中山紀(jì)念中學(xué)2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)f(x)與它的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的大致圖象如圖所示，設(shè)g(x)=f(x)exA．15 B．25 C．32．在公差為的等差數(shù)列中，“”是“是遞增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，在已知兩次的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)的條件下，兩次的點(diǎn)數(shù)之和不大于8的概率為（）A． B． C． D．4．函數(shù)的定義域?yàn)镽，，對任意的，都有成立，則不等式的解集為A． B． C． D．R5．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則函數(shù)有極值點(diǎn)的概率為（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.56．一次數(shù)學(xué)考試后，甲說：我是第一名，乙說：我是第一名，丙說:乙是第一名。丁說：我不是第一名，若這四人中只有一個(gè)人說的是真話且獲得第一名的只有一人，則第一名的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．設(shè)平面向量，則與垂直的向量可以是（）A． B． C． D．8．已知，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．09．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)（）A．1 B． C．i D．10．已知復(fù)數(shù)，若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)等于（）A．2 B．1 C．0或1 D．-111．甲、乙獨(dú)立地解決同一數(shù)學(xué)問題，甲解決這個(gè)問題的概率是1．8，乙解決這個(gè)問題的概率是1．6，那么其中至少有1人解決這個(gè)問題的概率是()A．1．48 B．1．52 C．1．8 D．1．9212．已知函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)（）A．先向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變B．先向右平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)保持不變C．先向右平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變D．先向左平移個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)保持不變二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，集合，那么集合的子集個(gè)數(shù)為___個(gè)．14．函數(shù)的定義域?yàn)開______________．15．若的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是__________.16．觀察下列等式：請你歸納出一般性結(jié)論______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），在同一直角坐標(biāo)系中，將曲線上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換得到曲線.（1）求曲線的普通方程；（2）若點(diǎn)在曲線上，已知點(diǎn)，求直線傾斜角的取值范圍.18．（12分）已知點(diǎn)，經(jīng)矩陣對應(yīng)的變換作用下，變?yōu)辄c(diǎn).（1）求的值；（2）直線在對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€，求直線的方程.19．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和及的值；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求、、的值，根據(jù)計(jì)算結(jié)果猜測關(guān)于的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（3）對任意正整數(shù)，若恒成立，求的取值范圍.20．（12分）已知正四棱柱的底面邊長為2，.（1）求該四棱柱的側(cè)面積與體積；（2）若為線段的中點(diǎn)，求與平面所成角的大小.21．（12分）[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程；(2)若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，是曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值．22．（10分）為了增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某社團(tuán)從男生中隨機(jī)抽取了31人，從女生中隨機(jī)抽取了51人參加環(huán)保知識(shí)測試，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)男生412131女生213151總計(jì)3151111（1）試判斷是否有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)；（2）為參加市舉辦的環(huán)保知識(shí)競賽，學(xué)校舉辦預(yù)選賽，現(xiàn)在環(huán)保測試優(yōu)秀的同學(xué)中選3人參加預(yù)選賽，已知在環(huán)保測試中優(yōu)秀的同學(xué)通過預(yù)選賽的概率為23，若隨機(jī)變量X表示這3人中通過預(yù)選賽的人數(shù)，求X附:K2＝1．5111．4111．1111．1111．1111．4551．7182．7133．33511．828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

結(jié)合圖象可得到f'(x)-f(x)<0成立的x的取值范圍，從而可得到g(x)【詳解】由圖象可知，y軸左側(cè)上方圖象為f'(x)的圖象，下方圖象為對g(x)求導(dǎo)，可得g'(x)=f'(x)-f(x)ex，結(jié)合圖象可知x∈(0,1)和x∈(4,5)時(shí)，f'(x)-f(x)<0，即g(x)在0,1和【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.2、A【解析】試題分析：若，則，，所以，是遞增數(shù)列；若是遞增數(shù)列，則，，推不出，則“”是“是遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選A.考點(diǎn)：充分條件、必要條件的判定.3、D【解析】

求出兩次點(diǎn)均為偶數(shù)的所有基本事件的個(gè)數(shù)，再求出在兩次均為偶數(shù)而且和不大于8的基本事件的個(gè)數(shù)后可得概率．【詳解】記，，因?yàn)?，，所以．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查條件概率，本題解題關(guān)鍵是求出兩次的點(diǎn)數(shù)均為偶數(shù)的條件下，兩次的點(diǎn)數(shù)之和不大于8所含有的基本事件的個(gè)數(shù)．4、A【解析】

把原不等式化為右側(cè)為0的形式，令左側(cè)為，利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)性，得解集．【詳解】原不等式化為，令，則，對任意的，都有成立，恒成立，在R上遞減，，的解集為，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，解決不等式問題，難度適中．對于沒有解析式或者表達(dá)式比較復(fù)雜的不等式，通常采取的方法是，研究函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)，進(jìn)而得到解集。5、C【解析】分析：函數(shù)有極值點(diǎn)，則有解，可得的取值范圍，再根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可得曲線關(guān)于直線對稱，從而可得結(jié)論.詳解：函數(shù)有極值點(diǎn)，有解，，，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，.故選：C.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的極值點(diǎn)，考查正態(tài)分布曲線的對稱性，同時(shí)考查運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.6、C【解析】

通過假設(shè)法來進(jìn)行判斷?！驹斀狻考僭O(shè)甲說的是真話，則第一名是甲，那么乙說謊，丙也說謊，而丁說的是真話，而已知只有一個(gè)人說的是真話，故甲說的不是真話，第一名不是甲；假設(shè)乙說的是真話，則第一名是乙，那么甲說謊，丙說真話，丁也說真話，而已知只有一個(gè)人說的是真話，故乙說謊，第一名也不是乙；假設(shè)丙說的是真話，則第一名是乙，所以乙說真話，甲說謊，丁說的是真話，而已知只有一個(gè)人說的是真話，故丙在說謊，第一名也不是乙；假設(shè)丁說的是真話，則第一名不是丁，而已知只有一個(gè)人說的是真話，那么甲也說謊，說明甲也不是第一名，同時(shí)乙也說謊，說明乙也不是第一名，第一名只有一人，所以只有丙才是第一名，故假設(shè)成立，第一名是丙。本題選C。【點(diǎn)睛】本題考查了推理能力。解決此類問題的基本方法就是假設(shè)法。7、D【解析】分析：先由平面向量的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算得到，再利用數(shù)量積為0進(jìn)行判定．詳解：由題意，得，因?yàn)椋?，，，故選D．點(diǎn)睛：本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量垂直的判定等知識(shí)，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力和基本計(jì)算能力．8、B【解析】

由題意可作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象，圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為函數(shù)h(x)=f(x)?g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】可由題意在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出f(x)=2lnx，的圖象，其中紅色的為f(x)=2lnx的圖象，由圖象可知：函數(shù)f(x)和g(x)的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，即h(x)=f(x)?g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于函數(shù)與方程思想的綜合運(yùn)用，求零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題通常采用數(shù)形結(jié)合方法，畫出圖像即可得到交點(diǎn)個(gè)數(shù)，屬于中等題.9、C【解析】

利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則及虛數(shù)單位的冪運(yùn)算性質(zhì)，化簡復(fù)數(shù)到最簡形式．【詳解】解：復(fù)數(shù)，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時(shí)除以分母的共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】分析：由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，得實(shí)部等于0且虛部不等于0.求解即可得到答案.詳解：復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，，解得.故選B.點(diǎn)睛：此題考查復(fù)數(shù)的概念，思路：純虛數(shù)是實(shí)部為0.虛部不為0的復(fù)數(shù).11、D【解析】1－1．2×1．4＝1．92，選D項(xiàng)．12、D【解析】

由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得，進(jìn)而得再利用圖像變換求解即可【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得，即，解得，所以，，故只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)“先向左平移個(gè)單位長度，得再將橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)保持不變,得”即可.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查圖像變換，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1．【解析】

可以求出集合M，N，求得并集中元素的個(gè)數(shù)，從而得出子集個(gè)數(shù)．【詳解】∵M(jìn)＝{﹣1，1}，N＝{1，2}；∴M∪N＝{﹣1，1，2}；∴M∪N的子集個(gè)數(shù)為23＝1個(gè)．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查描述法、列舉法的定義，以及并集的運(yùn)算，子集的定義，以及集合子集個(gè)數(shù)的求法．14、{x|x∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z}【解析】分析：這里的cosx以它的值充當(dāng)角，要使sin（cosx）＞0轉(zhuǎn)化成2kπ＜cosx＜2kπ+π，注意cosx自身的范圍．詳解：由sin（cosx）＞0?2kπ＜cosx＜2kπ+π（k∈Z）．又∵﹣1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1；故所求定義域?yàn)閧x|x∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z}．故答案為：{x|x∈（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z}.點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的定義域及其求法及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線．15、1【解析】分析：利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得n的值，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式中的常數(shù)項(xiàng)．詳解：的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為，，則；

則展開式的通項(xiàng)公式為令，求得，可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)是故答案為1．點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】分析：根據(jù)題意，觀察各式可得其規(guī)律，用將規(guī)律表示出來即可．（，且為正整數(shù)）詳解：根據(jù)題意，觀察各式可得：

第①式中，；②式中，

第③式中，；…規(guī)律可表示為：即答案為.點(diǎn)睛：本題要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）按照坐標(biāo)變換先得到曲線的參數(shù)方程，再化簡為普通方程.（2）先計(jì)算與圓相切時(shí)的斜率，再計(jì)算傾斜角的范圍.【詳解】(1)消去得的普通方程（2）當(dāng)與圓相切時(shí)，或，直角傾斜角的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程，坐標(biāo)變換，傾斜角范圍，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.18、(1)；(2)【解析】

（1）根據(jù)題意，結(jié)合題中的條件，利用矩陣乘法公式，列出滿足條件的等量關(guān)系式，求得結(jié)果；（2）設(shè)直線上任意一點(diǎn)經(jīng)矩陣變換為，利用矩陣乘法得出坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用在直線上，代入求得，進(jìn)而得出直線的方程.【詳解】（1）解得∴；（2）由（1）知：設(shè)直線上任意一點(diǎn)經(jīng)矩陣變換為則∵∴即∴直線的方程為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)點(diǎn)和直線經(jīng)矩陣變換的問題，在解題的過程中，注意變換的規(guī)則，掌握矩陣的乘法，屬于簡單題目.19、（1），；（2），，，；證明見解析（3）.【解析】

（1）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式和極限的定義即可求解。（2）求出，可求，，的值，猜想的表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進(jìn)行證明。（3）問題轉(zhuǎn)化為，對于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可求出的范圍?！驹斀狻?，，，=（2），，，，猜想，理由如下，：當(dāng)時(shí)，成立；：假設(shè)時(shí)成立，則，那么當(dāng)時(shí)，即時(shí)，猜想也成立，故由和，可知猜想成立；（3），若恒成立，則，即，對于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，，，，，【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的求和公式、取極限、數(shù)學(xué)歸納法、導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，綜合性比較強(qiáng)；在求參數(shù)的取值范圍時(shí)可采用“分離參數(shù)法”，構(gòu)造新函數(shù)，研究函數(shù)的最值。20、（1），（2）【解析】試題分析：⑴根據(jù)題意可得：在中，高∴⑵過作，垂足為，連結(jié)，則平面，∵平面，∴∴在中，就是與平面所成的角∵，∴，又是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴在中∴∴考點(diǎn)：線面角，棱柱的體積點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是對于幾何體體積公式以及空間中線面角的求解的表示，屬于基礎(chǔ)題．21、(1);(2).【解析】分析：（1）消去參數(shù)可以求出曲線C的普通方程，由，，能求出曲線的極坐標(biāo)方程；（2）解法一：極坐標(biāo)法.設(shè)動(dòng)點(diǎn)極坐標(biāo)為，由正弦定理得的表達(dá)式，確定最大值.解法二：幾何法.過圓心作的垂線交圓于、兩點(diǎn)，交于點(diǎn).以為底邊計(jì)算，將最大值，轉(zhuǎn)化為底邊上的高最大值問題，由圓的性質(zhì)，易得當(dāng)點(diǎn)M