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第八節(jié)

Laplace定理行列式乘法法則第1頁第1頁一k級(jí)子式與余子式、代數(shù)余子式定義在一個(gè)n級(jí)行列式D中任意選定k行k列按照本來順序構(gòu)成一個(gè)k級(jí)行列式M，稱為行列()，位于這些行和列交叉點(diǎn)上個(gè)元素式D一個(gè)k級(jí)子式；在D中劃去這k行k列后式，稱為k級(jí)子式M余子式；余下元素按照本來順序構(gòu)成級(jí)行列第2頁第2頁若k級(jí)子式M在D中所在行、列指標(biāo)分別是，則在M余子式前后稱之為M代數(shù)加上符號(hào)余子式，記為.注：①

k級(jí)子式不是唯一.（任一n級(jí)行列式有個(gè)k級(jí)子式）．時(shí)，D本身為一個(gè)n級(jí)子式．②

時(shí)，D中每個(gè)元素都是一個(gè)1級(jí)子式；第3頁第3頁二拉普拉斯(Laplace)定理引理行列式D任一子式M與它代數(shù)余子式A乘積中每一項(xiàng)都是行列式D展開式中一項(xiàng)，并且符號(hào)也一致．第4頁第4頁Laplace定理由這k行元素所構(gòu)成一切k級(jí)子式與它們?cè)O(shè)在行列式D中任意取

k()行，代數(shù)余子式乘積和等于D．即若D中取定k行后，由這k行得到k級(jí)子式則.，它們相應(yīng)代數(shù)余子式分別為為第5頁第5頁②①時(shí)，即為行列式D按某行展開；注：為行列式D取定前k行利用Laplace定理結(jié)果．第6頁第6頁比如：計(jì)算行列式解：

它們代數(shù)余子式為第7頁第7頁,,,,,.∴

第8頁第8頁三行列式乘法法則設(shè)有兩個(gè)n級(jí)行列式其中則第9頁第9頁證：作一個(gè)2n級(jí)行列式 由拉普拉斯定理第10頁第10頁又對(duì)D作初等行變換：可得這里第11頁第11頁從而第12頁第12頁比如：證實(shí)齊次性方程組只有零解．其中不全為0．第13頁第13頁證：系數(shù)行列式第14頁第14頁由

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