湖南省常德市名校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次月水平檢測(cè)數(shù)學(xué)試題含解析

第第頁湖南省常德市名校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次月水平檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含解析）常德市名校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次月水平檢測(cè)

數(shù)學(xué)

（時(shí)量：120分鐘滿分：150分）

一單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個(gè)答案符合題意）

1.若集合，則（）

A.B.C.D.

2.的值等于（）

A.-2B.0C.8D.10

3.函數(shù)的圖象如下圖所示，則的解析式可能為（）

A.B.C.D.

4.《擲鐵餅者》取材于希臘的現(xiàn)實(shí)生活中的體育競(jìng)技活動(dòng)，刻畫的是一名強(qiáng)健的男子在擲鐵餅過程中具有表現(xiàn)力的瞬間（如圖）.現(xiàn)在把擲鐵餅者張開的雙臂近似看成一張拉滿弦的“弓”，擲鐵餅者的手臂長(zhǎng)約為，肩寬約為，“弓”所在圓的半徑約為，則擲鐵餅者雙手之間的距離約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）

A.B.C.D.

5.“”是“方程有正實(shí)數(shù)根”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的最大值為（）

A.0B.C.2D.

7.已知函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足時(shí)，，則不等式的解集為（）

A.B.C.D.

8.已知直線與曲線和曲線均相切，則實(shí)數(shù)的解的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.無數(shù)

二多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，多選錯(cuò)選不得分，少選得兩分）

9.設(shè).且，則（）

A.B.

C.D.

10.下列說法正確的有（）

A.

B.中，

C.若，則

D.

11.已知函數(shù)，則（）

A.在上為增函數(shù)

B.當(dāng)時(shí)，方程有且只有3個(gè)不同實(shí)根

C.的值域?yàn)?/p>

D.若，則

12.已知定義在上的函數(shù)滿足對(duì)任意的，且當(dāng)時(shí)，，則（）

A.

B.對(duì)任意的

C.是減函數(shù)

D.若，且不等式恒成立，則的最小值是

三填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.若，則的值為__________.

14.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為__________.

15.設(shè)函數(shù)的定義域均為，且函數(shù)均為偶函數(shù).若當(dāng)時(shí)，，則的值為__________.

16.已知函數(shù)，若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.

四解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟）

17.（10分）已知.

（1）求的大小；

（2）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間及值域.

18.（12分）為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知.

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

19.（12分）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.

20.（12分）菱形中，平面，

（1）證明：直線平面；

（2）線段上是否存在點(diǎn)使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求；若不存在，說明理由.

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為4.

（1）求的方程；

（2）如圖，點(diǎn)為雙曲線的下頂點(diǎn)，直線過點(diǎn)且垂直于軸（位于原點(diǎn)與上頂點(diǎn)之間），過的直線交于兩點(diǎn)，直線分別與交于兩點(diǎn)，若四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)的坐標(biāo).

22.（12分）已知函數(shù).

（1）若函數(shù)為增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）已知.

（i）證明：；

（ii）若，證明：.

常德市名校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次月水平檢測(cè)

數(shù)學(xué)

參考答案

（時(shí)量：120分鐘滿分：150分）

一單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個(gè)答案符合題意）

1.【答案】C【詳解】解得，即為奇數(shù)集，故.故選：C

2.【答案】A【詳解】.故選：A.

3.【答案】D【詳解】由圖知：函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，其為偶函數(shù)，且，

由且定義域?yàn)?，即中函?shù)為奇函數(shù)，排除；

當(dāng)時(shí)，即中上函數(shù)值為正，排除；故選：D

4.【答案】B【詳解】如圖所示，由題意知“弓”所在的弧的長(zhǎng)，其所對(duì)圓心角，則兩手之間的距離.故選：B.

5.【答案】B【詳解】由方程有正實(shí)數(shù)根，則等價(jià)于函數(shù)有正零點(diǎn)，

由二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，則函數(shù)只能存在一正一負(fù)的兩個(gè)零點(diǎn)，

則，解得，故選：B.

6.【答案】C【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，因此，所以.

7.【答案】D【詳解】令函數(shù)，則，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，.

又，所以當(dāng)時(shí)，；又為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以不等式可化為或，解得，不等式解集為

8.【答案】C【詳解】根據(jù)題意可知，直線與曲線和曲線都相切，

所以對(duì)于曲線，則，所以，所以切點(diǎn)，

對(duì)于曲線，則，所以，切點(diǎn)，易知不重合，因?yàn)楣芯€過兩點(diǎn)，所以，進(jìn)而可得，

令，則，

令，則所以在單調(diào)遞增，

因?yàn)椋源嬖谑沟?，即?/p>

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故.又，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?/p>

所以在內(nèi)存在，使得，

當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以在?nèi)存在，使得，

綜上所述，存在兩條斜率分別為的直線與曲線和曲線都相切，故選：C.

二多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，多選錯(cuò)選不得分，少選得兩分）

9.【答案】AC【詳解】因?yàn)?且，所以，即，故A正確；

由，可得，故B錯(cuò)誤；由題可知，所以，故C正確；

取，可得，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.

10.【答案】ABD

11.【答案】BCD【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式作出函數(shù)圖象，

由圖象易知，在上不是增函數(shù)，故錯(cuò)誤；

當(dāng)時(shí)，，則，

過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與在上相交，共2個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，過點(diǎn)作的切線，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，，故當(dāng)時(shí)，與在處相切，有1個(gè)交點(diǎn)；

故當(dāng)時(shí)，與共有3個(gè)交點(diǎn)，故B正確；

由圖易知，故C正確；

當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，由函數(shù)圖象，及上述分析知，；

當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，由函數(shù)圖象，及上述分析知，；

故若，故D正確；故選：BCD

12.【答案】ABD【詳解】取，則，解得或，

若，則對(duì)任意的，與條件不符，故，A正確；

對(duì)任意的，若存在，使得，

則，與矛盾，所以對(duì)任意的正確；

當(dāng)時(shí)，，且，所以當(dāng)時(shí)，，與為減函數(shù)矛盾，錯(cuò)誤；

假設(shè)，則

因?yàn)?，所以，則，即，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由題意得，所以，

結(jié)合在上單調(diào)遞增可知，則，

令，則，令，

易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，

所以，則正確.

故選：ABD.

三填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.【答案】【詳解】由題意，則，則，故答案為：

14.【答案】【詳解】由得或所以的定義域?yàn)橐驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以

15.【答案】-7【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域均為，且函數(shù)為偶函數(shù)，

則，求導(dǎo)得，即，

所以函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱.因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，

所以函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，由函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱，且關(guān)于直線對(duì)稱.所以函數(shù)的周期為.由，，

所以，即，即，所以當(dāng)時(shí)，

于是

16.【答案】【詳解】，令，則，設(shè)，則，

當(dāng)時(shí)，，且等號(hào)不同時(shí)成立，則恒成立，

當(dāng)時(shí)，，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?，因此存在，使得?/p>

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又，作出函數(shù)的圖像如下：

函數(shù)定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，

①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，

當(dāng)時(shí)，的取值集合為，而取值集合為，

因此函數(shù)在上的值域包含，

當(dāng)時(shí)，的取值集合為，而取值集合為，

因此函數(shù)在上無最小值，從而函數(shù)的值域?yàn)椋?，不合題意，

②當(dāng)時(shí)，由得，由得在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，當(dāng)時(shí)，的取值集合為，

而取值集合為，因此函數(shù)在上的值域包含，

此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椋矗?/p>

當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意，

當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象可知，，不合題意，

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：

四解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟）

17.【答案】（1）

（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減；值域?yàn)?

【詳解】（1）由得，

則，因?yàn)椋裕?/p>

所以，解得，即，又，

所以，則.

（2）函數(shù)，

令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

因?yàn)?，?dāng)時(shí)，即取最大值1；

當(dāng)時(shí)，即取最小值.所以值域?yàn)?

18.【答案】（1）（2）

【詳解】解：（1）由，可知兩式相減得，即，

（舍）或，則是首項(xiàng)為3，公差的等差數(shù)列，

的通項(xiàng)公式：

（2），

，

數(shù)列的前項(xiàng)和.

19.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

（2）當(dāng)時(shí)，最大值是；

當(dāng)時(shí)，最大值是；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上的最大值是.

【詳解】（1），函數(shù)定義域?yàn)?

（i）當(dāng)時(shí)，令，得.

若，則，從而在上單調(diào)遞增；

若，則，從而在上單調(diào)遞減.

（ii）當(dāng)時(shí)，令，得，解得或，有.

若，則或，從而在和上單調(diào)遞減；

若，則，從而在上單調(diào)遞增；

（2）由（1）中求得單調(diào)性可知，

（i）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值是.

（ii）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值是.

（iii）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，最大值是.

20.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，

【詳解】解：建立以為原點(diǎn)，分別以（為中點(diǎn)），的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），

則.

（1）證明：，

（2）設(shè)為平面的法向量，

則，即，可得，

又，可得，又因?yàn)橹本€平面，所以直線平面；

（2）設(shè)，則，

則，設(shè)為平面的法向量，

則，即，可得，

由，得，解得或（舍），所以.

21.【答案】（1）（2）

【詳解】（1）因?yàn)閷?shí)軸長(zhǎng)為4，即，

又，所以，故的方程為.

（2）由四點(diǎn)共圓可知，，

又，即，

故，即，所以，

設(shè)，

由題意可知，則直線，直線，

因?yàn)樵谥本€上，所以，代入直線方程，可知，

故坐標(biāo)為，所以，

又，由，則，整理可得，

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，顯然不符合題意，

故設(shè)直線，代入雙曲線方程：中，

可得，所以，

又，

所以，

故，即，所以點(diǎn)坐標(biāo)為.

22.【詳解】（1），則，若是增函數(shù)，則，且，可得，故原題意等價(jià)于對(duì)恒成立，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；則在上