2022-2023學(xué)年福建省福州市八縣（市）協(xié)作校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________

第I卷（選擇題）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.已知集合，，則()

A.B.C.D.

2.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為()

A.B.C.D.

3.已知，則()

A.B.C.D.

4.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的詳解九章算法商功中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱之為“三角垛”“三角垛”的最上層即第一層有個(gè)球，第二層有個(gè)球，第三層有個(gè)球，若“三角垛”從第一層到第層的各層的球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則()

A.B.

C.D.

5.已知：，：，則是的條件．()

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

6.已知四邊形是平行四邊形，，若與交于點(diǎn)，且，則()

A.B.C.D.

7.設(shè)點(diǎn)，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，在上位于第一象限，且點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，若，，則的離心率為()

A.B.C.D.

8.已知，，，則()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）

9.對實(shí)數(shù)，，，，下列命題中正確的是()

A.若，則

B.若，，則

C.若，，則

D.若，則的最小值是

10.已知圓：和圓：相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，則下列說法正確的是()

A.圓的圓心為，半徑為B.直線的方程為

C.線段的長為D.的最大值為

11.已知，函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的有()

A.若的最小正周期，則

B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象

C.若在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是

D.若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是

12.在棱長為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，

則()

A.異面直線與所成角的余弦值為

B.過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面周長為

C.當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上時(shí)，球的體積為

D.點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，的最小值為

第II卷（非選擇題）

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.顧惜同學(xué)和小小老師準(zhǔn)備開展高三“喊樓”活動，決定從學(xué)生會文娛部的名男生和名女生中，隨機(jī)選取人負(fù)責(zé)活動的主持工作，則恰好選中一名男生和一名女生的概率為______．

14.請寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列個(gè)條件的函數(shù)：______．

；

；

在上單調(diào)遞增．

15.已知向量的夾角為，且，則向量在向量上的投影向量為______用表示

16.已知函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

已知數(shù)列滿足，．

證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

求數(shù)列落入?yún)^(qū)間的所有項(xiàng)的和．

18.本小題分

為了促進(jìn)五一假期期間全區(qū)餐飲服務(wù)質(zhì)量的提升，霜寒同學(xué)和他的朋友們需了解游客對餐飲服務(wù)工作的認(rèn)可程度為此該部門隨機(jī)調(diào)查了名游客，根據(jù)這名游客對餐飲服務(wù)工作認(rèn)可程度給出的評分，分成，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

求直方圖中的值和第百分位數(shù)；

為了解部分游客給餐飲服務(wù)工作評分較低的原因，該部門從評分低于分的游客中用分層抽樣的方法隨機(jī)選取人作進(jìn)一步調(diào)查，求應(yīng)選取評分在的游客人數(shù)；

若游客的“認(rèn)可系數(shù)”認(rèn)可系數(shù)不低于，餐飲服務(wù)工作按原方案繼續(xù)實(shí)施，否則需進(jìn)一步整改根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識，結(jié)合“認(rèn)可系數(shù)”，判斷餐飲服務(wù)工作是否需要進(jìn)一步整改，并說明理由．

19.本小題分

已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對邊，且．

證明：；

若，求的長度．

20.本小題分

如圖，三棱臺中，，是的中點(diǎn)，是棱上的動點(diǎn)．

試確定點(diǎn)的位置，使得平面；

已知平面，且設(shè)直線與平面所成的角為，試在的條件下，求的最大值．

21.本小題分

如圖，正六邊形的邊長為已知雙曲線的焦點(diǎn)分別為，，兩條漸近線分別為直線，．

建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求的方程；

過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，，若點(diǎn)滿足，證明：點(diǎn)在一條定直線上．

22.本小題分

已知函數(shù)，其中，．

若，討論函數(shù)的單調(diào)性；

已知，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：由題，，，

則．

故選：．

根據(jù)題意列舉法表示集合，再根據(jù)并集的運(yùn)算求解即可．

本題主要考查了集合并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】

【解析】解：，

則，虛部為．

故選：．

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及虛部的定義，即可求解．

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．

3.【答案】

【解析】解：因?yàn)椋?/p>

所以，

可得，

則．

故選：．

由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，進(jìn)而利用二倍角的正切公式即可求解的值．

本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及二倍角的正切公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

4.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，有，，，，

則有：，，，，

歸納可得：，D正確；

故，A錯(cuò)誤；

同時(shí)有：，，兩式相減可得：，即，C錯(cuò)誤；

同時(shí)：，

則，B錯(cuò)誤；

故選：．

根據(jù)題意，分析數(shù)列的前幾項(xiàng)，由此歸納的表達(dá)式，由此分析選項(xiàng)可得答案．

本題考查合情推理的應(yīng)用，注意歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，若，則，

反之，當(dāng)，時(shí)，滿足，但，

故是的充分不必要條件．

故選：．

根據(jù)題意，由基本不等式的性質(zhì)證明充分性，舉出反例說明不必要，綜合可得答案．

本題考查充分必要條件的判定，涉及不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

6.【答案】

【解析】解：由四邊形是平行四邊形，且，

可知∽，且，

所以

，

則．

故選：．

根據(jù)為邊上三等分點(diǎn)，可得三角形與三角形的相似比為：，從而得到與的關(guān)系，進(jìn)而利用向量線性運(yùn)算進(jìn)行代換即可求得．

本題考查平面向量線性運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．

7.【答案】

【解析】解：，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，

又點(diǎn)，在上位于第一象限，且點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且，

根據(jù)對稱性可知四邊形為矩形，又，

，又，

，，又，，

，

，

，

．

故選：．

根據(jù)對稱性可知四邊形為矩形，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)，勾股定理，化歸轉(zhuǎn)化，即可求解．

本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，方程思想，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．

8.【答案】

【解析】解：設(shè)，，

則，，則在上單調(diào)遞增，

所以，所以在上單調(diào)遞增，

所以，即，則，即，

設(shè)，，

則，所以在上單調(diào)遞增，

則，即，所以，即，所以，

則．

故選：．

設(shè)，，然后利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，進(jìn)而可以比較，；設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性，進(jìn)而可以比較，，由此即可求解．

本題考查了三角函數(shù)值比較大小的問題，涉及到函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：對于，若，，則，故A錯(cuò)誤；

對于，若，，則，

所以，故B正確；

對于，若，，則，

所以，故C正確；

對于，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

若，則，故D錯(cuò)誤．

故選：．

利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合作差法逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．

本題主要考查了不等式的性質(zhì)，考查了作差法比較大小，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意，圓：，其圓心為，半徑，

圓：，即，

其圓心為，半徑，故A錯(cuò)誤；

聯(lián)立圓：和圓：，消去二次項(xiàng)，

可得直線的方程為，故B正確；

圓：的圓心為，半徑，

圓心到直線的距離為，

所以線段的長為，故C正確；

，則的最大值為，D正確．

故選：．

根據(jù)題意，由圓的方程分析兩圓的圓心和半徑，由此依次分析個(gè)選項(xiàng)，即可得答案．

本題考查直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．

11.【答案】

【解析】解：，函數(shù)，

若的最小正周期，則，故A正確．

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，

得到的圖象，故B錯(cuò)誤．

當(dāng)時(shí)，，

在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，

，解得，則的取值范圍是，故C正確．

當(dāng)時(shí)，，

若在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則，，解得，

的取值范為，故D錯(cuò)誤．

故選：．

由題意，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)論．

本題主要考查余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：對于，由于，又，

所以與所成角的余弦值為，A正確；

對于，過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面如下圖五邊形，

其中為線段上靠近的的三等分點(diǎn)，為線段上靠近的三等分點(diǎn)，，

根據(jù)幾何關(guān)系可得，，，

所以五邊形的周長為，B正確．

對于，如下圖可知三棱錐的外接球半徑即為棱長分別為，，的長方體的體對角線的一半，

球的半徑為，球的體積為，C錯(cuò)誤；

對于，如下圖，以為原點(diǎn)，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

所以，，所以平面的一個(gè)法向量，

設(shè)，則，

令，即，所以有，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，

所以，D正確．

故選：．

根據(jù)立體幾何知識，結(jié)合圖形對各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可．

本題主要考查立體幾何相關(guān)計(jì)算，屬中檔題．

13.【答案】

【解析】解：由題意，從名男生和名女生中，隨機(jī)選取人，

恰好選中一名男生和一名女生的概率為．

故答案為：．

由古典概型公式直接可得．

本題考查古典概型及其概率計(jì)算，屬基礎(chǔ)題．

14.【答案】答案不唯一．

【解析】解：根據(jù)題意，若，則為偶函數(shù)，

若，則是周期為的周期函數(shù)，

又由在上單調(diào)遞增，則可以為余弦函數(shù)的變形形式，如．

故答案為：答案不唯一．

根據(jù)題意，分析可得的周期和奇偶性，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．

本題考查函數(shù)的解析式求法，涉及函數(shù)的周期、奇偶性的分析，屬于基礎(chǔ)題．

15.【答案】

【解析】解：向量，的夾角為，且，

，

，

向量在向量上的投影向量為．

故答案為：．

根據(jù)已知條件，先求出的值，即可推出的值，再結(jié)合投影向量的公式，即可求解．

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題．

16.【答案】

【解析】解：因?yàn)?，?/p>

所以，

依題意可得存在唯一的變號正實(shí)根，

即存在唯一的變號正實(shí)根，

當(dāng)時(shí)，，方程只有唯一變號正實(shí)根，符合題意，

當(dāng)，方程，即沒有除之外的正實(shí)根，

令，則，

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，所以，

綜上可得

故答案為：

求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意存在唯一的變號正實(shí)根，即存在唯一的變號正實(shí)根，當(dāng)符合題意，當(dāng)時(shí)參變分離可得沒有除之外的正實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值，從而求出的取值范圍．

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查分類討論思想以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

17.【答案】解：證明：，

，

是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；

，

；

令，

即，

由于，

則，

又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和為，

則數(shù)列落入?yún)^(qū)間的所有項(xiàng)的和為．

【解析】將數(shù)列的遞推公式變形，可得，即可得到結(jié)論，進(jìn)而可求數(shù)列的通項(xiàng)，再求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

易知此時(shí)，由此可求得答案．

本題考查數(shù)列通項(xiàng)的求法以及數(shù)列的求和，由數(shù)列的遞推公式，通過構(gòu)造新的等比數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是?？贾R點(diǎn)，正確變形是關(guān)鍵，屬于中檔題．

18.【答案】解：由圖可知：，解得，

設(shè)第百分位數(shù)為，則，解得，

即第百分位數(shù)為；

低于分的游客中三組游客的人數(shù)比例為：：：：，

則應(yīng)選取評分在的游客人數(shù)為：；

由圖可知，認(rèn)可程度平均分為：

，

餐飲服務(wù)工作工作需要進(jìn)一步整改．

【解析】由頻率分布直方圖中所有頻率和為可求得，在頻率分布直方圖中頻率對應(yīng)的數(shù)為第分位數(shù)；

由低于分的游客中三組游客的人數(shù)比例進(jìn)行計(jì)算；

由頻率分布直方圖求出平均值后比較可得．

本題考查頻率分布直方圖，百分位數(shù)，分層抽樣等知識，屬基礎(chǔ)題．

19.【答案】解：證明：在三角形中，，

則，

整理可得：，

由正弦定理及余弦定理可得，

整理可得：；

即證得成立；

，，

由余弦定理可得，即，

即，而，，

可得，因?yàn)椋?/p>

所以，

所以．

所以的長度為．

【解析】在三角形中，由正余弦定理可證得結(jié)論；

由余弦定理及可得，的值，由向量的運(yùn)算性質(zhì)可得的大小．

本題考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，向量的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

20.【答案】解：連接，，

三棱臺中，，是的中點(diǎn)，是棱上的動點(diǎn)，

，，

四邊形為平行四邊形，，

平面，平面，平面，

又平面，且，平面，，

平面平面，

又平面平面，平面平面，，

是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，

在的中點(diǎn)處，平面；

平面，平面，

，又，，

平面，

平面，，

由知是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，

，，

連接，，，四邊形是平行四邊形，

，平面，平面，

，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

則，，，，，，

，，

設(shè)平面的法向量為，

則，取，則，

又，

，，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號，

的最大值為．

【解析】根據(jù)線線平行可得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而可得平面，又得平面平面由面面平行的性質(zhì)即可得線線平行，即可求解；

根據(jù)線線垂直可得線面垂直，即可建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法可得，結(jié)合基本不等式即可求解．

本題主要考查線面平行的判定，直線與平面所成角的求法，考查運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題．

21.【答案】解：依題意，以直線為軸，線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

因?yàn)樵谡呅沃?，為正三角形，，?/p>

設(shè)雙曲線的方程