高中物理競賽培訓(xùn)教材

四川省武勝中學(xué)高中物理競賽培訓(xùn)教材

目錄

第一講力的處理................................................（2）

第二講力矩和力矩平衡............................................（5）

第三講直線運動................................................（15）

第四講相對運動................................................（29）

第五講關(guān)聯(lián)速度..................................................（40）

第六講力........................................................（55）

第七講摩擦角及其它..............................................（65）

第八講一般物體的平衡穩(wěn)度........................................（76）

第九講牛頓定律..................................................（85）

第十講萬有引力天體的運動.......................................（94）

第H^一講功和能...................................................（104）

第十二講功能原理和機械能守恒定律.................................（122）

第十三講動量和能量...............................................（129）

第十四講機械振動和機械波.........................................（146）

第十五講熱力學(xué)基礎(chǔ)...............................................（154）

第十六講原子物理................................................（160）

第十七講電場......................................................（184）

第十八講靜電場中的導(dǎo)體與電介質(zhì)...................................（201）

第十九講電路......................................................（215）

第二十講磁場對電流的作用和電磁感應(yīng)...............................（224）

第二十一講帶電粒子在電磁場中的運動................................（234）

第二十二講交流電、電磁振蕩、電磁波..................................（242）

第一講力的處理

一、矢量的運算

1、加法

表達：a+b=co

名詞：3為“和矢量”。

法則：平行四邊形法則。如圖1所示。

和矢量大小：cVa2+b2+2abcosa,其

中a為9和6的夾角。

和矢量方向：E在9、6之間，和云夾角6=21X：5立bsina

Va2+b2+2abcosa

2、減法

表達：a-c—bo

名詞：E為“被減數(shù)矢量”，b為“減數(shù)矢量”，9為“差

矢量”。

法則：三角形法則。如圖2所示。將被減數(shù)矢量和減數(shù)

矢量的起始端平移到一點，然后連接兩時量末端，指向被減

數(shù)時量的時量，即是差矢量。

差矢量大?。篴=Vb2+c2-2bccos6,其中。為E和6的夾角。

差矢量的方向可以用正弦定理求得。

?條直線上的矢量運算是平行四邊形和三角形法則的特例。

例題：已知質(zhì)點做勻速率圓周運動，半徑為R,周期為T,求它在內(nèi)和在

42

內(nèi)的平均加速度大小。

解說：如圖3所示，A到B點對應(yīng),T的過程，A到

4

C點對應(yīng)工T的過程。這三點的速度矢量分別設(shè)為vA.

2A

凡和vc。

Avz

圖3

V—V/AVn—V%一VA

根據(jù)加速度的定義a=」一^得：aAB='一A,aAC=

IIABAC

由于有兩處涉及矢量減法，設(shè)兩個差矢量△%=VB—vA,Av,=vc—vA，根

據(jù)三角形法則，它們在圖3中的大小、方向已繪出（△心的''三角形"已被拉伸成■條

直線）。

本題只關(guān)心各矢量的大小，顯然:

2成2挺成4兀R

VAVB,且:△%41VA,AV2V

TT2AT

2后兀R4TIR

8V2TTR

AV287tR

所以：HABTT

2aAC2

ABTTACTT

42

觀察與思考：這兩個加速度是否相等，勻速率圓周運動是不是勻變速運動?

3、乘法

矢量的乘法有兩種：叉乘和點乘，和代數(shù)的乘法有著

質(zhì)的不同。

⑴叉乘

表達：axb=c

名詞：。稱“矢量的叉積”，它是一個新的矢量。

叉積的大?。篶=absina,其中a為日和6的夾角。意義：E的大小對應(yīng)由9和

6作成的平行四邊形的面積。

叉積的方向：垂直亙和6確定的平面，并由右手螺旋定則確定方向，如圖4所示。

顯然，aXbbxa,但有：aXb=—bXa

⑵點乘

表達：a,b=c

名詞：c稱“矢量的點積”，它不再是一個矢量，而是■?個標(biāo)量。

點積的大?。篶abcosa,其中a為9和6的夾角。

二、共點力的合成

1、平行四邊形法則與矢量表達式

2、一般平行四邊形的合力與分力的求法

余弦定理（或分割成RtA）解合力的大小

正弦定理解方向

三、力的分解

1、按效果分解

2、按需要——正交分解

第二講力矩和力矩平衡

力矩是表示力對物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動作用的物理量,是物體轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的原因。

它等于力和力臂的乘積。表達式為：M=FL,其中力臂L是轉(zhuǎn)動軸到F的力線的（垂直）

距離。單位：Nm效果：可以使物體轉(zhuǎn)動.

正確理解力矩的概念

力矩是改變轉(zhuǎn)動物體的運動狀態(tài)變化的物理量，門、窗等轉(zhuǎn)動物體從靜止?fàn)顟B(tài)

變?yōu)檗D(zhuǎn)動狀態(tài)或從轉(zhuǎn)動狀態(tài)變?yōu)殪o止?fàn)顟B(tài)時，必須受到力的作用。但是，我們?nèi)魧?/p>

力作用在門、窗的轉(zhuǎn)軸上，則無論施加多大的力都不會改變其運動狀態(tài)，可見轉(zhuǎn)

動物體的運動狀態(tài)的變化不僅與力的大小有關(guān)，還受力的方向、力的作用點的影響。

力的作用點離轉(zhuǎn)軸越遠，力的方向與轉(zhuǎn)軸所在平面越趨于垂直，力使轉(zhuǎn)動物體運動

狀態(tài)變化得就越明顯。物理學(xué)中力的作用點和力的作用方向?qū)D(zhuǎn)動物體運動狀態(tài)變

化的影響，用力矩這個物理量綜合表示，因此，力矩被定義為力與力臂的乘積。力

矩概括了影響轉(zhuǎn)動物體運動狀態(tài)變化的所有規(guī)律，力矩是改變轉(zhuǎn)動物體運動狀態(tài)的

物理量。

力矩是矢量，在中學(xué)物理中，作用在物體上的力都在同一平面內(nèi)，各力對轉(zhuǎn)軸

的力矩只能使物體順時針轉(zhuǎn)動或逆時針轉(zhuǎn)動，這樣，求幾個力矩的合力就簡化為代

數(shù)運算。

力對物體的轉(zhuǎn)動效果

使物體轉(zhuǎn)動改變的效果不僅跟力的大小有關(guān)，還跟力臂有關(guān)，即力對物體的轉(zhuǎn)

動效果決定于力矩。①當(dāng)臂等于零時;不論作用力多么大，對物體都不會產(chǎn)生轉(zhuǎn)動

作用。②當(dāng)作用力與轉(zhuǎn)動軸平行時，不會對物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動作用，計算力矩，關(guān)鍵是

找力臂。需注意力臂是轉(zhuǎn)動軸到力的作用線的距離，而不是轉(zhuǎn)動軸到力的作用點的

距離。

大小一定的力有最大力矩的條件：

①力作用在離轉(zhuǎn)動軸最遠的點上；

②力的方向垂直于力作用點與轉(zhuǎn)軸的連線。

力矩的計算：

①先求出力的力臂，再由定義求力矩M=FL

如圖中,力F的力臂為LF=LsinO

力矩M=F?Lsin9

②先把力沿平行于桿和垂直于桿的兩個方向分解，平行于桿的分力對桿無轉(zhuǎn)動效果,

力矩為零；平行于桿的分力的力矩為該分力的大小與桿長的乘積。

如圖中，力F的力矩就等于其分力F1產(chǎn)生的力矩，M=FsinO?L

兩種方法不同，但求出的結(jié)果是一樣的，對具體的問題選擇恰當(dāng)?shù)姆椒〞喕忸}

過程。

明確轉(zhuǎn)軸很重要:

轉(zhuǎn)軸：物體轉(zhuǎn)動時，物體上的各點都沿圓周運動，圓周的中心在同一?條直線上,

這條直線叫轉(zhuǎn)軸。

特點：①物體中始終保持不動的直線就是轉(zhuǎn)軸。

②物體上軸以外的質(zhì)元繞軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動平面與軸垂直且為圓周，圓心在

軸上。

③和轉(zhuǎn)軸相平行的線上各質(zhì)元的運動情況完全一樣。

大多數(shù)情況下物體的轉(zhuǎn)軸是容易明確的，但在有的

情況下則需要自己來確定轉(zhuǎn)軸的位置。如：一根長木棒置于水平地面上，它的兩個

端點為AB,現(xiàn)給B端加一個豎直向上的外力使桿剛好離開地面，求力F的大小。在這

一問題中，過A點垂直于桿的水平直線是桿的轉(zhuǎn)軸。象這樣，在解決問題之前，首先

要通過分析來確定轉(zhuǎn)軸的問題很多，只有明確轉(zhuǎn)軸，才能計算力矩，進而利用力矩

平衡條件。

有固定轉(zhuǎn)動軸物體的平衡

轉(zhuǎn)動平衡：有轉(zhuǎn)動軸的物體在力的作用下，如果保持靜止或勻速轉(zhuǎn)動狀態(tài)，我

們稱這個物體處于轉(zhuǎn)動平衡。

注意：作用于同一物體的同?力，由于所取轉(zhuǎn)軸的位置不同，該力對軸的力矩大小

可能發(fā)生相應(yīng)的變化，對物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動作用的方向(簡稱“轉(zhuǎn)向”)也可能不同。例如

如右圖中的力F,若以0為軸(即對/取矩)其力矩為Mi=FL,使物體逆時針轉(zhuǎn)，若以。2

為軸(即對&取矩)其力矩為M尸F(xiàn)L2,使物體順時針轉(zhuǎn)，由圖可知L<L,故

且二者反向。由此可見，一談力矩，必須首先明確是以何處為軸，或?qū)φl取矩。

平衡條件：作用于物體上的全部外力對固定轉(zhuǎn)動軸所取力矩的代數(shù)和為零。

沿著轉(zhuǎn)軸觀察，力矩的轉(zhuǎn)動效應(yīng)不是使物體沿順時針轉(zhuǎn)，就是逆時針轉(zhuǎn)，若使物體

沿順時針轉(zhuǎn)的力矩為正，則使物體沿逆時針轉(zhuǎn)的力矩就為負。

可以將力分解帶沿桿和垂直于方向沿桿的分力力矩為零(或者垂直于面和平行與面

或者軸，其中平行與面或者軸的分力力矩為零)

當(dāng)作用在有固定轉(zhuǎn)動軸物體上的順時針方向力矩之和與逆時針方向力矩之和相等

時，物體將處于靜止或勻速轉(zhuǎn)動狀態(tài)。有固定轉(zhuǎn)動軸物體的平衡的表達式為：

=?；?￡M_

作用在物體上的大小相等.方向相等.作用線平行的兩個力組成一個力偶。它對物體

只有轉(zhuǎn)動作用，其大小積為力偶距：力偶距=力乂力偶臂.力偶臂等于兩個力作用線間的

距離.力偶距的正負也由它使物體轉(zhuǎn)動方向來確定;逆時針為正,順時針為負。

(3)解決實際問題的步驟；

(a)確定研究對象——哪個物體；

(b)分析狀態(tài)及受力——畫示意圖；分析研究對象的受力情況，找出每一

個力的力臂，分析每一個力矩的轉(zhuǎn)動方向；

(c)列出力矩平衡方程：EM=O或EM順=ZM逆；

(d)解出字母表達式，代入數(shù)據(jù)；

(e)作必要的討論，寫出明確的答案。

(4)一般物體的平衡條件

此處所談的“一般物體”是指沒有固定轉(zhuǎn)動軸物體。

對一個“一般物體，，來說，作用在它上面的力的合力為零，對任意一點的力矩之和

為零時，物體才能處于平衡狀態(tài)。也就是說必須一并具有或滿足下面兩個關(guān)系式：

Z”=0（對任意轉(zhuǎn)軸）'

."=0/

注意：￡M=0或￡》Ui坂=EM逆，方程轉(zhuǎn)軸可以根據(jù)需要可以任意選取，一般原則是盡量

多的力力臂為零，或者讓未知的力的力矩為零.

例題分析：

例題1：如圖：B0是一根質(zhì)量均勻的橫梁，重量G=80N,B0的一端安在B點，可繞通

過B點且垂直于紙面的軸轉(zhuǎn)動，另一端用鋼繩A0拉著橫梁保持水平，與鋼繩的夾角

夕=30”,在橫梁的0點掛一個重物，重要G=240N,求鋼繩對橫梁的拉力以：

（1）本題中的橫梁是一個有固定轉(zhuǎn)動軸的物體；

（2）分析橫梁的受力：拉力F”重力G”拉力R；I

（3）找到三個力的力臂并寫出各自的力矩："狎

解：據(jù)力矩平衡條件有：

1G+2G

F/sin^-G,--G,l=0由此得：F,=」------七=560N

12212sin。

例題2：如右上圖，半徑為R的均勻圓柱體重30N,在水平繩的拉力作用下，靜止于固

定斜面上，求：（1）繩子的拉力，（2）斜面對圓柱體的支持力，（3）斜面對圓柱體的摩擦

力。

解析：如右下圖，圓柱體受重力、斜面的支持力和摩擦力、繩拉力四個力。此四力

不是共點力。不可以將繩拉力T,摩擦力f平移到柱體重心

處。用共點力平衡條件解決較繁（將斜面對柱體的支持力N/------1

和摩擦力f合成為一個力F,則F、T、G共點，然后再將R

分解求得N、f）。用力矩解決較好。I

取接觸點為軸，由力矩平衡有：T（R+Rcos370）=GRsin370,

f=R=—=10N

取柱心為軸，有TR=fR,得3；

再取拉力作用點為軸，有NRsin370=f(R+Rcos370),

得N=G=30N.

例題3：如圖所示，光滑圓弧形環(huán)上套有兩個質(zhì)量不同的小球A和B兩球之間連有彈簧,

平衡時圓心0與球所在位置的連線與豎直方向的夾角分別為a和B,求兩球質(zhì)量之比。

解析：此題可以分別分析小球A、B所受共點

力，對每個球列共點力平衡方程求解，但是很繁瑣。若換一個角度，以0為軸用力矩求

解則較方便。如右下圖，小球A受到'、2、nug三個力作用，B受到N「、g、ntg三個

力作用。與彈簧一起看作繞過0點的轉(zhuǎn)動軸平衡問題，其中N、M沒有力臂，,和N；

的力矩互相抵消。于是有：m.gRsina^gRsinP,所以有：叫_=生”

m2sin/7

例題4：一塊均勻木板MN長L=15m,重G=400N,擱在相距D=8m的兩個支架A、B上，

MA=NA,重Gz=600N的人從A點向B點走去，如圖所示。求：①人走過B點多遠木板會

翹起來？②為使人走到N點時木板不翹起來，支架B應(yīng)放在離N多遠處？2.67m、3m

分析和解：當(dāng)木板剛翹起來時，板的重力對B點產(chǎn)生的力矩和人的重力對B點產(chǎn)生

的力矩使板平衡，設(shè)人走過B端L時木板會翹起來，則有400x4=600xLp可解得

L“=2.67m,同理，可設(shè)當(dāng)人走到N端木板剛要翹起來時;B支架和N端的距離為院

貝IJ有400x(7.5-LBN)=600xLBN可得屋、=301

例題5：.在光滑水平面上有-滑塊，滑塊上放有一個上端有固定轉(zhuǎn)動軸的木棒，如圖1。

現(xiàn)用水平力F向右推滑塊,但滑塊仍靜止。試分析滑塊對木棒的彈力的變化情況。

分析與解答：

先應(yīng)弄清施力F前的情況；因為滑塊靜止，目水平面是光滑的,所以木棒對滑塊只有

豎直向下的壓力N',而無摩擦力。由牛頓第三案律可知,滑塊對木棒也只有支持力（彈

力）N（=N］。再以木棒為研究對象,對于其轉(zhuǎn)動軸,木棒所受的彈力N的力距與木棒的重

力距平衡,如圖2（a）所示。

施力F點，同樣由滑塊靜止可知,木棒對滑塊向左的靜摩擦力「，以與力F平衡。則

滑塊對木棒也有水平向右的靜摩擦中這樣，以木棒為研究對象,對轉(zhuǎn)動軸又增

加了一個摩擦力f的逆時針方向的力距，如圖（b），而木棒的重力對軸的順時針方向的

力距大小是不變的,故木棒所受滑塊施的彈力將減小。

［本題交替以滑塊和木棒為研究對象,結(jié)合物體的平衡條件進行受力分析,正是要求

的解題能力］

例題6：如圖3所示,有固定轉(zhuǎn)動軸0的輕板與豎直墻之間夾著一個光滑重球。在板的

端點絕豎直向上的力F,使整個裝置處于平衡。若緩慢使板與豎直墻的夾角0增大（仍小

于90o）,則力F及其對軸o的力距M各將如何變化？

分析與解答：以木板為研究對象，力F對軸。的力距與球?qū)δ景宓恼龎毫對軸的

力距平衡，因此力F對軸。的力距M的變化情況，取決于彈力N對軸。的力距變化情況,

其變化規(guī)律如何呢？這就要轉(zhuǎn)移以光滑球的研究對象并應(yīng)注意抓住球的重力G和半徑R

x=Rcot—

這兩個不變的因素。設(shè)球與板接觸點到軸。的距離為X,2o參看圖4可知,

板對球的彈力N=—對板，

Sind

「0

由力距平衡有，F(xiàn)LSinO=Nx=N=——RCot—L為板長。

SinO2

“G“eGR

M=----RCot-=-----

SinO2s川g

2

F=_GR_

,0

LSin20Tan-

2

可見隨@增大，M.F都減小。

例題7：如圖5所示,水平輕桿AB長1.5m,其A端有固定轉(zhuǎn)動軸，傾斜輕桿CO與AB

夾角為30。AC=lm。在B端有一小定滑輪，繞過定滑輪的細繩左側(cè)成豎直，并連接重物

P,其重G=100N；右側(cè)細繩穿過動滑輪后，端點固定在E點，動滑輪上吊有重物Gl=30N。

不計滑輪質(zhì)量及摩擦。求c。桿對AB桿的作用力F。

分析與解答：c。桿對AB的作用力有兩個方面效果，一方面向上支持，另一方沿AB

向右推。本題所求是這兩個方面效果的合力F,力P的方向沿oc桿斜向上（若計oc方

向，這可以對。c桿的轉(zhuǎn)動軸的合力距為零得出）。

另外，在不計繩重和摩擦的前提下，同一根繩沿各方向的拉力（張力）是相等的，

本題中定滑輪兩側(cè)繩的拉力以及動滑輪兩側(cè)的繩拉力都相等。

以動滑輪為研究對象，依題（注意30°角及左右兩側(cè)繩的對稱性）知它所受的三個

力互成120°有%=G=30M。

以AB桿為研究對象，對軸A有

FACSin30°=GAB+TABSin30"

得F=?No

例題8：如圖7所示，一根長為L重為G,的均勻桿AB,A端頂在粗糙的豎直墻上，與墻

的摩擦因數(shù)為B；B端用一根強度足夠大的繩掛在墻的C處。此時桿恰好成水平，繩的

傾角為瓢

(1)求桿能保持水平平衡時，H和夕應(yīng)滿足的條件。

(2)若P為桿上一點，在BP間掛任意重物都不會使桿的A端下滑，求P點的位置

應(yīng)在何處。

分析與解答：(1)以B為軸，由力距平衡，對桿AB如(圖8)

fL=G(得/=?

若以A為軸，貝ijTLSin0=Go-得T=-^-

022Sin0

又N=TCos6=3Cot6

2

要桿不F下滑，應(yīng)有得6

(2)設(shè)P點到A的距離為X,所掛重物G

C?-+G(￡-Z)=/Z

zMB=o.°2]

G-^GX=UJL^g

zMC=0.O22

G.y+G(L--X)f,

「L-rN'tanQ

Lro—+

由L2得23

要桿F不下滑，需f,/,即—可一<V-4

代入四式得

GG

tan史寧L+G(L—x)]<p.^L+jiGx

GxTanO/.ixG

(〃-Tan0)=GTanO-

LL

GTanO-(〃+TanO).......5

因為所以5,式中左端N。，從而右端應(yīng)不大于零，否則式中的不等式不

成

GTanO-+TanO)<0

X>_?^_L

tan0+

同步達綱練習(xí)：

1.如圖9所示，長L=4m的均勻吊橋質(zhì)量m=80kg,成水平時，并未與對岸地面接觸,

這時牽引繩與橋面成30?角。質(zhì)量m。=50kg的人站在橋面距軸D為1m處，用水桶打水。

桶和水的質(zhì)量為m=10kg,正以a=0.2m/s的速度上升。此時牽引繩的拉力多大？

1.1079N

簡解:水桶加速上升，由牛頓第二定律得

F-mg=ma,F=100N

對軸O,M=o

(mg+F)x—-i-mgx—=TLsin30"

42

T=1079N

2.如圖10所示，質(zhì)量為m的均勻桿與地面接觸為一固定轉(zhuǎn)動軸，桿與光滑球接觸

占距0為L/3。求豎直墻對球的彈力T?

3

T=-mgcat6

簡解：對桿無M0=0,

嗚=mg5coseNr=—mgcos6

對球體靜止，水平方向有（N=N'）

3

T=Nsin.0="mgcot6

第三講直線運動

一、參照系（又叫參考系）

宇宙間的?切物體都在永恒不停的運動中，絕對靜止的物體是不存在的，因此物體

在空間的位置只能相對于另一物體來確定，所以要描述物體的位置，就必須選擇另一物

體作為參考，這個被選作參考的另一物體，就叫參照物。如船對水運動，水是參照物；

當(dāng)車停在公路上時，它相對于地球是靜止的，但相對于太陽又是運動?？梢娢矬w的運動

或靜止，必須對于一定的參照物來說才有才有確定的意義。至于參照物的選擇主要看問

題的性質(zhì)和研究的方便。通常我們研究物體的運動，總以地球做參照物最為方便，但在

研究地球和行星相對太陽的運動時，則以太陽做參照物最為方便了。

為了準(zhǔn)確、定量地表示物體相對于參照物的位置和位置變化，就需要建立坐標(biāo)系，

參照系是參照物的數(shù)學(xué)抽象：它被想象為坐標(biāo)系和參照物固定地聯(lián)結(jié)在一起，這樣，物

體的位置就可用它在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示了，所以，參照系就是觀察者所在的、和他處

于相對靜止?fàn)顟B(tài)的系統(tǒng)。

注：

1.慣性系——牛頓第一定律成立的參照系。凡相對慣性系靜止或作勻速直線運動

的物體，都是慣性系。

2.非慣性系——牛頓第一定律不成立的參照系。凡相對慣性系作變速運動的物體,

都是非慣性系。如不考慮地球的自轉(zhuǎn)時，地球可視為慣性系；而考慮地球的自轉(zhuǎn)時，則

地球為非慣性系。

3.選取參照系的原則：①、牛頓第一和第二定律、動能定理、動量定理、動量守

恒定律和機械能守恒定律等動力學(xué)公式，只適用于慣性系；②運動學(xué)公式，不僅適用于

慣性系，也適用于非慣性系。因為物體運動具有相對性，即運動性質(zhì)隨參照物不同而不

同，所以恰當(dāng)?shù)剡x擇參照系，不僅可以使運動變?yōu)殪o止，使變速運動變?yōu)閯蛩龠\動（勻

速直線運動的簡稱），而且可以使分析和解答的思路和步驟變得的極為簡捷。

二、運動的位移和路程

1.質(zhì)點

質(zhì)點是一個理想模型。在物理學(xué)中常常用理想模型來代替實際的研究對象，這樣抽

象的目的是簡化問題和便于作較為精確的描述。質(zhì)點只是一例，以后還要用到光滑斜面、

理想氣體、點電荷等理想模型，要注意理解和學(xué)會這種科學(xué)的研究方法。

若研究地球繞太陽公轉(zhuǎn)口寸，地球可視為質(zhì)點；而研究地球上重力加速度隨緯度的變

化時，地球則不可視為質(zhì)點。又如研究?一根彈簧的形變，彈簧即使很短也不可視為質(zhì)點;

物質(zhì)的分子和原子都很小，但在研究其內(nèi)部的振動和轉(zhuǎn)動時，視為質(zhì)點就沒有意義了。

2.位移和路程

運動物體的位置發(fā)生變化，用位移來描述，位移這個物理量常用s或x有時也用

Ar。位移可這樣定義：位移=末位置一初位置?？杀硎緸椋簒=&_R°（式中X是位移,

R0,R,為初時刻和末時刻的位置矢量）。位移X這個物理量既有大小又有方向，且合成與

分解符合平行四邊形定則，具有這種性質(zhì)的物理量在物理學(xué)上叫做矢量。運動質(zhì)點在一

段時間內(nèi)位移的大小就是從初位置到到末位置間的距離，其方向規(guī)定為：總是從初位置

到指向末位置。

注意：

①、若質(zhì)點沿直線從A點運動到B點，則位移X就是末.s.一

-OA?

位置B點的坐標(biāo)減去初位置A點的坐標(biāo)如右圖所示。

R2表示，如左下圖所示。

3.時刻和時間

時刻指某一瞬時，是與某一狀態(tài)相對應(yīng)的物理量。如第n秒初、第n秒末，并不是

同一時刻；而第（n一1）秒末與第n秒初，第n秒末與第（n+1）秒初則是同一時刻。

時間指兩時刻的間隔，是與是與某一過程相對應(yīng)的物理量。注意第n秒內(nèi)與前n秒

內(nèi)不是同??段時間。

4.速度

①、平均速度

在一段時間內(nèi)f內(nèi)，質(zhì)點的位移為X,則位移X（或AS）與時間f（或加）的比值,

叫做平均速度："=三或五=包；平均速度的方向與位移的方向相同。由于作變速直

tX

線運動的物體，在各段路程上或各段時間內(nèi)的平均速度一般來說是不相同的。故-提到

平均速度必須明確是哪段位移上或哪一段時間內(nèi)的平均速度。

②、瞬時速度（又稱即時速度）

要精確地如實地描述質(zhì)點在任一時刻地鄰近時間內(nèi)變速直線運動的快慢，應(yīng)該把加

取得很短，△，越短，越接近客觀的真實情況，但△，又不能等于零，因為沒有時間間隔

就沒有位移，就談不上運動的快慢了，實際上可以把加趨近于零，在這極短時間中，

運動的變化很微小，實際上可以把質(zhì)點看作勻速直線運動，在這種情況下，平均速度可

以充分地描述該時刻f附近質(zhì)點地運動情況。我們把加趨近于零，平均速度包所趨近

X

Ajr

的極限值，叫做運動質(zhì)點在，時刻的瞬時速度。用數(shù)學(xué)式可表示為：u=lim竺，它

A/->0

具體表示，時刻附近無限小的一段時間內(nèi)的平均速度，其值只隨f而變，是精確地描述

運動快慢程度的物理量。以后提到的速度總是指瞬時速度而言。平均速度、瞬時速度都

是矢量。

描述質(zhì)點的運動，有時也采用一個叫“速率”的物理量；速率是標(biāo)量，等于運動質(zhì)

點所經(jīng)過的路程與經(jīng)過該路程所用時間的比值，若質(zhì)點在，時間內(nèi)沿曲線運動，通過的

路程X（即曲線的長度），則X與，的比值叫在時間，內(nèi)質(zhì)點的平均速率，可表示為萬=上。

t

例如在某一時間內(nèi)，質(zhì)點沿閉合曲線環(huán)形一周，顯然質(zhì)點的位移等于零，平均速度也為

零，而質(zhì)點的平均速率是不等于零的。所以平均速度的大小與平均速率不能等同看待。

當(dāng)質(zhì)點沿直線單一方向運動時平均速度的大小等于平均速率。而瞬時速率就是瞬時速度

的大小，而不考慮方向。

5.加速度

運動物體在%時刻的速度為匕（初速度），在f時刻的速度為匕（末速度），那么在

△f=/-以這段時間里，速度的變化量（也叫速度的增量）是△丫=匕-也，Av與A的

比值稱為這段時間內(nèi)的平均加速度，可表示為：a=—,平均加速度只能粗略描述速

△t

度改變的快慢程度。跟平均速度引導(dǎo)到瞬時速度的過程相似，選取很短的一段時間加，

當(dāng)△，趨近于零時，平均加速度的極限值，叫做運動質(zhì)點在，時刻的瞬時加速度。用數(shù)學(xué)

式可表示為：?=°

若質(zhì)點做勻速直線運動，它的加速度大小和方向恒定不變，則平均加速度就是瞬時

加速度，通常4=0,時間加=-f.可用末時刻r表示，則加速度定義式為：

1口=竺根據(jù)牛頓第二定律可知，?個質(zhì)點的加速度是由它受到的合外力和

tt

它的質(zhì)量共同決定，牛頓第二定律的表達式所表示的是加速度的決定式即。=Y"F。

m

上式是矢量式，其中△匕EF都是矢量。加速度的方向就是質(zhì)點所受合外力的方

向，對勻變速運動，加速度的方向總是跟速度變化量的方向一致。

加速度的大小和方向跟速度的大小和方向沒有必然聯(lián)系。速度與加速度的關(guān)系，不

少同學(xué)有錯誤認識，復(fù)習(xí)過程中應(yīng)予以糾正。

①、加速度不是速度，也不是速度變化量，而是速度對時間的變化率，所以速度大,

速度變化大，加速度都不一定大。

②、加速度也不是速度大小的增加。一個質(zhì)點即使有加速度，其速度大小隨時間可

能增大，也可能減小，還可能不變。（兩矢量同向，反向、垂直）

③、速度變化有三種基本情況：-是僅大小變化（試舉一些例子），二是僅方向變

化，三是大小和方向都變化。

注意：五個容易混淆的平均速度和瞬時速度

①、一個質(zhì)點沿直線運動（無往返），在前半程位移的速度大小恒為匕，在后位移

的速度大小恒為七則全程的平均速度"的倒數(shù)，等于％、匕倒數(shù)和的一半：

2匕v2

②、一個質(zhì)點沿直線運動（無往返），在前一半時間的速度大小恒為匕，在后一半

時間的速度大小恒為嶗則全程的平均速度正r,等于匕、叱之和的一半:

——1

V

T=-（V!+v2）

③、一個質(zhì)點以初速度V。，末速度匕，做勻變速直線運動，則全程的平均速度的大

小江等于Vo與匕之和的一半：V=y（V0+V,）

④、■■個質(zhì)點以初速度V。，末速度匕，做勻變速直線運動（且無往返），則在位移

⑤、一個質(zhì)點以初速度V”末速度匕，做勻變速直線運動，則在時間中點的瞬時速

1q

度大小V7為：V1=一（%+匕）=歹=一

TT21

不論是勻加速直線運動還是勻減速直線運動，都有口￡>“工（可利用圖像法證明）

22

6.勻變速直線運動

①、勻變速直線運動的三個基本公式：v=v0+at；x=v（/+；。/；

2

v,-VQ=2ax

注意：A、各式的物理意義和各量的矢量性；B、上述公式成立的條件：勻變速直線

運動以及計時的起點（f?=0）時，質(zhì)點經(jīng)過坐標(biāo)原點0（其瞬時速度為匕,），坐標(biāo)原點0

也作為位移的起點。C、在這套公式的基礎(chǔ)上，附加一定條件，能導(dǎo)出許多有用的公式。

例如：初速度為零的勻加速直線運動公式，自由落體運動，豎直上拋運動以及平拋運動、

斜拋運動等有關(guān)的公式。

②、圖象

A：速度和位移都是時間的函數(shù)，因此描述物體運動的規(guī)律常用u-f圖象、s-f圖

象，如圖所示。

對于圖象要注意理解它的物理意義，既對圖象的縱、橫軸表示的是什么物理量，圖

象的斜率、截距代表什么意義都要搞清楚，形狀完全相同的圖線，在不同圖象（坐標(biāo)軸

的物理量不同）中意義會完全不同。下表是對形狀一樣的V-f圖、ST圖意義的比較。

B：勻變速直線運動的a-，圖象是一平行于時間軸的直線，如左下圖所示。

C：勻變速直線運動的s-f圖象是一拋物線。對于勻加速直線運動，拋物線“開口”

向上，若是勻減速直線運動拋物線“開口”向下；拋物線的頂點由初速度大小和加速度

大小決定。如右上圖所示。

③、初速度為零的勻加速直線運動的五個基本規(guī)律

A：瞬時速率與時間成正比：v,:v2:v3...:乙='"2"3....:，"

2222

B：位移大小與時間平方成正比：x1:x2:x3...:xn-11:t2:r3....:tn

C：在連續(xù)相等的時間（T）內(nèi)的平均速率之比為連續(xù)奇數(shù)之比：

v,:v2：v3......v?=1:3:5......:（2N—1）

D：在連續(xù)相等的時間（T）內(nèi)的位移大小之比為連續(xù)奇數(shù)之比：

xi:x2:x3...xn=1:3:5......:（2N-1）

E：通過連續(xù)相等的位移（X。）所用時間之比：

fI"2：,3......=1：（,\/2-1）:5/3-yfi.......:A/AZ-,yjn—1

特別提醒：初速度為零的勻加速直線運動的五個基本規(guī)律對于其逆運動——末速度

為零的勻減速直線運動（二者加速度大小相等）也適用！

④、任意勻變速直線運動的兩個基本規(guī)律

A、任意一段時間內(nèi)的平均速度等于中間時刻的瞬時速度："=%

jx

推廣："=匕=彳（%+匕）=一

i2t

B、在任意連續(xù)相等時間（T）內(nèi)的位移之差等于恒量：=="2

2

推廣：^x^xN-x^（N-M）aT

6、豎直上拋運動

①、定義：將物體以一定的初速度（%）豎直向上拋出后物體只在重力作用下的運

動叫豎直上拋運動。

②、特點：初速度不為零，且約定初速度方向為正方向；做豎直上拋運動的物體的

加速度（a）：a=-g

③、討論：

2

A、上升到最高點的時間（乙）：/卜=幺B、上升的最大高度（“）：

g2g

C、上升階段與下降階段做豎直上拋運動的物體通過同一段做豎直距離所用的時間

相等（時間對稱性：￡上=￡下）

D、上升階段與下降階段做豎直上拋運動的物體經(jīng)過同一位置的速度大小相等、方

向相反（速度對稱性：v=-vK）

④、豎直上拋運動的公式：x=—產(chǎn);匕=%—gf（以豎直向上為正方向）

在以上兩個公式中，t,g是算術(shù)符號（即它們總是正值），但x和％在不同

的時間范圍內(nèi)取不同的符號。豎直上拋運動的處理最好是全過程看作勻減速直線運動。

分兩個過程會復(fù)雜一些！

推廣：豎直下拋運動是一種初速度不為零的，加速度為g的勻加速直線運動。其公

2

式為：X=vot+^gt;vt=v0+gt（以豎直向下為正方向）

三、處理直線運動的科學(xué)思維方法

一、圖像法

分析和解答物理問題，除了物理公式和數(shù)學(xué)方法外，還可以利用物理圖像（函數(shù)圖、

矢量圖、幾何圖、光路圖等）

這里先介紹如何利用v-f圖象、s-f圖象解答直線運動的各種問題步驟如下：

1、根據(jù)物理規(guī)律中各個物理量的函數(shù)關(guān)系，在直角坐標(biāo)系上定性地或者定量地畫

出相應(yīng)地函數(shù)圖像。

2、根據(jù)圖像的斜率、截距、與坐標(biāo)軸所包圍的面積，以及圖像交點的坐標(biāo)等的物

理意義，進行分析、推理和計算。

例1：一火車沿直線軌道從靜止發(fā)出由A地駛向B地，并停止在B地。AB兩地相距

x,火車做加速運動時，其加速度最大為a,做減速運動時，其加速度的絕對值最大為

功，由此可可以判斷出該火車由A到B所需的最短時間為。（奧賽題目）

解析：整個過程中火車先做勻加速運動，后做勻減速運動，加速度最大時，所用時

間最短，分段運動可用圖像法來解。

根據(jù)題意作v—t圖，如圖所示。由圖可得%=上

11

V

S=1/+，2、)=1)

解得2血+%）

V

例2：兩輛完全相同的汽車，沿水平直路一前一后勻速行駛，速度為%,若前車突

然以恒定的加速度剎車，在它剛停住時，后車以前車剎車時的加速度開始剎車。已知前

車在剎車過程中所行的距離為x,若要保證兩輛車在上述情況中不相碰，則兩車在做勻

速行駛時保持的距離至少為：

A.xB.2xC.3xD.4x

解析：物體做直線運動時，其位移可用v-r圖像中的

面積來表示，故可用圖像法做。

作兩物體運動的Lt圖像如圖所示，前車發(fā)生的

位移X為三角形r（,0t的面積，由于前后兩車的剎車加

速度相同，根據(jù)對稱性，后車發(fā)生的位移為梯形的面

積X'=3X,兩車的位移之差應(yīng)為不相碰時，兩車勻速

行駛時保持的最小車距2x.

所以應(yīng)選B。

例3：一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度P的大小與距老鼠洞中心的距

離x成反比,當(dāng)老鼠到達距老鼠洞中心距離Xi=lm的A點時,速度大小為％=20cm/x,問

當(dāng)老鼠到達距老鼠洞中心xz=2m的B點時，其速度大小巴為多少？老鼠從A點到達B點

所用的時間t為多少？

解析：因為老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出的速

度與擊/一一二3

通過的距離成反比，則不能通過勻速運動、勻變速運動公1I

2＜）

式直接求解，但可以通過圖像法求解，因為在s圖像中，r/b^35/m

所圍面積即為所求的時間。以距離X為橫軸，上為縱軸建12

立直角坐標(biāo)系，則x與L成正比，作x圖像如圖所示，由圖可得x=2m時，老鼠的

VV

速度為10cm/x。在1m到2nl之間圖像與橫軸包圍的面積即為所求的時間，所以老鼠從

A到B爬行的時間為f=（―L+二一）x工s=7.5s.

0.20.12

二、微元法

微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。用該

方法可以使一些復(fù)雜的物理過程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地加以解決，使所求的問題

簡單化。在使用微元法處理問題時，需將其分解為眾多微小的“元過程”，而且每個“元

過程”所遵循的規(guī)律是相同的，這樣，我們只需分析這些“元過程”，然后再將“元過

程”進行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進而使問題求解。使用此方法會加強我們對

已知規(guī)律的再思考，從而引起鞏固知識、加深認識和提高能力的作用。

例1：如圖所示，一個身高為h的人在燈以速度-沿水_____

平直線行走。設(shè)燈距地面高為H,求證人影的頂端C點是做‘飛、

勻速直線運動。?}彳

解析：該題不能用速度分解求解，考慮采用“微元法”。力—卡-T、、

BCB'C

設(shè)某一時間人經(jīng)過AB處，再經(jīng)過??微小過程

△t(At-O),則人由AB到達A'B',人影頂端

C點到達C'點，由于△X-=⑥t則人影頂端的

H

女斗侏擊..ASCC.H-hHv

移動速度vr-hm———=lim---------=------

A1。AzA,TO2H—h

可見匕與所取時間at的長短無關(guān)，所以人影的頂端c點做勻速直線運動。(本題

也可用相似三角形的知識解)。

三、等效法

在一些物理問題中，一個過程的發(fā)展、一個狀態(tài)的確定，往往是由多個因素決定的，

在這一決定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，則前一些因素與

后一些因素是等效的，它們便可以互相代替，而對過程的發(fā)展或狀態(tài)的確定，最后結(jié)果

并不影響，這種以等效為前提而使某些因素互相代替來研究問題的方法就是等效法。

等效思維的實質(zhì)是在效果相同的情況下，將較為復(fù)雜的實際問題變換為簡單的熟悉

問題，以便突出主要因素，抓住它的本質(zhì)，找出其中規(guī)律.因此應(yīng)用等效法時往往是用

較簡單的因素代替較復(fù)雜的因素，以使問題得到簡化而便于求解。

例1：質(zhì)點由A向B做直線運動，A、B間的距離為L,已知質(zhì)點在A點的速度為由,

加速度為a，如果將L分成相等的n段，質(zhì)