初中數學九年級上冊人教版22.2二次函數與一元二次方程含解析

第第頁初中數學九年級上冊人教版22.2二次函數與一元二次方程（含解析）初中數學九年級上冊人教版22.2二次函數與一元二次方程

一、填空題

1．已知拋物線的對稱軸是直線.若關于x的一元二次方程的一個根為4，則該方程的另一個根為.

2．拋物線經過點、兩點，則關于x的一元二次方程的解是．

3．已知拋物線的部分圖象如圖所示，則方程的解是

4．已知拋物線的圖像與x軸分別交于點，，則關于x的方程的根為．

5．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個交點為，則關于x的方程的解為．

6．已知二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，函數值y與自變量x的部分對應值如下表：

x…－5－4－3－2－1…

y…3－2－5－6－5…

則關于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－2的根是.

二、選擇題

7．如表是一組二次函數y＝x2﹣x﹣3的自變量和函數值的關系，那么方程x2﹣x﹣3＝0的一個近似根是（）

x1234

y﹣3﹣139

A．1.2B．2.3C．3.4D．4.5

8．根據以下表格中二次函數y＝ax2+bx+c的自變量x與函數值y的對應值，可以判斷方程ax2+bx+c＝0的一個解x的范圍是（）

x00.511.52

y＝ax2+bx+c﹣1﹣0.513.57

A．0＜x＜0.5B．0.5＜x＜1C．1＜x＜1.5D．1.5＜x＜2

9．已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數根，則拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點個數是（）

A．0個B．1個C．2個D．3個

10．如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象經過原點O，與x軸另一個交點為A點，則方程ax2+bx+c＝0的解是（）

A．兩個正根B．兩個負根

C．一個正根，一個負根D．0和一個正根

11．若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的兩個根是﹣3和1，則對于二次函數y＝ax2+bx+c，當y＞0時，x的取值范圍是（）

A．﹣3＜x＜1B．x＜﹣3或x＞1

C．x＞﹣3D．x＜1

12．對于一個函數，自變量x取c時，函數值為0，則稱c為這個函數的零點.若關于x的二次函數y＝﹣x2﹣8x＋m（m≠0）有兩個不相等的零點x1，x2（x1＜x2），關于x的方程x2＋8x﹣m﹣2＝0有兩個不相等的非零實數根x3，x4（x3＜x4），則下列式子一定正確的是（）

A．0＜＜1B．＞1

C．0＜＜1D．＞1

三、解答題

13．若二次函數的對稱軸為直線，求關于x的方程的解.

14．二次函數y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A、B兩點，已知點A在點B的左側，求點A和點B的坐標．

15．已知二次函數．求證：不論為何實數，此二次函數的圖象與軸都有兩個不同交點．

16．已知二次函數y=kx2﹣2x﹣1的圖像與x軸有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍．

17．畫出函數的圖像，觀察函數圖象，請直接寫出方程的根.

18．已知關于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0有兩個不相等的實數根，且兩個實數根都在－1和0之間(不包含－1和0)，求a的取值范圍．

答案解析部分

1．【答案】－6

【解析】【解答】解：由題意拋物線的對稱軸x=-1，與x軸的交點為（4，0），

∴拋物線與x軸的另一個交點坐標（-6，0），

∴一元二次方程ax2+bx+c=0的另一個根為-6.

故答案為：-6.

【分析】根據對稱性可得拋物線與x軸的另一個交點的坐標，然后結合二次函數與對應的一元二次方程的關系進行解答.

2．【答案】

【解析】【解答】解：拋物線經過點、兩點，

關于x的一元二次方程的解是

故答案為：

【分析】根據二次函數的圖象與一元二次方程的關系可得。

3．【答案】或

【解析】【解答】解：由圖象可知拋物線與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，

設拋物線與x軸的另一個交點為，則，

解得：．

∴方程的解為或．

故答案為：或

【分析】根據函數圖象求出二次函數的圖象與x軸的交點坐標，即可得到方程的解為或。

4．【答案】，

【解析】【解答】解：∵的圖象與x軸分別交于點A（-2，0），B（-4，0），

∴的根為，，

故答案為：，．

【分析】根據的圖象與x軸分別交于點A（-2，0），B（-4，0），得出的根，即可得出答案。

5．【答案】，

【解析】【解答】解：∵拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個交點為，

∴拋物線與x軸的另一個交點為，

∴關于x的方程的解為，，

故答案為：，．

【分析】先求出拋物線與x軸的另一個交點為，再求出關于x的方程的解為，，即可作答。

6．【答案】x1=-4，x2=0

【解析】【解答】解：∵x=﹣3，x=﹣1的函數值都是﹣5，相等，

∴二次函數的對稱軸為直線x=﹣2.

∵x=﹣4時，y=﹣2，∴x=0時，y=﹣2，

∴方程ax2+bx+c=3的解是x1=﹣4，x2=0.

故答案為：x1=﹣4，x2=0.

【分析】根據表格中的信息和二次函數的性質可得拋物線的對稱軸為直線x=-2；于是可得當y=-2時，x=-4或x=0，然后把y=-3代入函數解析式可得y=ax2+bx+c，從而可得關于x的一元二次方程ax2+bx+c=-2的根.

7．【答案】B

【解析】【解答】解：觀察表格得：方程x2﹣x﹣3＝0的一個近似根在2和3之間.

故答案為：B.

【分析】根據表格中的數據可得當x=2時，y0，據此可得方程的近似根.

8．【答案】B

【解析】【解答】解：觀察表格可知：當x＝0.5時，y＝﹣0.5；當x＝1時，y＝1，

∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c為常數）的一個解x的范圍是0.5＜x＜1.

故答案為：B.

【分析】觀察表格可知：當x＝0.5時，y＝-0.50，據此不難得到方程ax2+bx+c＝0的解的范圍.

9．【答案】B

【解析】【解答】∵關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數根，

∴拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點個數是1．

故答案為：B．

【分析】根據一元二次方程解的個數和二次函數與x軸的交點個數的關系求解即可。

10．【答案】D

【解析】【解答】解：二次函數y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象經過原點O，與x軸另一個交點為A點，根據函數圖象可知，點在軸正半軸，

所以方程ax2+bx+c＝0的解是0和一個正根

故答案為：D

【分析】根據拋物線與一元二次方程的關系可得：函數與x軸的交點即是方程的解，即可得到答案。

11．【答案】B

【解析】【解答】解：∵a＞0，故拋物線開口向上，由題意知，拋物線與x軸的兩個交點坐標為（﹣3，0）、（1，0），

∴當y＞0時，x的取值范圍是x＜﹣3或x＞1，

故答案為：B.

【分析】由a＞0可知，拋物線開口向上，在x軸上方的圖象所對應的y值大于0，此時x的取值在拋物線與x軸的兩個交點之外，即：當y＞0時，x的取值范圍是x＜﹣3或x＞1.

12．【答案】A

【解析】【解答】解：由題意關于x的方程x2＋8x﹣m﹣2＝0的兩個不相等的非零實數根x3，x4（x3＜x4），就是關于x的二次函數y＝﹣x2﹣8x＋m（m≠0）與直線y＝﹣2的交點的橫坐標，

畫出函數的圖象草圖如下：

∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣4，

∴x3＜x1＜﹣4，

由圖象可知：0＜＜1一定成立，

故答案為：A.

【分析】根據二次函數y＝﹣x2﹣8x＋m（m≠0），確定函數的圖象：開口方向向下，對稱軸是x=-4，與x軸的交點x1，x2（x1＜x2）.關于x的方程x2＋8x﹣m﹣2＝0，就是二次函數y＝﹣x2﹣8x＋m中y=-2.所以，方程x2＋8x﹣m﹣2＝0的根x3，x4（x3＜x4），就是二次函數y＝﹣x2﹣8x＋m和直線y=-2的交點的橫坐標.所以，x3＜x1＜0，即0＜＜1一定成立.

13．【答案】解：∵二次函數的對稱軸為直線，

∴，

解得.

將代入中，得：，

解得，.

【解析】【分析】利用二次函數的對稱軸公式即可算出b的值，將求得的b代入方程，用因式分解法解關于x的一元二次方程即可.

14．【答案】解：當時，，

解得，，

所以，．

【解析】【分析】根據題意求出，再解方程求解即可。

15．【答案】解：，不論為何值時，都有，此時二次函數圖象與軸有兩個不同交點．

【解析】【分析】利用判別式的值得到，從而得到，然后根據判別式的意義得到結論．

16．【答案】解：令y＝0，則kx2﹣2x﹣1＝0．

∵二次函數y＝kx2﹣2x﹣1的圖象與x軸有兩個不同的交點，

∴一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有兩個不相等的解，

解得：k＞﹣1且k≠0．

∴實數k的取值范圍k＞﹣1且k≠0．

【解析】【分析】根據題意將該題轉化為求一元二次方程根的判別式求解。

17．【答案】解：y=x2+2x-3=（x+1）2-4，∴圖象的頂點為（-1，-4），當y=0，則0=（x+1）2-4，解得：x1=1，x2=-3，∴圖象與x軸交點坐標為：（1，0），（-3，0），故函數圖形如圖所示，觀察圖象，方程x2+2x-3=0的解為：x1=1，x2=-3.

【解析】【分析】觀察此函數圖象，可得出拋物線與x軸的兩交點坐標。根據拋物線與x軸的兩交點的橫坐標就是一元二次方程的兩個根。即可求解。

18．【答案】解：∵關于x的一元二次方程ax2－3x－1=0有兩個不相等的實數根

∴△=，解得，a＞

令y=ax2－3x－1，則該二次函數的圖象與y軸交于(0，－1)

∵方程ax2－3x－1=0的兩個實數根都在－1和0之間

∴二次函數y=ax2－3x－1與x軸兩交點的橫坐標都在－1和0之間

∴a＜0，其大致圖象如圖所示：

當x=－1時，y=ax2－3x－1=a＋2＜