，故可把討論范圍（樣本空間）縮減為，在該討論范圍內(nèi)討論B發(fā)生的概率.應(yīng)用古典定義得.也可將上式右端同時除樣本空間中的樣本點個數(shù)n得.雖然這是一個具體的例子，但是我們能夠驗證對一般的古典概型和幾何概型也是成立的.因此，我們可建立條件概率的一般定義.1.4.1條件概率

定義1.8

設(shè)A、B為隨機試驗E的任意兩個事件，且.稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率，簡稱B關(guān)于A的條件概率.同理，當時，也可類似定義A關(guān)于B的條件概率..不難驗證，條件概率滿足概率公理化定義中的三個條件，即（1）非負性：對任意事件B，有；（2）規(guī)范性：對必然事件，有；（3）可列可加性：若事件互不相容，則.所以，概率的性質(zhì)1~6對于條件概率仍然適用.望讀者在學習中注意應(yīng)用.1.4.1條件概率

由定義1.9和例1-20可知，計算條件概率一般有兩種方法：在原來的樣本空間中計算出,再由定義求得；

在縮減的樣本空間中計算B的概率.1.4.1條件概率0102

例1-21

共有20件產(chǎn)品，其中5件是次品，其余都為正品.不放回抽樣，一次取一件產(chǎn)品，從中任取兩次.已知第一次取得的是次品，求第二次也是次品的概率.

解

設(shè)A為第一次取出的是次品，B為第二次取出的是次品，需求.方法一：在原樣本空間中，可求得，，故.方法二：在縮減的樣本空間中，事件A中的樣本點個數(shù)=，事件AB中的樣本點個數(shù)，故.1.4.1條件概率

方法三：也可由條件概率的含義直接計算條件概率.在已知第一件為次品的條件下，第二次再取時，相當于從剩下的19件（其中4件次品）中取一件，則此時第二件為次品的概率顯然為，所以所求條件概率為.所以，計算條件概率還有第三種方法，即利用條件概率的含義直接計算.在上述三個方法中，顯然第三種方法最簡單，但是這種方法并不是對所有的條件概率都適用，所以在以后的題目中要選取適當?shù)姆椒▉碛嬎銞l件概率.1.4.1條件概率

由條件概率的定義，我們可以得到概率中非常有用的一個公式，這就是乘法公式.設(shè)，則有.當，同理可得.顯然乘法公式給出了求積事件概率的一種方法，并且可以將其推廣為；.1.4.2乘法公式

例1-22

袋中裝有同種型號的小球，其中紅球a個，黑球b個，每次從袋中任取一球，觀察其顏色后放回，并放入同種顏色的小球c個，若A表示第一次和第三次取到紅球、第二次取到黑球，求.解

設(shè)為第i次取到紅球（i=1,2,3），則，于是根據(jù)乘法公式其中，利用條件概率的含義直接可得，，所以.1.4.1條件概率

例1-23

某商場促銷，設(shè)置一抽獎方式：甲箱中裝有M個白球，乙箱中裝有M個黑球，規(guī)定從乙箱中取一個球放入甲箱，再從甲箱中取一個球放入乙箱為一次交換，若經(jīng)過M次交換后，甲箱中有M個黑球，則此人獲獎.求此人能獲獎的概率是多少？

解設(shè)A為經(jīng)過M次交換后，甲箱中有M個黑球；為在第k次交換中，從乙箱中取一個黑球放入甲箱中，然后又從甲箱中取一個白球放入乙箱中，.則由乘法公式得當時，；當時，；當時，.可見，當時，此人很難獲獎；當時，其概率以零為極限.1.4.1條件概率

一般來說，，即事件B的發(fā)生影響了事件A發(fā)生的概率.但在特殊情況下，B發(fā)生與否對于事件A的發(fā)生并無影響，即有，這時我們說，事件A與事件B具有某種“獨立性”.如將一顆骰子投擲兩次，事件A表示“第一次是6點”，事件B表示“第二次是6點”，顯然,并且從實際意義上也會發(fā)現(xiàn)A、B之間是獨立的.1.4.3事件的獨立性

若事件A與事件B具有上述獨立性，則當時，由乘法公式及可推出.由此，引入下列定義：定義1.9對于事件A、B，若，則稱事件A與B是相互獨立的.在這個定義中，對于事件A、B沒有了概率非零的限制，并且由此定義可知，概率為零的事件與任意事件都是相互獨立的.當時，下列四個結(jié)論是等價的：（1）事件A、B相互獨立；（2）；（3）；（4）.1.4.3事件的獨立性

定理1.4

下述四對事件，，，中，若有一對事件相互獨立，則其余三對事件亦相互獨立.

證明不妨設(shè)事件A與B相互獨立，下面我們來證明相互獨立.由于所以，相互獨立.其余結(jié)論讀者可自行證明.關(guān)于三個事件的獨立性，有下面的定義：定義1.10若事件A、B、C滿足則稱事件A、B、C相互獨立.如果事件A、B、C只滿足前三個條件，我們稱它們是兩兩相互獨立的.可見，若三個事件相互獨立，則它們一定兩兩相互獨立，但兩兩相互獨立不一定三個事件相互獨立.1.4.3事件的獨立性

例1-24

有四張卡片，其中一張涂上紅色，一張涂上黑色，一張涂上黃色，還有一張涂有紅、黑、黃三種顏色.從中任取一張,設(shè)事件A為取出的卡片上有紅色，事件B為取出的卡片上有黑色，事件C為取出的卡片上有黃色.則，且.所以，A、B、C三個事件兩兩相互獨立.但故A、B、C不是相互獨立的.一般地，n個事件相互獨立的定義如下：1.4.3事件的獨立性

定義1.11對n個事件，如果對任意的k個事件，滿足

則稱事件相互獨立.如果n個事件相互獨立，則有如下結(jié)論：其中任意k個事件也相互獨立；將其中任意多個事件換成它們的逆事件，所得的n個事件也是相互獨立的.從事件的獨立性定義可以發(fā)現(xiàn)，若一些事件是相互獨立的，則其積事件的概率就可以簡化為這些事件概率的乘積，因此也就可以簡化許多概率的計算.1.4.3事件的獨立性0102

例1-25

設(shè)事件相互獨立，其概率分別為，求至少一個事件發(fā)生的概率.

解

由題意可知求的是和事件的概率，由逆事件概率運算公式及獨立性可得1.4.3事件的獨立性

例1-26

設(shè)一個電路如圖1-4所示，其中1，2，3，4為繼電器接點.設(shè)每個繼電器接點閉合與否相互獨立，且每個繼電器接點閉合的概率為p，求該電路為通路的概率.圖1-4

解

設(shè)事件A表示“該電路為通路”，事件表示“第i個繼電器接點閉合”，則，故.由題意相互獨立，所以1.4.3事件的獨立性

在概率論的計算中，很多情況下我們希望將復(fù)雜的事件分解為一組簡單事件之和，從而化簡計算.全概率公式就為我們提供了這樣一種方法，在介紹該公式之前，我們先來看一個具體的例子.1.5.1全概率公式1.5全概率公式和貝葉斯公式

例1-27

某工廠有四條生產(chǎn)同一種產(chǎn)品的生產(chǎn)線，其產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的15%，20%，35%，30%，這四條流水線上的次品率分別為5%，4%，2%，3%，現(xiàn)從一批成品中任取一件，求其為次品的概率.解令A(yù)={取出的產(chǎn)品為次品}，{取到的是第i條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品}(i=1,2,3,4)，顯然兩兩互不相容，則，所以由乘法公式得.其中，，,,,,,，代入上式得.1.5.1全概率公式

在解這個題時，關(guān)鍵是引入了這個事件組，將A分解成四個互不相容的事件之和，再利用概率的可加性及乘法公式求得.實際上，這個事件組是將樣本空間分成了四個互不相容事件之和，對于這樣的事件組，我們引入樣本空間劃分的定義.1.5.1全概率公式

定義1.11設(shè)是隨機試驗E的樣本空間，是試驗E的n個事件，如果滿足：兩兩互不相容；，則稱是樣本空間的一個劃分.設(shè)是樣本空間的一個劃分，則對任意事件，有.從而有：定理1.5（全概率公式）設(shè)是樣本空間的一個劃分，且.則對任意事件,有.上述公式稱為全概率公式，其中可稱為部分概率，稱為全概率.全概率等于部分概率之和.1.5.1全概率公式0102

與全概率公式相對應(yīng)，我們再討論另一方面的問題.例1-28在例1-27中，如果從一批成品中任取一件，結(jié)果為次品，問它是哪條生產(chǎn)線生產(chǎn)的可能性最大.解顯然要求的是條件概率.由條件概率的定義得，同理可得.比較以上四個數(shù)據(jù)可知，該產(chǎn)品是由第二條生產(chǎn)線生產(chǎn)的可能性最大.1.5.2貝葉斯公式

顯然，在全概率公式中是通過已知劃分中每個事件的概率及在?條件下A發(fā)生的條件概率，求得事件A發(fā)生的概率的.我們可以把事件看作導(dǎo)致事件A發(fā)生的原因，稱為先驗概率，它一般可以從以往的經(jīng)驗中得到，通常是已知的.而條件概率稱為后驗概率，是在已知事件A發(fā)生之后再來重新評估事件發(fā)生的概率，它使我們在試驗之后對各種原因發(fā)生的可能性有了進一步的了解.所謂的貝葉斯公式就是用來計算后驗概率的公式.1.5.2貝葉斯公式

定理1.6（貝葉斯公式）設(shè)是樣本空間的一個劃分，且.則對任意事件,若，則，.利用后驗概率可對先驗概率進行修正，這一思想方法所產(chǎn)生的統(tǒng)計判斷原理在工程技術(shù)、經(jīng)濟分析、投資決策、藥理的臨床檢驗諸方面有極大的實用價值.1.5.2貝葉斯公式

例1-29設(shè)某種疾病的發(fā)病率為0.001，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗患者是否得病.在患者確實得病的情況下，該試劑呈陽性的概率為0.99；在患者沒有得病的情況下，它呈陽性的概率為0.05.現(xiàn)有一個患者的檢驗結(jié)果為陽性，請問他確實得病的概率為多大？解設(shè)A={患者得病}，B={試劑呈陽性}，則由題意需要求出，由貝葉斯公式，其中，，代入可得.初看起來，這種試劑的“精確度”相當高.但經(jīng)過計算后驗概率知道，即使檢驗呈陽性，病人得病的概率也不足，所以并不能只通過這一種試劑來確診該疾病.通過這個例子也告訴我們，在許多問題中，后驗概率的計算相當重要.1.5.2貝葉斯公式習題11.寫出下列隨機試驗的樣本空間及事件：（1）擲兩枚骰子，分別觀察其出現(xiàn)的點數(shù)，事件A表示“點數(shù)之和為偶數(shù)”；（2）口袋中6個白球，編號為1~6，4個黑球，編號為7~10，從中任取一個球，觀察其編號，事件A表示“取出的是黑球”；（3）拋擲一枚硬幣兩次，觀察正反面出現(xiàn)情況.事件A表示“第一次出現(xiàn)正面”，事件B表示“至少有一次出現(xiàn)正面”；（4）將長為l的尺子折成三段，觀察各段長度.事件A表示“三段可構(gòu)成一個三角形”.習題12.對同一目標射擊三次，記，試用表示下列事件：，，.習題13.從圖書館中隨意抽取一本書，事件A表示“數(shù)學書”，B表示“中文書”，C表示“平裝書”.（1）說明事件的實際意義；（2）說明的含義；（3）是否意味著圖書館中所有數(shù)學書都不是中文版的？4.下列等式是否成立？若不成立，寫出正確結(jié)果.（1）；（2）；（3）.習題15.30名學生中有3名運動員，將這30名學生平均分成三組，求下列事件的概率：（1）事件A：每組有一名運動員；（2）事件B：3名運動員在同一組.6.三人分別獨立向某車的三個部位射擊，命中概率分別為0.25，0.3，0.5，任一人射中，車輛報廢.求：（1）該車報廢的概率；（2）恰有一個人命中目標的概率.7.已知，求.習題18.設(shè)A、B兩個事件，且，試說明分別在什么條件下取得最大值和最小值？9.某班有24名學生是1998年出生的，求：（1）這24名學生中至少有兩人是在同一天出生的概率。（2）這24名學生中至少有一人是在10月1日出生的概率。10.從編號為1~10的產(chǎn)品中任取3件，求：（1）最小號碼為6的概率；（2）最大號碼為6的概率.習題111.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7，在兩批種子中各隨機取一粒，求：（1）兩粒都發(fā)芽的概率；（2）恰好有一粒發(fā)芽的概率；（3）至少有一粒發(fā)芽的概率.12.從中隨機取兩個數(shù)，求：（1）兩個數(shù)之和小于的概率；（2）兩個數(shù)之積小于的概率.13.將長為l的尺子折成三段，求這三段可構(gòu)成一個三角形的概率.14.為了減少比賽場次，把20個球隊平均分成兩組，求最強的兩個隊被分在不同組的概率.習題115.從52張撲克牌中任取13張，求其中有4張黑桃、2張梅花、4張方塊和3張紅心的概率.16.假設(shè)有兩箱同種零件，第一箱內(nèi)裝有50件，其中20件為一等品；第二箱中有30件，其中18件為一等品.現(xiàn)從兩箱中任取一箱，再從該箱中任取兩件產(chǎn)品.求：（1）第一件產(chǎn)品是一等品的概率；（2）第二件是一等品的概率；（3）第二件是一等品的條件下，第一件也是一等品的概率.17.設(shè)，其中.證明.18.設(shè)，證明.習題119.已知一個家庭中有兩個孩子.（1）已知其中有一個是女孩，求另一個也是女孩的概率；（2）已知第一個孩子是女孩，求第二個孩子也是女孩的概率.20.12個乒乓球中有9個新球，3個舊球.第一次比賽，取出3個球，用完以后放回去；第二次比賽又從中取出3個球.（1）求第二次取出的3個球中有2個新球的概率；（2）若第二次取出的3個球中有2個新球，則求第一次取到的3個球中恰有1個新球的概率.21.一射手射擊命中率為0.6，現(xiàn)獨立射擊10次，求至少命中2次目標的概率.習題122.袋中有3個球，其中1個黑球、2個白球.一次次從袋中摸球，每次摸球后不把此球放回，而是放入1個白球.求第次摸球時摸到白球的概率.23.箱子中共有100件產(chǎn)品，其中90件合格，另外10件是次品.從箱中隨機地抽取產(chǎn)品.求3次內(nèi)能取得合格品的概率.習題124.發(fā)報臺分別以0.6和0.4的概率發(fā)出兩種信號“?”和“－”，由于受到干擾，因此在接受站，信號“?”被誤收為“－”的概率為0.2，而“－”被誤收為“?”的概率為0.1.（1）求接收站收到信號“－”的概率；（2）若接收站受到信號“?”，求發(fā)報臺確實是發(fā)出“?”的概率.25.設(shè)有8個可靠性相同的電子元件平均分成兩組，每組的4個元件分別串聯(lián)后再把兩組并聯(lián).若要求該電路的可靠性不低于84%，則問每個元件的可靠性至少是多少？謝謝觀看隨機變量及其分布2.1隨機變量及其分布函數(shù)2.3

連續(xù)型隨機變量2.2

離散型隨機變量及其分布2.4隨機變量函數(shù)的分布目錄

在第1章研究隨機試驗時，只是孤立的考慮每個隨機事件的概率，研究方法缺乏一般性且無法用高等數(shù)學的工具加以研究.從本章開始，我們引入了隨機變量及其分布的概念.隨機變量概念的建立是概率論發(fā)展史上的重大突破，我們就能夠用微積分的工具對其進行研究，強有力的高等數(shù)學的工具大大加強了我們研究隨機現(xiàn)象的手段，從而使概率論的發(fā)展進入了一個新的階段.

在第1章中，隨機事件通過樣本點所構(gòu)成的集合來表示，并運用初等數(shù)學的方法求出一些事件的概率，但這種表示方式大大限制了計算概率的方法.我們希望將所有隨機事件的集合統(tǒng)一成數(shù)集，這就需要將隨機試驗所產(chǎn)生的樣本點與實數(shù)對應(yīng).有些試驗的樣本點本身就與數(shù)值有關(guān).例如，取出的產(chǎn)品中的廢品數(shù)；擲一顆骰子，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)；觀察一個元件的使用壽命；等等.但也有一些試驗的結(jié)果與數(shù)值無關(guān)，但我們可以將其量化.例如，拋擲一枚硬幣，可以將“出現(xiàn)正面”記為1，“出現(xiàn)反面”記為零；取一件產(chǎn)品，當取到次品時記為1，取到正品時記為零.這樣一來，對任意的隨機試驗，即一種對應(yīng)關(guān)系，可以給出如下定義：2.1隨機變量及其分布函數(shù)2.1.1隨機變量定義2.1設(shè)隨機試驗的樣本空間為，若對每一個樣本點有唯一的實數(shù)與之對應(yīng)，則稱這個定義在上的單值實函數(shù)為隨機變量，簡記為X.隨機變量一般用大寫的字母X、Y、Z或希臘字母來表示.引入隨機變量以后，隨機試驗所產(chǎn)生的任意事件都可以通過隨機變量的取值表達出來.例如，設(shè)X表示電話總機在單位時間內(nèi)接到呼喚的次數(shù)，則樣本空間，事件“接到至少一次呼喚”可用來表示，事件“恰好接到3次呼喚”可用{X=3}來表示.反之，若X表示一個隨機變量，則X的任意取值所形成的集合也都表示一個隨機事件，如，，（其中a，b為任意實數(shù)），等等.這樣，對于隨機事件概率的研究就可以轉(zhuǎn)化為對隨機變量取值的概率的研究，這使我們有可能用微積分的方法對各種有關(guān)的問題進行深入的研究，使我們的研究更為方便.2.1.1隨機變量2.1.2分布函數(shù)對于隨機變量X，一方面要明確其各種可能的取值及取值范圍，另一方面要掌握其取值的概率分布.那如何來描寫其取值的概率分布呢？在后面的討論中經(jīng)常需要考慮隨機變量的取值落在某個區(qū)間上的概率.而常數(shù)有，且，由概率的差事件的運算性質(zhì)可得.因此，對于隨機變量X，對任意實數(shù)x只要知道，就可以求出X的取值落在任意區(qū)間[a，b)內(nèi)的概率.為此，我們給出隨機變量分布函數(shù)的概念.定義2.2設(shè)X是一個隨機變量，對任意的，稱函數(shù)為隨機變量X的分布函數(shù).由定義可知，是一個定義在上、值域為[0,1]的函數(shù),且對任意，有，，.分布函數(shù)是事件的概率，也是x的一個普通函數(shù)，因而通過分布函數(shù)我們就可以用高等數(shù)學的方法來研究隨機變量.如果將X看成數(shù)軸上的隨機點的坐標，那么分布函數(shù)在x處的函數(shù)值就表示X落在區(qū)間上的概率.分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：2.1.2分布函數(shù)

定理2.1設(shè)是隨機變量X的分布函數(shù)，則有界性：；單調(diào)非降性：若；右連續(xù)性：對任意實數(shù),在點右連續(xù)，即；規(guī)范性：，.2.1.2分布函數(shù)01020304證明

由概率的有界性可知.若，則，由概率的單調(diào)性可知，即.該項證明已超出本書范圍，從