上海市嘉定區(qū)某學(xué)校2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高一年級上冊期末質(zhì)量檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的

1.函數(shù)f（x）=|x-2Hnx在定義域內(nèi)零點的個數(shù)為（）

A.OB.1

C.2D.3

2.在R上定義運算。：AQB=A（1-B）,若不等式（1一。）。（*+“）<1對任意的實數(shù)xGR恒成立，則實數(shù)a的取值范

圍為（）

A.—l<a<lB.0<a<2

_1331

2222

3.已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球0的球面上，SAJ_平面ABC,ABJ_BC且AB=BC=LSA=J^,則球0的表面積

是（）

3

A.4;rB.-萬

4

4

C.3萬D.一71

3

4.已知。=logs；,-05

b=log2V3,c=O.3,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a<c<bB.a<b<c

C.c<a<hD.h<c<a

5.已知角a滿足2cos2a=cos1?+a）N0,則sin2a=

17

A——B.—

88

17

c.—D.-

88

6.圓爐+爐―4x+6y=0和圓始+產(chǎn)―6*=0交于A,8兩點，則A8的垂直平分線的方程是（）

A.x+j+3=0B.2x—j—5=0

C.3x—y—9=0D.4x-3j+7=0

7.下列說法不正確的是（）

A.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，但不一定過原點B.偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，但不一定和y軸相交

C.若偶函數(shù)的圖象與x軸有且僅有兩交點，且橫坐標分別為4毛，則為+%=()D.若奇函數(shù)的圖象與y軸相交，交

點不一定是原點

8.若函數(shù)“X)的定義域為。，滿足：①/(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在區(qū)間，使/(x)在目上的值域為,

則稱函數(shù)“X)為"O上的優(yōu)越攵函數(shù)”.如果函數(shù)/(力=一兇+2是“(O,+8)上的優(yōu)越攵函數(shù)”，則實數(shù)攵的取值范

圍是()

A.(―1,0)

B.[-1,0)

C.(0,1]

D.(0,1)

9.log63-log96=()

1

A.-B.3

3

10.已知某種樹木的高度/⑺(單位：米)與生長年限f(單位：年，twNQ滿足如下的邏輯斯諦(Logistic)增長

6

模型：/(O=1+eo,5,+2＞其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)該樹栽下的時刻為0,則該種樹木生長至3米高時，大約經(jīng)過

的時間為()

A.2年B.3年

C.4年D.5年

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

冗(4

11.已知一＜a＜?,且cos]a—■———,貝(Jcosa的值為____

216)5

12.古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著《幾何原本》中的“幾何代數(shù)法”，很多代數(shù)公理、定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，

并稱之為“無字證明”.如圖，0為線段A3中點，C為A3上異于。的一點，以A3為直徑作半圓，過點C作A3的

垂線，交半圓于O,連結(jié)過點C作。。的垂線，垂足為E.設(shè)AC=a,CB=b,則圖中線段

0D=^-=x,線段。。=疝=丁，線段_______=￥=z；由該圖形可以得出入，%z的大小關(guān)系為

2a+b

D

AB

13.給出下列四個命題：

TT

①函數(shù)y=2sin(2x—y)的一條對稱軸是x=；

②函數(shù)尸tanx的圖象關(guān)于點(1,0)對稱；

③正弦函數(shù)在第一象限內(nèi)為增函數(shù)；

3

④存在實數(shù)a,使sina+cosd=—.

2

以上四個命題中正確的有—(填寫正確命題前面的序號).

14.聲強級L(單位：dB)由公式L=101g(6］給出，其中I為聲強(單位：W/n?).聲強級為60dB的聲強是聲

強級為30dB的聲強的倍.

15.已知0<a<5</?<兀，cos(/?-?)=g,sin(a+夕)=.,貝|jsin(a+?)=,

16.一個扇形周長為8,則扇形面積最大時，圓心角的弧度數(shù)是.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

n57r

(2)用“五點法”做出/(x)在區(qū)間「二的簡圖

66

18.在AABC中，角A8,C所對的邊分別為a,滿足好吊3=舟854.

(1)求角A的大小

(2)若a=A,且〃+。2=23,求AABC的面積

19.函數(shù)/(x)的定義域為O,若存在正實數(shù)k,對任意的xe。，總有I/(x)-f(-x)\<k,則稱函數(shù)f\x)具有性質(zhì)P(k).

(D判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)P(D,并說明理由.

①f(x)=2021；②g(x)=x；

(2)已知/(x)為二次函數(shù)，若存在正實數(shù)匕使得函數(shù)Ax)具有性質(zhì)P(Z).求證：f(x)是偶函數(shù)；

(3)已知a>0,左為給定的正實數(shù)，若函數(shù).7"(%)=1<嶇2(4、。)一》具有性質(zhì)「(口，求”的取值范圍.

20.已知函數(shù)J.(x)=sinx+GCOSX

(1)求不等式/(x)Wl的解集；

(2)將“X)圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的搭(縱坐標不變)，再將所得圖像向右平移g個單位長度，得到函

數(shù)g(x)的圖像.求g(x)在區(qū)間一不三上的值域

TTTT

21.在①兩個相鄰對稱中心的距離為一，②兩條相鄰對稱軸的距離為不，③兩個相鄰最高點的距離為乃，這三個條件

22

中任選一個，補充在下面問題中，并對其求解

問題：函數(shù)./1(%)=以%(5+0)(3>0,0<火<])的圖象過點(0,；),且滿足.當(dāng)ae]。,1時，

求sina的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的

1、C

【解析】分別畫出函數(shù)y=lnx(x>0)和y=|x—2|(x>0)的圖像，可得2個交點，故f(x)在定義域中零點個數(shù)為2.

2、C

【解析】根據(jù)新定義把不等式轉(zhuǎn)化為一般的一元二次不等式，然后由一元二次不等式恒成立得結(jié)論

【詳解】V(x—a)O(x+a)=(x—a)(l—X—a),

，不等式(x—a)O(x+a)<L

即(x—a)(l—x-'aKl對任意實數(shù)x恒成立，即X2—X—a2+a+1>0對任意實數(shù)x恒成立，

所以A=l-4(-a2+a+l)<0,

解得一彳<a<—,

22

故選:C.

3、A

【解析】如圖，三棱錐S-ABC的所有頂點都在球0的球面上，

VSAJ_平面ABC,SA=72.AB±BC且AB=BC=1,

.,.AC=Vi+T=>/2，SA_LAC,SB±BC,

SC=j2+2=2?,?球O的半徑R=；SC=1...球。的表面積S=47rR2=4k

故選A

點睛：本題考查球的表面積的求法，合理地作出圖形，確定球心，求出球半徑是解題的關(guān)鍵

4、B

【解析】利用函數(shù)單調(diào)性及中間值比大小.

【詳解】a=log3<log31=0,h=log2V3>log21=OKh=log2V3<log,2=1,故

c=OL>0.3°=1，

故avbvc.

故選：B

5、B

【解析】2cos2cr=cos(f+a)

2(cos2a-sin2a)-2(cosa+sina)(cosa-sina)一堂(cosa-sina)00,

??cosa+sma=——，

4

兩邊平方整理得l+2sinacos==l+sin2a=-,

8

7

???sin2a=—?選B

8

6、C

【解析】兩圓公共弦的垂直平分線的方程即為兩圓圓心所在直線的方程，求出兩圓的圓心，從而可得答案.

【詳解】解：A3的垂直平分線的方程即為兩圓圓心所在直線的方程，

圓好+產(chǎn)―4x+6y=0的圓心為(2,-3),

圓好+產(chǎn)-6x=0的圓心為(3,0),

則兩圓圓心所在直線的方程為*過=￡匚，即3x-j-9=0.

0+33-2

故選：C.

7、D

【解析】對于AB,舉例判斷，對于CD根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系分析判斷即可

【詳解】對于A,/(幻=，是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，但不過原點，所以A正確，

X

對于B,/'(>)=二是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于)'軸對稱，但與y軸不相交，所以B正確，

x~

對于C,若偶函數(shù)的圖象與x軸有且僅有兩交點，且橫坐標分別為4當(dāng)，則兩個交點關(guān)于)'軸對稱，所以％+々=()，

所以C正確，

對于D,若奇函數(shù)與y軸有交點，則/(0)=-/(-0),故/'(0)=0,所以函數(shù)必過原點，所以D錯誤，

故選：D

8、D

【解析】由于f(x)=-|x|+2是“(0,+o。)上的優(yōu)越攵函數(shù)”且函數(shù)在(0,+oo)上單調(diào)遞減，由題意得人>。>0,

[.k

-a+2--

<問題轉(zhuǎn)化為y=女與y=M2-x)在x〉0時有2個不同的交點，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求

,ck

—b+2=—

、b

【詳解】解：因為/(1)=-1月+2是“(0,+8)上的優(yōu)越攵函數(shù)”且函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減,

若存在區(qū)間［a,可，使/(x)在可上的值域為

-a+2=&

a

由題意得力>a>0,

k

—b+2=—

b

所以％=a(2-a),k=b(2-b),

即、=攵與丫=》(2-幻=-"-1『+1在》〉0時有2個不同的交點,

根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性質(zhì)可知0<%<1,即攵e(O,l)

故選：D

9、D

【解析】利用換底公式計算可得答案

1

［詳解1>og63-log96=log63?—=log63-=1

log69210g632

故選：D

10、C

【解析】根據(jù)題意，列方程，即可求解.

【詳解】由題意可得，令/⑺=］+攝?2=3,即l+e4”+2=2,解得：U4.

故選：C

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11—3—4^3

10

7T

【解析】根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系，利用a+-結(jié)合兩角和的余弦公式即可求出

O

7T

【詳解】?：-<a<7t9

2

7115萬

:.—<a——<一

366

(71.(71、.兀

cosa=cos=cosa----cos-------sina-----sin—

I6J6I6)6

4V331-3-4石

-x---------x—=------------

525210

故答案為三子

【點睛】本題主要考查同角的三角函數(shù)的關(guān)系，兩角和的余弦公式，屬于中檔題.已知一個角的某一個三角函數(shù)值，便

可運用基本關(guān)系式求出其它三角函數(shù)值，角的變換是解題的關(guān)鍵

12、①.DE②.x>y>z

【解析】利用射影定理求得二，結(jié)合圖象判斷出x，?z的大小關(guān)系.

【詳解】在RtzXABZ）中，由射影定理得a>2=ACxCB，即y2=ab,y=而.

在Rt^OCD中，由射影定理得CD°=DExOD,

ab2ab

-----r--------=z

即/血內(nèi)”=5a+ba+b

根據(jù)圖象可知QD>8>DE,即x>y>z.

故答案為：DE;x>y>z

13、(D@

5%5萬n57r

【解析】對于①,將X==代入得sin=1,?..x二五是對稱軸,命題正確;

12~6~1

對于②，由正切函數(shù)的圖象可知，命題正確;

71

對于③，正弦函數(shù)在2k7T,2k7T+-上是增函數(shù)，但在第一象限不能說是增函數(shù)，所以③不正確;

71

對于④，sinx+cosx=V2sinXH---，最大值為0,不正確;

4

故填①②.

14、1000

【解析】根據(jù)已知公式，應(yīng)用指對數(shù)的關(guān)系及運算性質(zhì)求60dB、30dB對應(yīng)的聲強，即可得結(jié)果.

【詳解】由題設(shè)，101g（各）=60,可得/2=1（）-6,

101g(金)=30,可得Ao=10",

...聲強級為60dB的聲強是聲強級為30dB的聲強的，=1000倍.

,30

故答案為：1000.

4+6及

15^-------

15

【解析】由已知條件結(jié)合所給角的范圍求出sin］夕一?］、cos（a+/7）,再將

IjrIjr

sin^?+—=sin+J展開即可求解

TTTTTTj77"

【詳解】因為工＜夕＜不，所以一〈尸一一＜—,

2444

又因為cosfp-/1，。，所以:＜尸

I4；3442

所以可尸4卜卜府卜號卜^^二半,

因為0＜々＜一9一＜/＜"，所以一＜a+/?v—t

2222

因為sin(a+〃)=*,所以cos(a+1)=-yll-sin2(a+/3)=一,

（a+夕）一萬一?I

所以sin[J=sin

sin(a+/?)cos吒-cos

41f3"|2724+672

53I5j315

故答案為：Q6近.

15

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是由已知角的三角函數(shù)值的符號確定角的范圍進而可求角的正弦或余弦，將

所求的角用已知角表示即&+?=（&+夕）一（夕一?）.

16、2

【解析】設(shè)扇形的半徑為小則弧長為/=8-2小結(jié)合面積公式計算面積取得最大值時，?的取值，再用圓心角公式即

可得弧度數(shù)

【詳解】設(shè)扇形的半徑為廣，則弧長為/=8-2廠，S=1r（8-2r）=-r2+4r=-（r-2）2+4,

/4

所以當(dāng)r=2時S取得最大值為4,此時/=8-2義2=4,圓心角為6=-=—=2（弧度）

r2

故答案為：2

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）萬；（2）答案見解析

【解析】（1）利用兩角和的正弦公式及二倍角公式化簡/（幻=sin+即可得解；

（2）列表，描點，即可作出圖像.

【詳解】(1)/(x)=cos[^x+~^j+2sin%cos%

二-cos2x+—sin2x=sin|2xd■一

22I3

所以函數(shù)的最小正周期7=奇=乃；

（2）列表

7T71717萬5冗

X

~~612~12~6

c兀713"

2xH—0n2兀

3~2~2

/（X）010-10

作圖如下:

18、(1)A=—(2)273

3

【解析】(1)利用正弦定理可以得到taM=G，即可求出角A的大?。?2)利用余弦定理并結(jié)合(1)中的結(jié)論，可

以求出8c=8,代入三角形面積公式即可

【詳解】(1)由于asin6=?cosA,結(jié)合正弦定理可得sinAsinB=VisinBcosA,

由于sinBwO,可得sinA=gcosA,BPtanA=>/3>

TT

因為Ae(0,7i),故A=2.

3

(2)由A=§,a=Vr5>且。2+(?2=23，代入余弦定理cJ=。2+c?—2)ccosA，

即15=23—>c,解得%=8,則AABC的面積S=LbcsinA=2j5.

2

【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題

19、(1)/(x)具有性質(zhì)。⑴；g(x)不具有性質(zhì)P⑴；(2)見解析；⑶[2”,21

【解析】(1)根據(jù)定義即可求得“X)具有性質(zhì)P⑴；根據(jù)特殊值即可判斷g(x)不具有性質(zhì)。⑴；

(2)利用反證法，假設(shè)二次函數(shù)/(x)不是偶函數(shù)，根據(jù)題意推出與題設(shè)矛盾即可證明；

,x\

a芝,再根據(jù)f(x)=log(4A+a)-x具有性質(zhì)P(k),得到

(J2

(4"+a)

log--<k,解不等式即可.

2-4+1J

【詳解】解：(1)??-/(%)=2021,定義域為R,

則有11(力一/(一切=0,

顯然存在正實數(shù)攵=1,對任意的xeR,總有1/。)一/(一處區(qū)1,

故.，(x)=2021具有性質(zhì)P⑴；

?jg(x)=x,定義域為R,

則Ig(x)-g(-x)1=卜一(一力|=|2x|,

當(dāng)x=2時，|g(2)-g(-2)|=|2x2|=4>左=1,

故不具有性質(zhì)尸(1)；

(2)假設(shè)二次函數(shù)/(x)不是偶函數(shù)，

設(shè)/(力=加+桁+。(4。0),其定義域為R,

即3),

貝!JI1="2+Zzx+c—(a(—x)-+/7(—x)+c=12M,

易知，"(x)—/(—x)|=|2加是無界函數(shù)，

故不存在正實數(shù)A,使得函數(shù)f(x)具有性質(zhì)。伏)，與題設(shè)矛盾,

故/(x)是偶函數(shù)；

(3)/(幻=1嗚(4'+。)一x的定義域為R,

|/(x)-/(-x)|

-x

=1°§2(4'+。)-x-(log2(4+a)+x)|

=卜082(4'+a)-log2(4'+cij—2x|

a-4V+1

4*+a

4X+a

a-4'+1

/(x)=隰(4-+o)-x具有性質(zhì)P(k),

即存在正實數(shù)丸對任意的xeR,總有l(wèi)/(x)-/(-x)區(qū)左，

即回(中4、+41卜)3

即音小，

即2*&'+“a,

a-4*+1

4*+a

即2"<-S—<2*,

a-4A+l

2,

即2%小方*

即+a-<2'+a-2T<2k~x+a-2k+x,

通過對比解得：

即ae[2-*,21.

【點睛】方法點睛：應(yīng)用反證法時必須先否定結(jié)論，把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進行推理，否則,

僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進行推理，就不是反證法.所謂矛盾主要指：①與已知條件矛盾；②與假設(shè)矛盾;

③與定義、公理、定理矛盾；④與公認的簡單事實矛盾；⑤自相矛盾.

、…乃…11^1?

20、(1)2%萬+二,2攵乃~1——,kEiZ.

_26J

(2)|^—2,5/3J.

【解析】(1)利用輔助角公式化簡函數(shù)/(%)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得答案；

(2)根據(jù)函數(shù)的圖象變換得到函數(shù)g(x)的解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得g(x)的值域.

【小問1詳解】

解：因為/(犬)=sinx+Gcosx=2sinx+工BPsinfx+yj<1,

所以2k7iH---WxH—W2kjrH--------即2kiH—<xW2火乃H--------keZ,

6369269

jrI17T

...的解集為2k7T+—,2k7r+--,keZ

【小問2詳解】

解：由題可知g(x)=2sin12(x—/+(=2sin^x~~，

當(dāng)—工《尤<一時，—萬K2x—工〈工，所以—4Wsin2x——>所以—242sin(2x—

3333I3)2I3；

所以g(x)在區(qū)間-上值域為[-2,6]

21、選①②③，答案相同，均為叵逆

4

7Tfl)TT

【解析】選①②可以得到最小正周期7=2、］=兀，從而得到。=2,結(jié)合圖象過的點［0,'J,可求出°=從而

得至！|/(x)=cos(2x+m),進而得到cos(a+1)=—$，接下來用湊角法求出sina的值；選③，可以直接得到最