2021-2022學(xué)年天津市南開區(qū)高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(附詳解)

第第#頁，共17頁【解析】(I)設(shè)出橢圓c的半焦距，根據(jù)離心率及三角形面積列出方程組求解即得.(U)(i)設(shè)直線“2的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，求出弦PQ長，由此能求出|PQ|的取值范圍．(H)求出PQ中點(diǎn)M的坐標(biāo)，借助向量垂直列式計(jì)算，能求出直線PQ的斜率.本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓相交問題、斜率計(jì)算公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19.【答案】解：(I)設(shè)等比數(shù)列｛陷｝的公比為q，而等差數(shù)列｛bn｝的第2項(xiàng)，第5項(xiàng)，第8項(xiàng)成等差數(shù)列，則2(a1+a3)=a2+a4，即2(a1+a/2)=a/+a/3，解得g=2，又因?yàn)殓?2,所以a九=alqn1=2九，顯然有b2=a2=4,b8=a4=16,則等差數(shù)列｛bn｝公差d=囂笄=2，所以久=b2+(n2)d=2n，所以數(shù)列｛an｝和｛/｝的通項(xiàng)公式分別是a九=2九，bn=2n.(u)(i)由(1)得，s九=(件+笑+%—唧(a1+a2+a3—an)=(4+42+43+…+4九)(2+22+23+…+2九)TOC\o"1-5"\h\z=4(14H)2(12n)=2(2n1)(2n+11).14123(ii)由(i)得，“M"+2=3(介2"+1)=3(n+1n+2)，Sn(2n1)(2n+11)2n12n+11所以[(/「)+㈠匚)+(」—)+???+(心3)]i=1Sj212212212312312412n12n+11=3(2-^±^)<6.2n+11【解析】(I)設(shè)出等比數(shù)列｛a」的公比，根據(jù)已知條件列出方程求出此公比及等差數(shù)列｛/｝的公差，再列式即可作答.(D)(i)由⑴的結(jié)論結(jié)合分組求和方法即可計(jì)算/(ii)利用(1)和(i)的結(jié)論，借助裂項(xiàng)相消法求出力爲(wèi)心2即可作答.Sj本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、分組求和、裂項(xiàng)相消法求和，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬中檔題.

20.【答案】解：(I)a=3時(shí)，f(x)=2lnx—3x(x>0),ff(x)=2—3,X令f(x)>0,解得：0<%<2,令廠(%)<0,解得：x八33故f(x)在(0,?遞增，在(?+8)遞減；(II)f(x)<ax2+(a—2)x—2恒成立，即2lnx—ax2+(2—2a)x+2<0恒成立,令g(x)=2lnx—ax2+(2—2a)x+2(x>0),g'(x)=2—2ax+(2—2a)=—2ax2+(2—2a)x+2,a<0時(shí)，???尤>0,???9‘(尤)>0，g(x)在(0,+8)遞增，'：9(1)=—a+2—2a+2=—3a+4>0,???關(guān)于％的不等式f(x)<ax2+(a—2)x—2不能恒成立，a>0時(shí)，“(Q=-2aA1)(“+1)，令“(%)=0,得%=!,TOC\o"1-5"\h\z%a???XG(0,1)時(shí)，gr(x)>0,XG(2,+8)時(shí),gr(x)<0,aa故函數(shù)g(x)在(0,1)遞增，在(2,+8)遞減，aa故函數(shù)9(%)的最大值是9(丄)=2加丄+1=1—2加a<0，aaaa令h(a)=1—2饑a，則h(a)在(0,+8)遞減，ah(1)=1>0,h(2)=1—2饑2<1—2ZnVe<0,22???a>2時(shí),MO<0，故整數(shù)a的最小值是2；(皿)假設(shè)存在一條直線與函數(shù)/'(%)的圖象有兩個(gè)不同的切點(diǎn)7；(叫,兒)，^2(%2，y2),不妨0<%i<%2，則片處切線“的方程為：y—ya；)=廠(叫)(％—叫)，T2處切線12的方程為：y-￡(%2)=廠(%2)(%一％2)，??//為同直線.f/(%1)=f/(%2)1，2為同直線，…ya；)—叫廠(叫［二門乙)—勺廠(虧)，%；=2整理得2/nx；—；%；=2/nx?—；%2，1122消去込得，2叱+消去込得，2叱+O令上=予由0<?<%2與皆2=2，得fG(0,1)，記p(t)=2Znt+1—t，貝9pz(t)=2—丄—1=—(I)2<0,ttt2t2???p(t)為(0,1)上的單調(diào)減函數(shù)，貝貝卩(上)>p(1)=0,從而①式不可能成立，???假設(shè)不成立，從而不存在一條直線與函數(shù)y=f(%)+丄X2的圖象有兩個(gè)不同的切點(diǎn).2【解析】(I)代入a的值，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；(U)問題轉(zhuǎn)化為2lnx—ax2+(2—2a)x+2<0恒成立，令g(x)=2lnx—ax2+(2—2a)%+2(%>0),求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的最小值即可；(皿)假設(shè)存在一條直線與函數(shù)f(x)的圖象有兩個(gè)不同的切點(diǎn)Tl(xl，yl)，T2(x2>y2)，不妨O2-%210<叫<%2，分別求出T］處切線“的方程，f2處切線12的方程，得到2加