山東省青島市58中2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高二下期末預(yù)測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從假設(shè)推證成立時(shí)，需在左邊的表達(dá)式上多加的項(xiàng)數(shù)為（）A． B． C． D．12．把座位編號為1，2，3，4，5，6的六張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人最多得兩張，甲、乙各分得一張電影票，且甲所得電影票的編號總大于乙所得電影票的編號，則不同的分法共有（）A．90種 B．120種 C．180種 D．240種3．某圖書出版公司到某中學(xué)開展奉獻(xiàn)愛心圖書捐贈(zèng)活動(dòng)，某班級獲得了某品牌的圖書共4本，其中數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)各一本，現(xiàn)將這4本書隨機(jī)發(fā)給該班的甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人一本，并請這4個(gè)人在得到的贈(zèng)書之前進(jìn)行預(yù)測，結(jié)果如下：甲說：乙或丙得到物理書；乙說：甲或丙得到英語書；丙說：數(shù)學(xué)書被甲得到；丁說：甲得到物理書．最終結(jié)果顯示甲、乙、丙、丁4個(gè)人的預(yù)測均不正確，那么甲、乙、丙、丁4個(gè)人得到的書分別是（）A．?dāng)?shù)學(xué)、物理、化學(xué)、英語 B．物理、英語、數(shù)學(xué)、化學(xué)C．?dāng)?shù)學(xué)、英語、化學(xué)、物理 D．化學(xué)、英語、數(shù)學(xué)、物理4．將兩枚骰子各擲一次，設(shè)事件{兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同}，{至少出現(xiàn)一個(gè)3點(diǎn)}，則（）A． B． C． D．5．設(shè)函數(shù)f(x)＝axA．193 B．163 C．136．若（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的模為（）A． B． C． D．7．“，”的否定是A．， B．，C．， D．，8．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若對于任意的實(shí)數(shù)，都有，且當(dāng)時(shí)，，則的值為()A．－1 B．－2 C．2 D．19．已知x1+i=1-yi，其中x,y是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則x+yiA．1+2iB．1-2iC．2+iD．2-i10．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，定義，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于下列結(jié)論：符合的點(diǎn)的軌跡圍成的圖形面積為8；設(shè)點(diǎn)是直線：上任意一點(diǎn)，則；設(shè)點(diǎn)是直線：上任意一點(diǎn)，則使得“最小的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)”的充要條件是；設(shè)點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則．其中正確的結(jié)論序號為A． B． C． D．11．若集合，，則有（）A． B． C． D．12．以，為端點(diǎn)的線段的垂直平分線方程是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在橢圓上且異于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若直線PA與PB的斜率之積為，則橢圓的離心率為_____．14．若為上的奇函數(shù)，且滿足，對于下列命題：①；②是以4為周期的周期函數(shù)；③的圖像關(guān)于對稱；④.其中正確命題的序號為_________15．對于函數(shù)，若存在區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則稱為倍值函數(shù).下列函數(shù)為2倍值函數(shù)的是__________（填上所有正確的序號）．①②③④16．_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)過點(diǎn)．（Ⅰ）求函數(shù)的極大值和極小值．（Ⅱ）求函數(shù)在上的最大值和最小值．18．（12分）解關(guān)于x的不等式ax2+ax-1>x19．（12分）為了了解創(chuàng)建文明城市過程中學(xué)生對創(chuàng)建工作的滿意情況，相關(guān)部門對某中學(xué)的100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．得到如下的統(tǒng)計(jì)表：滿意不滿意合計(jì)男生50女生15合計(jì)100已知在全部100名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人對創(chuàng)建工作滿意的概率為.(1)在上表中相應(yīng)的數(shù)據(jù)依次為；(2)是否有充足的證據(jù)說明學(xué)生對創(chuàng)建工作的滿意情況與性別有關(guān)？20．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：函數(shù)和在公共定義域內(nèi)，恒成立；（3）若存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)，，滿足，求證：．21．（12分）如圖,在四棱錐中,已知平面,且四邊形為直角梯形,，是中點(diǎn)。(1)求異面直線與所成角的大?。?2)求與平面所成角的大小。22．（10分）唐代餅茶的制作一直延續(xù)至今，它的制作由“炙”、“碾”、“羅”三道工序組成：根據(jù)分析甲、乙、丙三位學(xué)徒通過“炙”這道工序的概率分別是，，；能通過“碾”這道工序的概率分別是，，；由于他們平時(shí)學(xué)徒刻苦，都能通過“羅”這道工序；若這三道工序之間通過與否沒有影響，（Ⅰ）求甲、乙、丙三位同學(xué)中恰好有一人通過“炙”這道工序的概率，（Ⅱ）設(shè)只要通過三道工序就可以制成餅茶，求甲、乙、丙三位同學(xué)中制成餅茶人數(shù)的分布列.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

分別計(jì)算和時(shí)的項(xiàng)數(shù)，相減得到答案.【詳解】時(shí)，，共有項(xiàng).時(shí)，，共有項(xiàng).需在左邊的表達(dá)式上多加的項(xiàng)數(shù)為：故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、A【解析】

從6張電影票中任選2張給甲、乙兩人，共種方法；再將剩余4張票平均分給丙丁2人，共有種方法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求得結(jié)果.【詳解】分兩步：先從6張電影票中任選2張給甲，乙兩人，有種分法；再分配剩余的4張，而每人最多兩張，所以每人各得兩張，有種分法，由分步原理得，共有種分法．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)原理與組合的綜合問題.3、D【解析】

根據(jù)甲說的和丁說的都錯(cuò)誤，得到物理書在丁處，然后根據(jù)丙說的錯(cuò)誤，判斷出數(shù)學(xué)書不在甲處，從而得到答案.【詳解】甲說：乙或丙得到物理書；丁說：甲得到物理書．因?yàn)榧缀投≌f的都是錯(cuò)誤的，所以物理書不在甲、乙、丙處，故物理書在丁處，排除A、B選項(xiàng)；因?yàn)楸f：數(shù)學(xué)書被甲得到，且丙說的是錯(cuò)誤的，所以數(shù)學(xué)書不在甲處，故排除C項(xiàng)；所以答案選D項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)命題的否定的實(shí)際應(yīng)用，屬于簡單題.4、A【解析】分析：利用條件概率求.詳解：由題得所以故答案為：A.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查條件概率，意在考查學(xué)生對該知識(shí)的掌握水平和分析推理計(jì)算能力.(2)條件概率的公式:,=.5、D【解析】

由題，求導(dǎo)，將x=-1代入可得答案.【詳解】函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=3ax解得a=10故選D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的求導(dǎo)，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，然后利用復(fù)數(shù)的求模公式計(jì)算出復(fù)數(shù)的模.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、除法法則以及復(fù)數(shù)模的計(jì)算，對于復(fù)數(shù)相關(guān)問題，常利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式進(jìn)行求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

通過命題的否定的形式進(jìn)行判斷．【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，故“，”的否定是“，”.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定，屬基礎(chǔ)題.8、A【解析】

利用函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的周期性轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，且周期為2，所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣f（2017）+f（2018）=﹣f（1）+f（0）．當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=log2（x+1），所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣1+0=﹣1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的周期性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．9、D【解析】∵x1+i=x(1-i)10、D【解析】

根據(jù)新定義由，討論、的取值，畫出分段函數(shù)的圖象，求出面積即可；運(yùn)用絕對值的含義和一次函數(shù)的單調(diào)性，可得的最小值；根據(jù)等于1或都能推出最小的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)可判斷其錯(cuò)誤；把的坐標(biāo)用參數(shù)表示，然后利用輔助角公式求得的最大值說明命題正確．【詳解】由，根據(jù)新定義得：，由方程表示的圖形關(guān)于軸對稱和原點(diǎn)對稱，且，畫出圖象如圖所示：四邊形為邊長是的正方形，面積等于8，故正確；為直線上任一點(diǎn)，可得，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，可得，綜上可得的最小值為1，故正確；，當(dāng)時(shí)，，滿足題意；而，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，即都能“使最小的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)”，不正確；點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，因?yàn)榍笞畲笾?，所以可設(shè)，，，，，，正確．則正確的結(jié)論有：、、，故選D．【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生理解及運(yùn)用新定義的能力，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是中檔題．新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.11、B【解析】分析：先分別求出集合M和N，由此能求出M和N的關(guān)系.詳解：，，故.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查兩個(gè)集合的包含關(guān)系的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、一元二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題.12、B【解析】

求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，求出的垂直平分線的斜率，然后求出垂直平分線方程．【詳解】因?yàn)椋缘闹悬c(diǎn)坐標(biāo)，直線的斜率為，所以的中垂線的斜率為：，所以以，為端點(diǎn)的線段的垂直平分線方程是，即．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系，直線方程的求法，考查計(jì)算能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、．【解析】

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，代入橢圓方程，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡整理，即可得到所求離心率．【詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．由題意，有，①由A（﹣a，0），B（a，0），得，．由，可得，代入①并整理得．由于，故，于是，∴橢圓的離心率．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查橢圓離心率的求法，是中檔題．求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).14、①②④【解析】

由結(jié)合題中等式可判斷命題①的正誤；根據(jù)題中等式推出來判斷出命題②的正誤；由函數(shù)為奇函數(shù)來判斷命題③的正誤；在題中等式中用替換可判斷出命題④的正誤.【詳解】對于命題①，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，在等式中，令可得，得，命題①正確；對于命題②，，所以，是以為周期的周期函數(shù)，命題④正確；對于命題③，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，不關(guān)于直線（即軸）對稱，命題③錯(cuò)誤；對于命題④，由，可得，即，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，命題④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、對稱性以及周期性的推導(dǎo)，求解時(shí)充分利用題中的等式以及奇偶性、對稱性以及周期性的定義式，不斷進(jìn)行賦值進(jìn)行推導(dǎo)，考查推理能力，屬于中等題。15、①②④【解析】分析：為倍值函數(shù)等價(jià)于，的圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)，且在上遞增，由此逐一判斷所給函數(shù)是否符合題意即可.詳解：為倍值函數(shù)等價(jià)于，的圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)，且在上遞增：對于①，與，有兩個(gè)交點(diǎn)，在上遞增，值域?yàn)?，①符合題意.對于②，與，有兩個(gè)交點(diǎn)，在上遞增，值域?yàn)椋诜项}意.對于③，與，沒有交點(diǎn)，不存在，，值域?yàn)椋鄄缓项}意.對于④，與兩個(gè)交點(diǎn)，在上遞增，值域?yàn)?，④合題意，故答案為①②④.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的圖象與性質(zhì)、新定義問題及數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.16、【解析】

根據(jù)積分運(yùn)算法則求，前者利用公式求解，后者所表示的幾何意義是以為圓心，2為半徑第一象限內(nèi)圓弧與坐標(biāo)軸圍成的面積，求出圓的面積乘以四分之一，兩者結(jié)果做和即可得解．【詳解】解：，由表示以為圓心，2為半徑的圓面積的，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分，定積分運(yùn)算是求導(dǎo)的逆運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是求原函數(shù)，也可利用幾何意義進(jìn)行求解，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)的極大值,極小值(Ⅱ)【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意求得，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性可得函數(shù)的極值情況．（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）中的結(jié)論可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，再根據(jù)和的大小求出即可．試題解析：（Ⅰ）∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴，解得，∴，∴，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．∴當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為，當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為．（Ⅱ）由（I）可得：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．∴，又，，∴．18、見解析.【解析】分析：對a分五種情況討論，分別利用一元一次不等式與一元二次不等式的解法求解即可.詳解：①當(dāng)a=0時(shí)，x<-1；②當(dāng)a≠0時(shí)：1°a>0，ax2故等式左邊因式分解得：ax-1x+12°當(dāng)-1<a<0時(shí)，-ax+13°當(dāng)a=-1時(shí)，x4°當(dāng)a<-1時(shí)，-ax+1點(diǎn)睛：本題主要考查一元二次不等式的解法、分類討論思想的應(yīng)用.屬于中檔題.分類討論思想解決高中數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決含參數(shù)問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).充分利用分類討論思想方法能夠使問題條理清晰，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用與解題當(dāng)中.19、(1)5,30,80,20,55,45；(2)有.【解析】分析：（1）根據(jù)列聯(lián)表得關(guān)系確定數(shù)值，（2）根據(jù)公式求K2，再與參考數(shù)據(jù)比較得可靠性.詳解：(1)填表如下：滿意不滿意合計(jì)男生50555女生301545合計(jì)80201005,30,80,20,55,45(2)根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)可得K2的觀測值k＝≈9.091>7.879，所以有在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為學(xué)生對創(chuàng)建工作的滿意情況與性別有關(guān)．點(diǎn)睛：本題考查卡方公式，考查基本求解能力.20、（1）增區(qū)間為,減區(qū)間為；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】分析：（1）構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，得到得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到單調(diào)區(qū)間和極值；（2）構(gòu)造函數(shù),對函數(shù)和求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而得到函數(shù)的最值，使得最小值大于2即可；（3）要證原式只需要證，故得到即證：，變量集中設(shè)即可,轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式.詳解：(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;(2)證明:函數(shù)和的公共定義域?yàn)?,設(shè),則在上單調(diào)遞增,故;設(shè),當(dāng)時(shí)有極大值點(diǎn),;故;故函數(shù)和在公共定義域內(nèi),.(3)證明:不妨設(shè),由題意得,,;所以;而要證,只需證明;即證明;即證明;即證明,;令,則;即證明