殘差分析-數(shù)據(jù)分析

2.3殘差分析前面討論的是線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)和有關(guān)的統(tǒng)計(jì)推斷，這些討論都是在對(duì)模型作了一定的假設(shè)進(jìn)行的，其中最重要的是回歸關(guān)系的線性假設(shè)，誤差項(xiàng)的獨(dú)立同正態(tài)分布假設(shè)。當(dāng)給定了一批數(shù)據(jù)后，如何考察這些數(shù)據(jù)滿足假設(shè)是回歸分析的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。這些假設(shè)涉及到誤差項(xiàng)，而誤差是不可測(cè)的，我們能夠使用的是其估計(jì)量殘差。2.3.1誤差項(xiàng)的正態(tài)性檢驗(yàn)一、學(xué)生化殘差從誤差的估計(jì)值（殘差）出發(fā)分析關(guān)于誤差項(xiàng)假定的合理性以及線性回歸關(guān)系的假定的可行性稱為殘差分析。假設(shè)誤差向量則殘差向量其中H是n階對(duì)稱冪等矩陣故其中是H主對(duì)角線的第i個(gè)元素，稱為杠桿量。由于殘差的方差和杠桿量有關(guān)，故一般情況下，殘差的方差不相等，這不利于殘差的應(yīng)用，，因此我們將殘差標(biāo)準(zhǔn)化。稱為學(xué)生化殘差，當(dāng)n較大時(shí)，可認(rèn)為其服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。這是檢驗(yàn)誤差項(xiàng)獨(dú)立同正態(tài)分布的基礎(chǔ)。二、殘差正態(tài)性的頻率檢驗(yàn)殘差正態(tài)性的頻率檢驗(yàn)是一種很直觀的檢驗(yàn)方法，其基本思想是學(xué)生化殘差落入一些范圍的頻率與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布在相應(yīng)范圍內(nèi)的概率做比較，若二者相差較大，則認(rèn)為殘差（從而模型誤差）不服從正態(tài)分布。在實(shí)際應(yīng)用中，一般取幾個(gè)具有代表性的區(qū)間進(jìn)行比較。例如（-1，1）（－1.5，1.5）（2，2）服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量取值在（-1，1）內(nèi)的概率為0.68；在(-1.5,1.5)內(nèi)的概率為0.87；在（-2，2）內(nèi)為0.95，因此若模型誤差項(xiàng)獨(dú)立同正態(tài)分布，則當(dāng)n較大時(shí)，學(xué)生化殘差中應(yīng)大約有68%的點(diǎn)落在在（-1，1）內(nèi)；大約有87%在(-1.5,1.5)內(nèi)，大約95%在（-2，2）內(nèi)。若在某個(gè)區(qū)間內(nèi)差異較大，則有理由懷疑誤差獨(dú)立同正態(tài)分布的假設(shè)的合理性。三、殘差的正態(tài)qq圖檢驗(yàn)（1）學(xué)生化殘差正態(tài)qq圖做法則所得的散點(diǎn)圖即為學(xué)生化殘差的正態(tài)qq圖，利用正態(tài)qq圖可以直觀檢驗(yàn)誤差正態(tài)性假設(shè)的合理性（2）相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)。除了上述直觀檢驗(yàn)外，我們還可以構(gòu)造兩者的相關(guān)系數(shù)來(lái)度量二者之間線性關(guān)系的強(qiáng)弱。其相關(guān)系數(shù)估計(jì)為通過(guò)考察不同類型殘差圖可以對(duì)誤差項(xiàng)分布的正態(tài)性，等方差性以及回歸關(guān)系的線性性等假定的合理性作出直觀檢測(cè)，還可以對(duì)回歸方程是否有必要引進(jìn)自變量的高次項(xiàng)、交叉項(xiàng)等提供參考。2.3.2殘差圖的分析殘差圖是以殘差為縱坐標(biāo)，以其他有關(guān)量為橫坐標(biāo)的散點(diǎn)圖。（1）以因變量Y的擬合值為橫坐標(biāo)的散點(diǎn)圖。若線性回歸關(guān)系正確且誤差服從正態(tài)分布，則因變量的擬合值與殘差向量相互獨(dú)立。這時(shí)殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)大致在一個(gè)水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，沒(méi)有任何明顯地趨勢(shì)，如下圖：（2）以自變量觀測(cè)值為橫坐標(biāo)的散點(diǎn)圖。（3）以觀測(cè)時(shí)間或觀測(cè)值序號(hào)橫坐標(biāo)的散點(diǎn)圖。還可以用以下坐標(biāo)做殘差圖，兩種殘差圖原理與上一個(gè)相同

通過(guò)殘差分析可以發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)的某些特點(diǎn)和模型假定的一些不足之處，接下來(lái)的問(wèn)題就是要采取相應(yīng)的措施改進(jìn)其不足，以建立更好的回歸模型。

一個(gè)常用的改進(jìn)措施就是Box-Cox變換，它通過(guò)對(duì)因變量Y做適當(dāng)變換，使原數(shù)據(jù)盡可能滿足線性回歸模型的條件。2.3.2Box-Cox變