三角函數(shù)卡根法(含詳細解析)

三角函數(shù)卡根法(含詳細解析)22所以函數(shù)的周期為2，即n=1，T=2.最大值與最小值的水平間距為2，即為2T/4=T/2=.根據(jù)卡根法，有2T221.故選C.本文主要講解如何使用卡根法解決涉及動態(tài)三角函數(shù)中的參數(shù)ω取值范圍問題。對于給定區(qū)間寬度b-a和函數(shù)周期nT（n∈Z）的關(guān)系，可以建立一個定理，即任意對稱軸（對稱中心）之間的間距為nT，任意對稱軸與對稱中心之間的間距為nT/2。接下來，通過一個例題來演示如何使用卡根法。題目中給定x1=π/4，x2=3π/4，且它們是函數(shù)f(x)=sinωx（ω>0）的兩個相鄰極值點。由此可知，b-a=π/2，函數(shù)周期T=2π，n=1。最大值與最小值的水平間距為2，即為2T/4=T/2=π。帶入卡根法公式，可得ω=2π/T=2π/2π=1，因此答案為C。根據(jù)函數(shù)$f(x)=f(-x)$，可知函數(shù)$f(x)$的對稱軸為$x=0$。又$f(x)=-f(-x)$，則$f(x)$有對稱中心$(0,0)$。由于$f(x)$在區(qū)間$[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$上具有單調(diào)性，則$f(\frac{\pi}{2})<0,f(\frac{3\pi}{2})>0$，從而$T\rightarrowT-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$，即$T=\pi$。故答案為$\pi$。秒殺秘籍：限定周期的$\omega$卡根通常在固定的一兩個周期內(nèi)，給予單調(diào)性的限定或者值域的限定，對$\omega$或者$\phi$會有一個區(qū)間限定，此類型題就是要卡住兩個臨界點，通?？梢哉页?y=\sinx$的范圍，再推導(dǎo)至$y=Asin(\omegax+\phi)$當(dāng)中。常見的卡根數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化如下：①$f(x)=Asin(\omegax+\phi)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)單調(diào)$\Rightarrow\omega>\frac{\pi}{b-a}$且$\omega\leq\frac{\pi}{a-b}$（圖1）；同理，$f(x)=Asin(\omegax+\phi)$在區(qū)間$[a,b]$內(nèi)單調(diào)$\Rightarrow\omega<\frac{\pi}{b-a}$且$\omega\geq\frac{\pi}{a-b}$（圖2）。②$f(x)=Asin(\omegax+\phi)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)沒有零點$\Rightarrowk\pi-\phi<(k+1)\pi-\phi-\omega(a-b)$（圖3）；同理，$f(x)=Asin(\omegax+\phi)$在區(qū)間$[a,b]$內(nèi)沒有零點$\Rightarrowk\pi-\phi>(k+1)\pi-\phi-\omega(b-a)$（圖4）。關(guān)于在給定范圍內(nèi)單調(diào)或者沒有零點的問題，卡根的范圍都在半個周期，區(qū)間內(nèi)單調(diào)的開區(qū)間和閉區(qū)間沒同理，$f(x)=Asin(\omegax+\phi)$在區(qū)間$[a,b]$內(nèi)沒有零點$\Rightarrowk\pi-\phi<(k+1)\pi-\phi-\omega(b-a)$或$k\pi-\phi>(k+1)\pi-\phi-\omega(b-a)$。另外，區(qū)間內(nèi)單調(diào)或者無零點叫做內(nèi)卡根，即$(a,b)$卡在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)部。有區(qū)別，沒有零點問題的開區(qū)間和閉區(qū)間的區(qū)別在于是否加上等號，很多考題就喜歡在這個細節(jié)上體現(xiàn)學(xué)生的基本功。所以，我們給出了模型分解，那么請大家思考，如果區(qū)間是$(a,b]$或者是$[a,b)$呢？如果題目所說在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增或者單調(diào)遞減呢？請讀者自己分析模型，或者通過刷此類型的題目不斷累積經(jīng)驗。關(guān)于在給定區(qū)間內(nèi)函數(shù)零點個數(shù)的問題，卡根方法可以用于一個周期內(nèi)的情況，即左端點卡半個周期，右端點卡半個周期，而開區(qū)間和閉區(qū)間的區(qū)別只是是否包含端點。在解決$f(x)=A\sin(\omegax+\phi)=m$在區(qū)間內(nèi)的零點問題時，我們需要在后面的例題中進行闡述。例如，已知函數(shù)$f(x)=\sin(\omegax+\phi)$，其中$\omega>0$，在$[0,2\pi]$區(qū)間內(nèi)有且僅有5個零點，則以下4個結(jié)論中，所有正確結(jié)論的編號是()。解：根據(jù)$y=\sinx$的圖像，除了原點以外，當(dāng)正半軸出現(xiàn)5個零點時，一定有$5\pi\leqx<6\pi$，因此當(dāng)$x\in[0,2\pi]$且$-\pi/5\leq(\omegax+\phi)\leq\pi/5$時，$f(x)$在$[0,2\pi]$有且僅有5個零點，因此$\omega$取值范圍為$[12/5,29/5)$，故選項中只有D正確。注意，在一些題目中，由于端點$a$為0且$\phi>\pi$的時候只需考慮端點$b$，原因是$-\phi/\omega\leq(\omegax+\phi)/\omega\leq\pi-\phi/\omega$恒成立。例如，已知函數(shù)$f(x)=5\sin(\omegax-\phi)$，若$f(x)$在區(qū)間$(\pi,2\pi]$內(nèi)沒有零點，則$\omega$的取值范圍為()。解：