福建省福州市閩侯竹岐中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

福建省福州市閩侯竹岐中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列說法錯(cuò)誤的是

(

)A．命題“若，則”的否命題是：“若

，則”B．如果命題“”與命題“或”都是真命題，那么命題一定是真命題.C．若命題：，則；D．“”是“”的充分不必要條件；參考答案：D略2.已知函數(shù)函數(shù)若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略3.已知是常數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是（

）參考答案：D4.已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2﹣2（a≠0）有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，則（） A．當(dāng)a＜0時(shí)，x1+x2＜0，x1x2＞0 B． 當(dāng)a＜0時(shí)，x1+x2＞0，x1x2＜0 C．當(dāng)a＞0時(shí)，x1+x2＜0，x1x2＞0 D． 當(dāng)a＞0時(shí)，x1+x2＞0，x1x2＜0參考答案：考點(diǎn)： 根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 求導(dǎo)數(shù)可得x=0，或x=時(shí)，函數(shù)取得極值，要滿足題意需f（）=0，可得a，b的關(guān)系，當(dāng)a＞0時(shí)，x1+x2的正負(fù)不確定，不合題意；當(dāng)a＜0，可得x1x2＜0，x1+x2＞0，進(jìn)而可得答案．解答： 解：原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=3ax2+2bx=x（3ax+2b），令f′（x）=0，可解得x=0，或x=，故當(dāng)x=0，或x=時(shí)，函數(shù)取得極值，又f（0）=﹣2＜0，所以要使函數(shù)f（x）=ax3+bx2﹣2（a≠0）有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則必有f（）=a+b﹣2=0，解得，且b＞0，即函數(shù)的一根為x1=，（1）如下圖，若a＞0，可知x1=＜0，且為函數(shù)的極大值點(diǎn)，x=x2處為函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)：，x2＞0，顯然有x1x2＜0，但x1+x2的正負(fù)不確定，故可排除C，D；（2）如圖2，若a＜0，必有x1=＞0，此時(shí)必有x1x2＜0，x1=的對(duì)稱點(diǎn)為x=，則f（）=a+b﹣2=﹣2==8＞0，則必有x2＞，即x2﹣＞0，即x1+x2＞0故選B點(diǎn)評(píng)： 本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，涉及三次函數(shù)的圖象以及分類討論的思想，屬中檔題5.已知為非零實(shí)數(shù)，且，則下列命題成立的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C6.設(shè)函數(shù)，若互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：D，所以對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，所以要使互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則有，不妨設(shè)，則有，，，所以，即，所以的取值范圍是，選D,如圖。7.設(shè)等邊△ABC邊長為6，若，，則等于(

) A．﹣6 B．6 C．﹣18 D．18參考答案：C考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：根據(jù)題意得出=（），=，運(yùn)用數(shù)量積求解即可．解答： 解：∵等邊△ABC邊長為6，若，，∴=（），=，∴=（22）=（﹣36×6×）=﹣18，故答案為：C點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的運(yùn)算，數(shù)量積的求解，屬于中檔題，關(guān)鍵是分解向量．8.已知全集，則＝A．

B．{1,5,9,11}

C．{9,11}

D．{5,7,9,11}參考答案：B9.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)A.

B.

C.

D.參考答案：A略10.(4)設(shè),則“”是“”的 (A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)某總體是由編號(hào)為01，02，…19，20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第3列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第6個(gè)個(gè)體編號(hào)為

．參考答案：19【考點(diǎn)】B2：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．【分析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表，依次進(jìn)行選擇即可得到結(jié)論．【解答】解：由題意可得，選取的這6個(gè)個(gè)體分別為18，07，17，16，09，19，故選出的第4個(gè)個(gè)體編號(hào)為19．故答案為：19．12.若整數(shù)滿足,則的最大值為

．參考答案：1013.數(shù)列若對(duì)任意恒成立，則正整數(shù)的最小值是．參考答案：1014.已知中，角所對(duì)的邊長分別為，且角成等差數(shù)列，的面積，則實(shí)數(shù)的值為

。參考答案：；因?yàn)榻浅傻炔顢?shù)列，所以2B=A+C,又A+B+C=,所以，所以，又，所以。15.如果一個(gè)正整數(shù)能表示為連個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個(gè)正整數(shù)為“神秘?cái)?shù)”，則區(qū)間內(nèi)的所有“神秘?cái)?shù)”之和為

參考答案：250016.我們把形如的函數(shù)稱為冪指函數(shù)，冪指函數(shù)在求導(dǎo)時(shí)，可以利用對(duì)法數(shù)：在函數(shù)解析式兩邊求對(duì)數(shù)得，兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得于是，運(yùn)用此方法可以求得函數(shù)在（1，1）處的切線方程是

。參考答案：17.若對(duì)任意的，均有，則a的取值范圍是________。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)(Ｉ)證明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.參考答案：19.已知函數(shù)．（1）若f（x）≥﹣|x|+a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，有|x+y+1|≤，|y﹣|≤，求證：f（x）≤．參考答案：【考點(diǎn)】R4：絕對(duì)值三角不等式；R5：絕對(duì)值不等式的解法．【分析】（1）令g（x）=f（x）+|x|，化簡(jiǎn)g（x）的解析式，判斷g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的最小值即可得出a的范圍；（2）利用絕對(duì)值三角不等式證明．【解答】解：（1）∵f（x）≥﹣|x|+a恒成立，∴a≤||+|x|恒成立，令g（x）=||+|x|=，∴g（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（x）的最小值為g（0）=1，∴a≤1．（2）f（x）=||=|x+y+1﹣y++|≤|x+y+1|+|y﹣|+≤（+）=．20.在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為等腰梯形，，且AD∥BC，AD＝AE＝1，∠ABC＝60°，EF=AC，且EF∥AC.（Ⅰ）證明：AB⊥CF；（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．參考答案：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由EA⊥平面ABCD得BA⊥AE．由四邊形ABCD為等腰梯形，，且，∠ABC＝60°，得AB⊥AC，進(jìn)而推出AB⊥平面ACFE．即可得AB⊥CF．（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，AE分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BEF的一個(gè)法向量，平面DEF的一個(gè)法向量，通過向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值即可．【詳解】（Ⅰ）由題知EA⊥平面ABCD，BA平面ABCD，∴BA⊥AE．四邊形ABCD為等腰梯形，，且，AD＝1，所以BC=2，∠ABC＝60°，過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，在RT△ABH中，，∴AB＝1，在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BCcos60°＝3，∴AB2+AC2＝BC2，∴AB⊥AC，且AC∩EA＝A，∴AB⊥平面ACFE．又∵CF?平面ACFE，∴AB⊥CF.（Ⅱ）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，AE分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，EF=AC，且EFAC，AD＝AE＝1，則，設(shè)為平面BEF的一個(gè)法向量，則令，得，設(shè)為平面DEF的一個(gè)法向量，則令，得，∴，二面角B﹣EF﹣D的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，向量法求二面角的平面角，考查空間想象能力以及計(jì)算能力，屬于中檔題．21.（本題滿分12分）在正三角形ABC中,E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn),且滿足===(如圖(1)),將△AEF沿EF折起到△EF的位置,使二面角EFB成直二面角,連接B、P(如圖(2)).(1)求證:E⊥平面BEP;(2)求直線E與平面BP所成角的大小.參考答案：(1)不妨設(shè)正三角形ABC的邊長為3,則在圖(1)中,取BE的中點(diǎn)D,連接DF,∵===,∴FA=AD=2.又∠A=60°,則△ADF是正三角形.又AE=ED=1,∴EF⊥AD,∴在圖(2)中有E⊥EF,BE⊥EF,∴∠EB為二面角EFB的平面角,∵二面角EFB為直二面角,∴E⊥BE.又∵BE∩EF=E,∴E⊥平面BEF,即E⊥平面BEP.

(2)由(1)可知E⊥平面BEP,BE⊥EF,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則E(0,0,0),(0,0,1),B(2,0,0).連接DP,由(1)知EFDP,DEFP,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,,0),∴=(2,0,-1),=(-1,,0),=(0,0,1),不妨設(shè)平面BP的法向量=(x,y,z),則,令y=,得=(3,,6),∴cos<,>===,則直線E與平面BP所成角的正弦值為,故直線E與平面BP所成角的大小為.22.（本小題滿分12分）某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)電量Y（單位：萬千瓦時(shí)）與該河上游在六月份的降雨量X（單位：毫米）有關(guān)．據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X=70時(shí)，Y=460；X每增加10，Y增加5；已知近20年X的值為：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．（I）完成如下的頻率分布表：

近20年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220頻率

（II）假定今年六月份的降雨量與近20年六月份的降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于490（萬千瓦時(shí)）或超過530（萬