數(shù)學函數(shù)的基礎(chǔ)知識點歸納總結(jié)大全

PAGE1PAGE函數(shù)基礎(chǔ)知識大全§1.2.1、函數(shù)的概念1、設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關(guān)系，使對于集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中都有惟一確定的數(shù)和它對應，那么就稱為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作：.2、一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應關(guān)系、值域.如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關(guān)系完全一致，則稱這兩個函數(shù)相等.3.兩個函數(shù)的相等：函數(shù)的定義含有三個要素，即定義域A、值域C和對應法則f.當函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對應法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定.因此，定義域和對應法則為函數(shù)的兩個基本條件，當且僅當兩個函數(shù)的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù).§1.2.2、函數(shù)的表示法1、函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.1.函數(shù)的三種表示法（1）解析法：就是把兩個變量的函數(shù)關(guān)系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數(shù)的解析表達式，簡稱解析式.（2）列表法：就是列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關(guān)系.（3）圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關(guān)系.2.求函數(shù)解析式的題型有：（1）已知函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法；（2）已知求或已知求：換元法、配湊法；（3）已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式；（4）滿足某個等式，這個等式除外還有其他未知量，需構(gòu)造另個等式解方程組法；（5）應用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等．求函數(shù)解析式的常用方法：1、換元法（注意新元的取值范圍）2、待定系數(shù)法（已知函數(shù)類型如：一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等）3、整體代換（配湊法）4.賦值法：3.映射的定義：一般地，設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種對應關(guān)系f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，那么，這樣的對應（包括集合A、B，以及集合A到集合B的對應關(guān)系f）叫做集合A到集合B的映射，記作f:A→B.由映射和函數(shù)的定義可知，函數(shù)是一類特殊的映射，它要求A、B非空且皆為數(shù)集.4.映射的概念中象、原象的理解：(1)A中每一個元素都有象;(2)B中每一個元素不一定都有原象，不一定只一個原象；(3)A中每一個元素的象唯一。1．映射：注意:①第一個集合中的元素必須有象；②一對一或多對一.2求函數(shù)定義域一般有三類問題：（1）給出函數(shù)解析式的：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合；（2）實際問題：函數(shù)的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應考慮使實際問題有意義；（3）已知的定義域求的定義域或已知的定義域求的定義域：掌握基本初等函數(shù)（尤其是分式函數(shù)、無理函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的定義域；（1）分式的分母不為0；（2）偶次方根的被開方數(shù)不小于0；（3）對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0；（4）指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1；（5）零指數(shù)、負指數(shù)冪的底數(shù)不等于0.②①若f(x)的定義域為［a，b］,則復合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域.2．函數(shù)值域的求法：①直接法；②配方法；③判別式法；④利用函數(shù)單調(diào)性；⑤換元法；⑥利用均值不等式；⑦幾何意義（斜率、距離、絕對值的意義等）；⑧利用函數(shù)有界性（、、等）；⑨平方法；=10\*GB3⑩導數(shù)法（11）分離常數(shù)法；（12）反函數(shù)法；（13）數(shù)形結(jié)合法。3求函數(shù)值域的各種方法函數(shù)的值域是由其對應法則和定義域共同決定的其類型依解析式的特點分可分三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運算”而得函數(shù)的值域①直接法：利用常見函數(shù)的值域來求一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域為R，值域為R；反比例函數(shù)的定義域為{x|x0}，值域為{y|y0}；二次函數(shù)的定義域為R，當a>0時，值域為{}；當a<0時，值域為{}②配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為型如：的形式；③分式轉(zhuǎn)化法（或改為“分離常數(shù)法”）④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運用三角函數(shù)有界性來求值域；⑥基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如：，利用平均值不等式公式來求值域；⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域⑨逆求法（反求法）：通過反解，用來表示，再由的取值范圍，通過解不等式，得出的取值范圍；常用來解，型如：⑩判別式法

⑾.導數(shù)法：6．復合函數(shù)：若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么y=f[g(x)]稱為復合函數(shù)，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域。（2）復合函數(shù)單調(diào)性的判定：①首先將原函數(shù)分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)②分別研究內(nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性③根據(jù)“同性則增，異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性.4．分段函數(shù)：在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應關(guān)系，這樣的函數(shù)通常叫分段函數(shù)。值域（最值）、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，再下結(jié)論。5.函數(shù)的奇偶性1．（1）判斷函數(shù)的奇偶性有時可以用定義的等價形式：，討論函數(shù)的奇偶性的前提條件是函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，要重視這一點；（2）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，因此根據(jù)圖象的對稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性2.奇偶函數(shù)的性質(zhì)：（1）函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件（2）偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；（3）為偶函數(shù)（4）若奇函數(shù)在0處有定義，，則f(0)=0,因此，“f(x)為奇函數(shù)”是"f(0)=0"的非充分非必要條件；（5）設(shè)，的定義域分別是，那么在它們的公共定義域上：（6）定義在R上的任意函數(shù)f(x)均可表示為一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)之和。（7）在定義域內(nèi)的公共部分內(nèi)，兩個奇函數(shù)之積（商）為偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)之積（商）為偶函數(shù)；一奇一偶函數(shù)之積（商）為奇函數(shù)；兩個奇（偶）函數(shù)之和、差為奇（偶）函數(shù)。即奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇（8）偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反；奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性一致.（9）f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的充要條件是f(x)=0.3.奇、偶性的推廣：（1）函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線（軸）對稱.推廣一：函數(shù)y=f(x)對于定義域內(nèi)任一x都有,則y=f(x)的圖象關(guān)于x=a對稱，即y=f(a+x)為偶函數(shù);推廣二：如果函數(shù)對于一切，都有成立，那么的圖像關(guān)于直線（由“和的一半確定”）對稱.推廣三：函數(shù)，的圖像關(guān)于直線（由確定）對稱.推廣四：函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱（由“和的一半確定”）.(2)函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線（軸）對稱.推廣一：函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)任一x都有,則y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,0)成中心對稱，即y=f(a+x)為奇函數(shù)。推廣二：函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)任一x都有，則y=f(x)的圖象關(guān)于點成中心對稱。推廣三：函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱.4.對于復合函數(shù)F（x）=f[g(x)]滿足同奇則奇，有偶則偶。6．函數(shù)的單調(diào)性:⑴單調(diào)性的定義：①在區(qū)間上是增函數(shù)當時有；②在區(qū)間上是減函數(shù)當時有；⑵單調(diào)性的判定：=1\*GB3①定義法：一般要將式子化為幾個因式作積或作商的形式，以利于判斷符號；設(shè)；作差（一般結(jié)果要分解為若干個因式的乘積，且每一個因式的正或負號能清楚地判斷出）；判斷正負號。②導數(shù)法（見導數(shù)部分）；若在某個區(qū)間A內(nèi)有導數(shù)，則在A內(nèi)為增函數(shù)；在A內(nèi)為減函數(shù)。③復合函數(shù)法；復合函數(shù)在公共定義域上的單調(diào)性：①若f與g的單調(diào)性相同，則為增函數(shù)；“同則增”②若f與g的單調(diào)性相反，則為減函數(shù)?！爱悇t減”注意：先求定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集。④圖像法注：證明單調(diào)性主要用定義法和導數(shù)法。（3）性質(zhì)①奇函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；②偶函數(shù)在其對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；③在公共定義域內(nèi)：增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。④函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上是單調(diào)遞減。⑤復合函數(shù)在公共定義域上的單調(diào)性：①若f與g的單調(diào)性相同，則為增函數(shù)；②若f與g的單調(diào)性相反，則為減函數(shù)。注意：先求定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集。7．函數(shù)的周期性：(1)周期性的定義：對定義域內(nèi)的任意，若有（其中為非零常數(shù)），則稱函數(shù)為周期函數(shù)，為它的一個周期。所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函數(shù)的周期：①；②；③；④；⑤(3)與周期有關(guān)的結(jié)論：或的周期為2.性質(zhì)：（1）.對于一個周期函數(shù)來說，如果在所有的周期中存在一個最小正數(shù)，就把這個最小正數(shù)叫最小正周期。（2）并不是任何周期函數(shù)都有最小正周期，如常數(shù)函數(shù)。(3)若T是函數(shù)y=f(x)的周期，則nT都是這個函數(shù)的周期(4)若則。（5）若①、②、③、④，⑤，⑥，⑦，則的周期為2T。（6）若T是函數(shù)y=f(x)的周期，則也是周期函數(shù)，且周期為。（7）若，則的周期為。（8）若關(guān)于直線和直線對稱，則是它的一個周期。若關(guān)于點和點對稱，則是它的一個周期。若關(guān)于點和直線對稱，則是它的一個周期。8．基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)：1．指數(shù)與對數(shù)運算（1）根式的概念：①定義：若一個數(shù)的次方等于，則這個數(shù)稱的次方根。即若，則稱的次方根，1）當為奇數(shù)時，次方根記作；2）當為偶數(shù)時，負數(shù)沒有次方根，而正數(shù)有兩個次方根且互為相反數(shù)，記作。②性質(zhì)：1）；2）當為奇數(shù)時，；3）當為偶數(shù)時，。2.冪的有關(guān)概念①規(guī)定：1）N*；2）；n個3）Q，4）、N*且。②性質(zhì)：1）、Q）；2）、Q）；3）Q）。（注）上述性質(zhì)對r、R均適用。冪函數(shù)性質(zhì)（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過點（1，1）；（2）時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當時，冪函數(shù)的圖象下凸；當時，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸（p,q互為質(zhì)數(shù)）的圖像q為奇數(shù)P為奇數(shù)q為奇數(shù)P偶數(shù)q為偶數(shù)P為奇數(shù)3.對數(shù)的概念①定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數(shù)稱以為底N的對數(shù)，記作其中稱對數(shù)的底，N稱真數(shù)。1）以10為底的對數(shù)稱常用對數(shù)，記作；2）以無理數(shù)為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，，記作；②基本性質(zhì)：1）真數(shù)N為正數(shù)（負數(shù)和零無對數(shù)）；2）；3）；4）對數(shù)恒等式：。③運算性質(zhì)：如果則1）；2）；3）R）。④換底公式：1）；2）。2．指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（1）指數(shù)函數(shù)：①定義：函數(shù)稱指數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域為R；2）函數(shù)的值域為；3）當時函數(shù)為減函數(shù)，當時函數(shù)為增函數(shù)。②函數(shù)圖像：1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（0，1），且圖象都在第一、二象限；2）指數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當時，圖象向左無限接近軸，當時，圖象向右無限接近軸）；3）對于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱。①，①，②，③①，②，③，（2）對數(shù)函數(shù)：①定義：函數(shù)稱對數(shù)函數(shù)，1）函數(shù)的定義域為；2）函數(shù)的值域為R；3）當時函數(shù)為減函數(shù)，當時函數(shù)為增函數(shù)；4）對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。②函數(shù)圖像：1）對數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（0，1），且圖象都在第一、四象限；2）對數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線（當時，圖象向上無限接近軸；當時，圖象向下無限接近軸）；4）對于相同的，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱。③函數(shù)值的變化特征：①①，②，③.①，②，③.9．二次函數(shù)：⑴解析式：①一般式：；②頂點式：，為頂點；③零點式：（a≠0）.⑵二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：①開口方向；②對稱軸；③端點值；④與坐標軸交點；⑤判別式；⑥兩根符號。二次函數(shù)的圖象的對稱軸方程是，頂點坐標是。10．函數(shù)圖象：1．作圖方法：描點法和利用基本函數(shù)圖象變換作圖；作函數(shù)圖象的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值（甚至變化趨勢）；④描點連線，畫出函數(shù)的圖象。2．三種圖象變換：平移變換、對稱變換和伸縮變換等等；3．識圖：分布范圍、變化趨勢、對稱性、周期性等等方面．4．平移變換：（1）水平平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向左或向右平移個單位即可得到；（2）豎直平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向上或向下平移個單位即可得到．①y=f(x)y=f(x+h);②y=f(x)y=f(xh);③y=f(x)y=f(x)+h;④y=f(x)y=f(x)h.5．對稱變換：（1）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱即可得到；（2）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱即可得到；（3）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱即可得到；（4）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱得到．①y=f(x)y=f(x);②y=f(x)y=f(x);③y=f(x)y=f(2ax);④y=f(x)y=f1(x);⑤y=f(x)y=f(x).6．翻折變換：（1）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像的軸下方部分沿軸翻折到軸上方，去掉原軸下方部分，并保留的軸上方部分即可得到；（2）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像右邊沿軸翻折到軸左邊替代原軸左邊部分并保留在軸右邊部分即可得到．7．伸縮變換：（1）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點橫坐標不變縱坐標伸長或壓縮（）為原來的倍得到；（2）函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點縱坐標不變橫坐標伸長或壓縮（）為原來的倍得到．①y=f(x)y=f();②y=f(x)y=ωf(x).以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本節(jié)的重點．運用描點法作圖象應避免描點前的盲目性，也應避免盲目地連點成線．要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當處．這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個大概的研究．而這個研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個難點．用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進行變換，以及確定怎樣的變換．這也是個難點．⑴圖象作法：①描點法（特別注意三角函數(shù)的五點作圖）②圖象變換法③導數(shù)法⑵圖象變換：平移變換：ⅰ)，———左“+”右“－”；ⅱ)———上“+”下“－”；對稱變換：ⅰ)；ⅱ)；ⅲ)；ⅳ)；翻折變換：ⅰ)———（去左翻右）y軸右不動，右向左翻（在左側(cè)圖象去掉）；ⅱ)———（留上翻下）x軸上不動，下向上翻（||在下面無圖象）；11．函數(shù)圖象（曲線）對稱性的證明：(1)證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；（2）證明函數(shù)與圖象的對稱性，即證明圖象上任意點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點在的圖象上，反之亦然。注：①曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于原點（0,0）的對稱曲線C2方程為：f(－x,－y)=0;曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于直線x=0的對稱曲線C2方程為：f(－x,y)=0;曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于直線y=0的對稱曲線C2方程為：f(x,－y)=0;曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于直線y=x的對稱曲線C2方程為：f(y,x)=0②f(a+x)=f(b－x)（x∈R）y=f(x)圖像關(guān)于直線x=對稱；特別地：f(a+x)=f(a－x)（x∈R）y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對稱.③的圖象關(guān)于點對稱.特別地：的圖象關(guān)于點對稱.=4\*GB3④函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱;函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對