因式分解(提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法)課件

因式分解因式分解的方法因式分解因式分解的方法1提公因式法一。公因式的確定方法：二。提公因式法分解因式的步驟：1。取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)2。取各項(xiàng)相同字母的最低次冪。1。確定公因式2。用公因式去除多項(xiàng)式的各項(xiàng)得另一個(gè)因式3。寫成這兩個(gè)因式的積的形式。提公因式法一。公因式的確定方法：二。提公因式法分解因式的步驟2四．填空（1）3x2+6=

（2）7x2-21x=

（3）8a3b2-12ab2c+ab=

（4）-24x3-12x2+28x=

（5）（6）-5ab2+20a2b-15ab3=

（7）am-am-1=（）（a-1）

3（x2+2）7x（x-3）ab（8a2b-12bc+1）-4x（6x2+3x-7）-5ab（b-4a+3b2）am-1(a+2b)四．填空3（x2+2）7x（x-3）ab（8a2b-12bc3注意：當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“-”號，使括號內(nèi)第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)。在提出“-”號時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號！注意：當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“-”號，使括4

分析：(b+c)是這兩個(gè)式子的公因式,可以直接提出.例2分解因式.討論5：公因式是多項(xiàng)式時(shí)，如何提公因式？分析：(b+c)是這兩個(gè)式子的公因式,可以直5提公因式法-因式分解：24x3y－18x2y

；7ma+14ma2；(3)－16x4+32x3－56x2；(4)－

7ab－14abx+49aby；(5)2a(y－z)－3b(y－z)；(6)p(a2+b2)－q(a2+b2).提公因式法-因式分解：24x3y－18x2y；6拓展與提高1.20042+2004能被2005整除嗎?

拓展與提高1.20042+2004能被2005整除嗎?7六．利用分解因式計(jì)算：（1）-4.2×3.14-3.5×3.14+17.7×3.14

(2)30.5×768.3-768.3×20.5

解：原式=-3.14×(4.2+3.5-17.7)=-3.14×(-10)=-31.4解:原式=768.3(30.5-20.5)=768.3×10=7683六．利用分解因式計(jì)算：解：原式解:原式=768.3(30.58拓展與探究1.

已知n為非零的自然數(shù),先將2n+4-2n分解因式,再說明2n+4-2n能否被30整除.

.

2.若a=-2，a+b+c=-2.8，求a2（-b-c）-3.2a（c+b）的值。

解:因?yàn)閚是非零自然數(shù),所以2n+4-2n=2n(24-1)=2n×15=2n-1×30，所以,2n+4-2n能被30整除。解:因?yàn)閍=-2，a+b+c=-2.8,所以-2+b+c=-2.8,解得b+c=-2.8+2=-0.8原式=-a(b+c)(a+3.2)=2×(-0.8)×1.2=-1.92拓展與探究解:因?yàn)閚是非零自然數(shù),解:因?yàn)閍=9專項(xiàng)訓(xùn)練一：確定下列各多項(xiàng)式的公因式。專項(xiàng)訓(xùn)練二：利用乘法分配律的逆運(yùn)算填空。專項(xiàng)訓(xùn)練三、在下列各式左邊的括號前填上“+”或“－”，使等式成立。專項(xiàng)訓(xùn)練一：確定下列各多項(xiàng)式的公因式。專項(xiàng)訓(xùn)練二：利用乘法分10公式法

(1)平方差公式：

a2-b2=(a+b)(a-b)(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2公式法(1)平方差公式：11平方差公式反過來就是說：兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積a2-b2=(a+b)(a-b)因式分解平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2整式乘法平方差公式反過來就是說：兩個(gè)數(shù)的平方差，等于這兩個(gè)數(shù)的和與這12嘗試一下列多項(xiàng)式能否用平方差公式來分解因式？為什么？（1）（2）（3）（4）（5）嘗試一下列多項(xiàng)式能否用平方差公式來分解因式？為什么？（1）（13分解因式(1)a2－

b2;(2)9a2－4b2;(3)x2y－4y;(4)－a4+16.我優(yōu)秀分解因式我優(yōu)秀14將下面的多項(xiàng)式分解因式1)m2-162)4x2-9y2m2-16=m2-42=(m+4)(m-4)

a2-b2=(a+b)(a-b)4x2-9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)(2x-3y)將下面的多項(xiàng)式分解因式m2-16=m2-4215例1.把下列各式分解因式（1）16a2-1(2)4x2-m2n2(3)—x2-—y2

925116(4)–9x2+4解：1）16a2-1=(4a)2-1=(4a+1)(4a-1)解：2）4x2-m2n2=(2x)2-(mn)2=（2x+mn)(2x-mn)例1.把下列各式分解因式925116(4)–9x216例2.把下列各式因式分解(x+z)2-(y+z)24(a+b)2-25(a-c)24a3-4a(x+y+z)2-(x–y–z)25)—a2-212解：1.原式=[(x+z)+(y+z)][(x+z)-(y+z)]=(x+y+2z)(x-y)解：2.原式=[2(a+b)]2-[5(a-c)]2=[2(a+b)+5(a-c)][2(a+b)-5(a-c)]=(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c)解：3.原式=4a(a2-1)=4a(a+1)(a-1)解：4.原式=[(x+y+z)+(x-y-z)]

×[(x+y+z)-(x-y-z)]=2x(2y+2z)=4x(y+z)例2.把下列各式因式分解12解：解：解：解：17

思維延伸2.對于任意的自然數(shù)n，(n+7)2－(n－5)2能被24整除嗎?為什么?思維延伸18鞏固練習(xí)：1.選擇題：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（）4X2+y2B.4x-(-y)2C.-4X2-y3D.-X2+y2-4a2+1分解因式的結(jié)果應(yīng)是（）-(4a+1)(4a-1)B.-(2a–1)(2a–1)-(2a+1)(2a+1)D.-(2a+1)(2a-1)2.把下列各式分解因式：1）18-2b22)x4–1DD1)原式=2（3+b)(3-b)2)原式=(x2+1)(x+1)(x-1)鞏固練習(xí)：DD1)原式=2（3+b)(3-b)19完全平方公式完全平方公式20現(xiàn)在我們把這個(gè)公式反過來很顯然，我們可以運(yùn)用以上這個(gè)公式來分解因式了，我們把它稱為“完全平方公式”現(xiàn)在我們把這個(gè)公式反過來很顯然，我們可以運(yùn)用以上這個(gè)公式來分21我們把以上兩個(gè)式子叫做完全平方式“頭”平方,“尾”平方,

“頭”“尾”兩倍中間放.我們把以上兩個(gè)式子叫做完全平方式“頭”平方,“尾”平方22判別下列各式是不是完全平方式是是是是判別下列各式是不是完全平方式是是是是23完全平方式的特點(diǎn)：1、必須是三項(xiàng)式2、有兩個(gè)平方的“項(xiàng)”3、有這兩平方“項(xiàng)”底數(shù)的2倍或-2倍完全平方式的特點(diǎn)：1、必須是三項(xiàng)式2、有兩個(gè)平方的“項(xiàng)”3、24下列各式是不是完全平方式是是是否是否下列各式是不是完全平方式是是是否是否25請補(bǔ)上一項(xiàng)，使下列多項(xiàng)式成為完全平方式請補(bǔ)上一項(xiàng)，使下列多項(xiàng)式成為完全平方式26我們可以通過以上公式把“完全平方式”分解因式我們稱之為：運(yùn)用完全平方公式分解因式我們可以通過以上公式把“完全平方式”分解因式27例題：把下列式子分解因式4x2+12xy+9y2=(首±尾)2a2+2×a×b+b2(a+b)2例題：把下列式子分解因式4x2+12xy+9y2=(首±尾)28請運(yùn)用完全平方公式把下列各式分解因式：請運(yùn)用完全平方公式把下列各式分解因式：295、把分解因式得（）A、B、6、把分解因式得（）A、B、BA5、把分解因式得BA307、如果100x2+kxy+y2可以分解為（10x-y)2,那么k的值是（）A、20

B、-20C、10D、-108、如果x2+mxy+9y2是一個(gè)完全平方式，那么m的值為（）A、6

B、±6C、3D、±3BB7、如果100x2+kxy+y2可以分解為（10x-y)2,31思考題:1、多項(xiàng)式:(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解嗎?2、在括號內(nèi)補(bǔ)上一項(xiàng)，使多項(xiàng)式成為完全平方式：X4+4x2+()思考題:32小結(jié)：1、是一個(gè)二次三項(xiàng)式2、有兩個(gè)“項(xiàng)”平方,而且有這兩“項(xiàng)”的積的兩倍或負(fù)兩倍3、我們可以利用完全平方公式來進(jìn)行因式分解完全平方式具有：小結(jié)：1、是一個(gè)二次三項(xiàng)式2、有兩個(gè)“項(xiàng)”平方,而且有這兩“331.利用因式分解計(jì)算：1002-992+982-972+962-952+…+22-12【解析】原式=（100+99)(100-99)+(98+97)(98-97）+…+(2+1)(2-1)=199+195+191+…

+3

=50501.利用因式分解計(jì)算：【解析】34知識解密16、（2005年浙江?。┰谌粘Ｉ钪腥缟暇W(wǎng)等都需要密碼，有一種因式分解法產(chǎn)生的密碼方便記憶又不易破譯。例如用多項(xiàng)式x4-y4因式分解的結(jié)果（x-y)(x+y)(x2+y2)來設(shè)置密碼，當(dāng)取x=9,y=9時(shí)，可得一個(gè)六位數(shù)的密碼“018162”。你知道這是怎么來的嗎?小明選用多項(xiàng)式4x3-xy2，取x=10,y=10時(shí)。用上述方法產(chǎn)生的密碼是什么?(寫出一個(gè)即可)應(yīng)用性作業(yè)知識解密16、（2005年浙江?。┰谌粘Ｉ钪腥缟暇W(wǎng)等都需要352、計(jì)算：

25×2652－1352×25選做題：1、分解因式：4、已知x+y=7,x-y=5,求代數(shù)式x2-y2-2y+2x的值.5、若n是整數(shù),證明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍數(shù).課后作業(yè):3、1993-199能被200整除嗎?還能被哪些整數(shù)整除?6、英國數(shù)學(xué)家狄摩根在青年時(shí)代,曾有人問他:“今年多大年齡？”狄摩根想了想說：“今年，我的年齡和我弟弟年齡的平方差是141，你能算出我的年齡和我弟弟的年齡嗎？”假設(shè)狄摩根的年齡為x歲，他弟弟的年齡為y歲，你能算出他們的年齡嗎？2、計(jì)算：25×2652－1352×25選做題：136十字相乘法因式分解之

二次三項(xiàng)式

十字相乘法因式分解之37口答計(jì)算結(jié)果(x+3)(x+4)(x+3)(x-4)(3)(x-3)(x+4)(4)(x-3)(x-4)整式乘法中，有(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab口答計(jì)算結(jié)果(x+3)(x+4)整式乘法中，有38(x

+a

)(x

+b)=

如果二次三項(xiàng)式x2+px+q中的常數(shù)項(xiàng)系數(shù)q能分解成兩個(gè)因數(shù)a、b的積，而且一次項(xiàng)系數(shù)p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以進(jìn)行如上的因式分解。(x+a)(x+b)=如果二次三項(xiàng)式39例一：或步驟：①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)②交叉相乘，和相加③檢驗(yàn)確定，橫寫因式十字相乘法（借助十字交叉線分解因式的方法）順口溜：豎分常數(shù)交叉驗(yàn)，橫寫因式不能亂。例一：或步驟：①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)②交叉相乘，和相加③檢驗(yàn)確40舉一反三：小結(jié)：用十字相乘法把形如二次三項(xiàng)式分解因式為的形式(順口溜：豎分常數(shù)交叉驗(yàn)，橫寫因式不能亂)(x+a)(x+b)舉一反三：小結(jié)：用十字相乘法把形如二次三項(xiàng)式分解因式為(順口41學(xué)以致用將下列各式分解因式學(xué)以致用將下列各式分解因式42

試將分解因式提示：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為-1時(shí)，先提出負(fù)號再因式分解。

試將分解因式提示：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為-1時(shí)，先提出負(fù)號再43

獨(dú)立練習(xí)：把下列各式分解因式獨(dú)立練習(xí)：把下列各式分解因式44練習(xí)：將下列各式分解因式1、7x－13x＋622、－y－4y＋1223、15x＋7xy－4y224、10(x＋2)－29(x＋2)＋102答案(7x＋6)(x＋1)5、x－(a＋1)x＋a2答案－(y＋6)(y－2)答案(3x－y)(5x＋4y)答案(2x－1)(5x＋8)答案(x－1)(x－a)練習(xí)：將下列各式分解因式1、7x－13x＋622、－y451.十字相