《微積分》教學(xué)講解課件

§9.2二重積分的計(jì)算一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分三、小結(jié)§9.2二重積分的計(jì)算一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、1一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分1、積分區(qū)域的類型設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式

來(lái)表示,其中函數(shù)

1(x)、則稱D為

X－型區(qū)域,

2(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù).一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分1、積分區(qū)域的類型設(shè)積分區(qū)域D2則稱D為

Y－型區(qū)域,類似地,設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式

來(lái)表示,其中函數(shù)ψ1(y)、ψ2(y)在區(qū)間[c,d]上連續(xù).則稱D為Y－型區(qū)域,類似地,設(shè)積分區(qū)域D可以用3X－

型區(qū)域的特點(diǎn):穿過(guò)區(qū)域D內(nèi)部且平行于y軸的直線與區(qū)域D的邊界相交不多于兩點(diǎn).Y－

型區(qū)域的特點(diǎn):穿過(guò)區(qū)域D內(nèi)部且平行于x軸的直線與區(qū)域D的邊界相交不多于兩點(diǎn).X－型區(qū)域的特點(diǎn):穿過(guò)區(qū)域D內(nèi)部且平行于y軸的直線4下面應(yīng)用第六章中計(jì)算“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法,來(lái)求此二重積分.2、二重積分化為二次積分的公式設(shè)函數(shù)f(x,y)≥0,則由二重積分的幾何意義知,的值等于以D為底,以曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積.以積分區(qū)域D為

X－型區(qū)域?yàn)槔?下面應(yīng)用第六章中計(jì)算“平行截面面積為已知的5在[a,b]上任意取定一點(diǎn)x0,作平行于yOz面的平面x=x0,則該平面截曲頂柱體所得的截面是一個(gè)以區(qū)間[

1(x0),

2(x0)]為底、曲線z=f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形.在[a,b]上任意取定一點(diǎn)x0,作平行于yOz6∴該截面的面積為一般地,過(guò)區(qū)間[a,b]上任一點(diǎn)x且平行于yOz面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為由計(jì)算平行截面面積為已知的立體的體積的方法,得曲頂柱體的體積為∴該截面的面積為一般地,過(guò)區(qū)間[a,b7就是說(shuō),先把x看作常數(shù),把f(x,y)只看作y的函數(shù),并對(duì)y計(jì)算從

1(x)到

2(x)的定積分;這個(gè)體積也就是所求二重積分的值,從而有等式上式右端的積分稱為先對(duì)y、后對(duì)x的二次積分.然后把所得的結(jié)果(是x的函數(shù))再對(duì)x計(jì)算在區(qū)間[a,b]上的定積分.這個(gè)先對(duì)y、后對(duì)x的二次積分也常記作這就是把二重積分化為先對(duì)y、后對(duì)x的二次積分的公式.就是說(shuō),先把x看作常數(shù),把f(x,y)只看作8類似地,若積分區(qū)域D為Y－型區(qū)域,則有上式右端的積分稱為先對(duì)x、后對(duì)y的二次積分,這個(gè)積分也常記作這就是把二重積分化為先對(duì)x、后對(duì)y的二次積分的公式.類似地,若積分區(qū)域D為Y－型區(qū)域,則有上式右端的9說(shuō)明:

①使用公式(1)必須是X－型域,使用公式(2)必須是Y－型域.

②若積分區(qū)域既是X－型區(qū)域又是Y－型區(qū)域,則有說(shuō)明:①使用公式(1)必須是X－10

③若積分區(qū)域既不是X－型區(qū)域又不是Y

－型區(qū)域,則必須將其分割成若干個(gè)X－型區(qū)域或若干個(gè)Y

－型區(qū)域.如圖,在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式,可得③若積分區(qū)域既不是X－型區(qū)域113、交換二次積分次序的步驟為計(jì)算方便,可選擇積分次序,必要時(shí)還可以交換積分次序.①對(duì)于給定的二次積分可先根據(jù)其積分限畫出積分區(qū)域D;②根據(jù)積分區(qū)域D的形狀,按新的積分次序確定積分限③寫出結(jié)果3、交換二次積分次序的步驟為計(jì)算方便,可選12解例1改變積分的次序.由所給二次積分知,原二重積分的積分區(qū)域D為X－型區(qū)域,即若改變?cè)摱畏e分的次序,則積分區(qū)域D變?yōu)閅－型區(qū)域,即解例1改變積分13解例2改變積分的次序.由所給二次積分知,原二重積分的積分區(qū)域D可看作兩個(gè)X－型區(qū)域之和(如圖),即若改變?cè)摱畏e分的次序,則D變?yōu)閅－型區(qū)域,解例2改變積分由所給二次積分知,原14即即15例3改變積分的次序.解原二重積分的積分區(qū)域?yàn)槿魧⒎e分區(qū)域D分成D1,D2

及D3三部分,則有例3改變積分解原二重積分的積分區(qū)域?yàn)?6《微積分》PPT教學(xué)講解課件17解例4求,其中D是由拋物線y=x2和x=y2所圍成的平面閉區(qū)域.

積分區(qū)域D如右圖所示.由方程組可求得兩曲線的交點(diǎn)為(0,0),(1,1),解例4求18解例5計(jì)算二重積分,其中D是以(0,0)、(1,1)和(0,1)為頂點(diǎn)的三角形閉區(qū)域.積分區(qū)域D如右圖所示.無(wú)法用初等函數(shù)表示,∴積分時(shí)必須考慮次序,解例5計(jì)算二重積分19解例6計(jì)算二重積分積分區(qū)域D如右圖所示.無(wú)法用初等函數(shù)表示,∴先改變積分次序,解例6計(jì)算二重積分積分區(qū)域D如右圖所示.無(wú)法用初等20說(shuō)明:①計(jì)算二重積分時(shí),選擇積分次序是比較重要的一步,積分次序選擇不當(dāng),可能會(huì)使計(jì)算繁瑣,甚至無(wú)法計(jì)算.一般地,既要考慮積分區(qū)域D的形狀,又要考慮被積函數(shù)f(x,y)的特性.②應(yīng)遵循“能積分,少分快,計(jì)算簡(jiǎn)”的原則.說(shuō)明:①計(jì)算二重積分時(shí),選擇積分次序是比21例7求兩個(gè)底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的體積V.解設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為由立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱性可知,所求體積為第一卦限部分體積的8倍.∵所求立體在第一卦限部分可看成是一個(gè)曲頂柱體,它的頂為柱面它的底為例7求兩個(gè)底圓半徑都等于R的直交圓22∴所求體積為∴所求體積為23解例8求由下列曲面所圍成的立體的體積:曲面圍成的立體如圖.解例8求由下列曲面所圍成的立體的體積:曲面圍成的立體24由所給曲面消去z,得∴所圍立體在面上的投影是∴所求體積為由所給曲面消去z,得∴所圍立體在面上的投影是∴所求體積為254、利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)二重積分的計(jì)算利用對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化二重積分的計(jì)算是十分有效的,它與利用奇偶性來(lái)簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算是一樣的.不過(guò)二重積分的情況比較復(fù)雜,因此,在運(yùn)用對(duì)稱性時(shí),要兼顧被積函數(shù)和積分區(qū)域兩個(gè)方面,

不可誤用.歸納起來(lái)主要有下面幾種情形.4、利用對(duì)稱性化簡(jiǎn)二重積分的計(jì)算利用對(duì)稱性來(lái)26①設(shè)D關(guān)于y

軸對(duì)稱,對(duì)任意點(diǎn)(x,y)∈D,(i)若f(-

x,y)=-

f(x,y),即f(x,y)是關(guān)于x的奇函數(shù),

則

(ii)若f(-

x,y)=f(x,y),即f(x,y)是關(guān)于x的偶函數(shù),

則

其中D1是D中x≥0的部分.

①設(shè)D關(guān)于y軸對(duì)稱,對(duì)任意點(diǎn)(x,y)∈D,27②設(shè)D關(guān)于x

軸對(duì)稱,對(duì)任意點(diǎn)(x,y)∈D,(i)若f(x,-y)=-

f(x,y),即f(x,y)是關(guān)于y的奇函數(shù),

則

(ii)若f(x,-y)=f(x,y),即f(x,y)是關(guān)于y的偶函數(shù),

則

其中D2是D中y≥0的部分.

②設(shè)D關(guān)于x軸對(duì)稱,對(duì)任意點(diǎn)(x,y)∈D,28③設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,對(duì)任意點(diǎn)(x,y)∈D,(i)若f(-x,-y)=-

f(x,y),則

(ii)若f(-x,-y)=f(x,y),則

其中D3是D中x≥0,y≥0的部分.③設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,對(duì)任意點(diǎn)(x,y)∈D,(i29④若D關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則

這是二重積分所獨(dú)有的性質(zhì).上式稱為二重積分關(guān)于積分變量的輪換對(duì)稱性.

④若D關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則這是二重積分所獨(dú)30①、②、③簡(jiǎn)單地說(shuō)就是奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱域的二重積分等于0,偶函數(shù)關(guān)于對(duì)稱域的二重積分等于對(duì)稱的部分區(qū)域上二重積分的兩倍,完全類似于對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分的性質(zhì).簡(jiǎn)述為“你對(duì)稱,我奇偶”.

①、②、③簡(jiǎn)單地說(shuō)就是奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱域的二31

例9計(jì)算二重積分,其中積分區(qū)域D由曲線y=x2與y=1所圍成.解令

∵D關(guān)于y軸對(duì)稱,

且例9計(jì)算二重積分32∴所求二重積分等于在區(qū)域D1上二重積分的4倍,

例10計(jì)算二重積分,其中積分區(qū)域D:|

x|

+|y|≤1.解f(x,y)=x2

y2關(guān)于或均為偶函數(shù),∵D關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱,即∴所求二重積分等于在區(qū)域D1上二重積分的33二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分則除包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外,小閉區(qū)域的面積為1、極坐標(biāo)系下二重積分的表達(dá)式在極坐標(biāo)系下,用同心圓ρ=常數(shù)及射線

=常數(shù),將區(qū)域D劃分為二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分則除包含邊界點(diǎn)的一些1、極坐標(biāo)系下34在內(nèi)取點(diǎn)則有在內(nèi)取點(diǎn)則有35這就是二重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)的變換公式,

即或其中就是極坐標(biāo)系中的面積元素.這就是二重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)即362、極坐標(biāo)系下二重積分化為二次積分的公式(1)若極點(diǎn)O在積分區(qū)域D外,且D由射線

=α,

=β和連續(xù)曲線ρ=

1(

),ρ=

2(

)

所圍成,則∴在極坐標(biāo)系下,二重積分可化為2、極坐標(biāo)系下二重積分化為二次積分的公式(137特別地,若積分區(qū)域?yàn)閯t在極坐標(biāo)系下,二重積分可化為特別地,若積分區(qū)域?yàn)閯t在極坐標(biāo)系下,二38∴在極坐標(biāo)系下,二重積分可化為(2)若極點(diǎn)O在積分區(qū)域D的邊界上,且D由射線

=α,

=β和連續(xù)曲線ρ=

(

)所圍成,則∴在極坐標(biāo)系下,二重(2)若極點(diǎn)O在39(3)若極點(diǎn)O在積分區(qū)域D內(nèi),且D的邊界曲線為連續(xù)封閉曲線ρ=

(

),則∴在極坐標(biāo)系下,二重積分可化為(3)若極點(diǎn)O在積分區(qū)域D內(nèi),且D的邊界曲線40極坐標(biāo)系下閉區(qū)域D的面積若閉區(qū)域則特別地,若閉區(qū)域則極坐標(biāo)系下閉區(qū)域D的面積若閉區(qū)域則特別地,若閉區(qū)域則41解例11寫出二重積分的極坐標(biāo)二次積分形式,其中積分區(qū)域

∵在極坐標(biāo)系下∴圓的方程為直線的方程為解例11寫出二重積分42解例12計(jì)算,其中D是由中心在原點(diǎn),半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.

∵在極坐標(biāo)系下解例12計(jì)算43解例13求反常積分設(shè)則有解例13求反常積分設(shè)則有44《微積分》PPT教學(xué)講解課件45即即46及直線所圍成的平面閉區(qū)域.

解例14計(jì)算其中D是由圓積分區(qū)域D如右圖所示.

47∴在極坐標(biāo)系下∴在極坐標(biāo)系下48解例15計(jì)算二重積分,其中積分區(qū)域?yàn)?/p>

積分區(qū)域D如右圖所示.由對(duì)稱性可知解例15計(jì)算二重積分49例16求曲線和所圍成的圖形的面積.

解積分區(qū)域D如右圖所示.由對(duì)稱性可知∵在極坐標(biāo)系下∴由得兩曲線的交點(diǎn)為例16求曲線50∴所求面積為

∴所求面積為51

例17求球體被圓柱面=2ax(a