曲邊梯形的面積新人教版選修

1.5.1曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積內(nèi)容：應(yīng)用求曲邊梯形的面積四個步驟“以直代曲”和“無限逼近”思想本課主要學(xué)習(xí)曲邊梯形面積的求法及“以直代曲”和“無限逼近”思想。以金門大橋的圖片引入新課。給出了曲邊梯形的定義，體會割圓術(shù)的基本思想。通過對曲邊梯形面積的探求，掌握好求曲邊梯形的面積的四個步驟:分割→近似代替→求和→取極限。在求曲邊梯形面積的過程中，通過問題的探究體會以直代曲、以不變代變及無限逼近的思想.通過類比體會從具體到抽象、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。本課屬于概念課，通過探索求曲邊梯形面積的四個步驟，深入理解“分割、以曲代直、求和、逼近”的思想。本課在講了一個經(jīng)典案例之后給出一個課堂檢測，鞏固曲邊梯形面積的求法。金門大橋

（美國）微積分在幾何上有兩個基本問題:1.如何確定曲線上一點處切線的斜率；2.如何求曲線下方“曲線梯形”的面積。xy0xy0xyo直線幾條線段連成的折線曲線？和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形.

曲邊梯形的定義：由直線概念形成看看怎樣求出下列圖形的面積?從中你有何啟示？∟∟思維導(dǎo)航不規(guī)則的幾何圖形可以分割成若干個規(guī)則的幾何圖形來求解魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)“…割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣…”——劉徽劉徽的這種研究方法對你有什么啟示?思維導(dǎo)航-----割圓術(shù)魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)“…割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣…”——劉徽劉徽的這種研究方法對你有什么啟示?“…割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣…”割圓術(shù)：劉徽在《九章算術(shù)》注中講到——劉徽劉徽的這種研究方法對你有什么啟示?以“直”代“曲”無限逼近案例探究如何求由直線與拋物線所圍成的平面圖形的面積S？思考1：怎樣“以直代曲”？能整體以“直”代“曲嗎？思考2：怎樣分割最簡單？xyO1方案1方案2方案3為了計算曲邊三角形的面積S，將它分割成許多小曲邊梯形對任意一個小曲邊梯形，用“直邊”代替“曲邊”（即在很小范圍內(nèi)以直代曲），有以下三種方案“以直代曲”.

y=f(x)baxyOA1A1A1A

A1.用一個矩形的面積A1近似代替曲邊梯形的面積A，得A

A1+A2用兩個矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積A，得

y=f(x)baxyOA1A2A

A1+A2+A3+A4用四個矩形的面積近似代替曲邊梯形的面積A，得

y=f(x)baxyOA1A2A3A4

y=f(x)baxyOA

A1+A2+

+An

將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，并用小矩陣形的面積代替小曲邊梯形的面積，于是曲邊梯形的面積A近似為A1AiAn分割越細，面積的近似值就越精確.當分割無限變細時，這個近似值就無限逼近所求曲邊梯形的面積S.下面用第一種方案“以直代曲”的具體操作過程分割把區(qū)間[0，1]等分成n個小區(qū)間：過各區(qū)間端點作x軸的垂線，從而得到n個小曲邊梯形，他們的面積分別記作

近似代換求和取極限分割近似代換求和取極限分割，求和，取極限

當分點非常多（n非常大）時，可以認為f(x)在小區(qū)間上幾乎沒有變化（或變化非常?。?，從而可以取小區(qū)間內(nèi)任意一點xi對應(yīng)的函數(shù)值f(xi)作為小矩形一邊的長，于是f(xi)△x來近似表示小曲邊梯形的面積表示了曲邊梯形面積的近似值點擊演示通過動畫演示我們可以看出，n越大，區(qū)間分的越細，各個結(jié)果就越接近真實值。為此，我們讓n無限變大，這就是一個求極限的過程.（1）在分割時一定要等分嗎？不等分影響結(jié)果嗎？（2）在近似代替時用小區(qū)間內(nèi)任一點處的函數(shù)值影響結(jié)果嗎？（3）總結(jié)一般曲邊梯形面積的表達式？兩個結(jié)論1.在分割時，不管采用等分與不等分，結(jié)果一樣。2.在近似代替時，用小區(qū)間內(nèi)任一點處的函數(shù)值作為近似值，結(jié)果也是一樣的。一般曲邊梯形的面積的表達式分割近似代替求和逼近以上計算曲邊三角形面積的過程可以用流程圖表示：OyxOyxOyxOyx過每個分點作x軸的垂線，解:(1)分割:將區(qū)間[0,2]n等分,則每個區(qū)間的長度為將原曲邊梯形分割為n個小曲邊梯形;1.求直線x=0,x=2,y=0與曲線y=x2所圍成的曲邊梯形的面積.(2)近似替代

以每個區(qū)間的左端點的函數(shù)值為高作n個小矩形,當n很大時,用這n個小矩形的面積和近似替代曲邊梯形的面積S;(3)求和(4)取極限即曲邊梯形的面積為求一個具體曲邊梯形的面積

一個案例

兩種思想

方案一、方案二、方案三三個方案

分割、近似代替、求和、求極限

“以直代曲”和“無限逼近”思想

四個步驟

有位成功人士曾說過：“做事業(yè)的過程就是在求解一條曲線長度的過程。每一件實實在在的小事就是組成事業(yè)曲線的直線段?！毕胂胛覀兊膶W(xué)習(xí)過程、追求理想的過程又何嘗不是這樣？希望大家能用微積分的思想去學(xué)習(xí)、去做事！觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系。觀察以下演示，注意當分割加細時，矩形面