2018蘭州一診(數(shù)學(xué)理)(word版)含答案

2018蘭州一診(數(shù)學(xué)理)(word版)含答案2018年高三診斷考試數(shù)學(xué)（理）注意事項(xiàng)：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。試題前標(biāo)注有（理）的試題理科考生作答，試題前標(biāo)注有（文）的試題文科考生作答，沒有標(biāo)注的試題文理科考生均作答。2.本卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。3.答題全部在答題紙上完成，試卷上答題無效。第I卷（共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.（理）設(shè)全集U={1,2,3,4，…，M}∩N={1,5}，已知U的子集M、N滿足集M={1,4}，N=N∩(U-M)={3,5}，則A.{1,3}B.{3,5}C.{1,3,5}D.{1,2,3,5}2.（理）設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(1+ai)/(2-i)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a為A.-11B.-2C.2D.223.曲線y=x^3+11在點(diǎn)P(1,12)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積是A.75B.7527C.27D.224.若點(diǎn)P(2,0)到雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的一條漸近線的距離為2，則該雙曲線的離心率為A.2B.3C.22D.235.（理）已知命題：p1：函數(shù)f(x)=x+1/(x-1)(x>1)的最小值為3；p2：不等式1/x>1的解集是{x|x<1}；p3：存在α,β∈R，使得sin(α+β)=sinα+sinβ成立；p4：對(duì)于任意α,β∈R，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)成立。其中的真命題是A.p1B.p1，p3C.p2，p4D.p1，p3，p46.（理）數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2/3，且an+1=3an/(2an+1)，則an=A.2n+1/(n+2)B.22n/(n+1)C.3n+2/(n+3)D.3n/(n+2)7.執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入的n=6,m=4，那么輸出的p是A.120B.240C.360D.7208.有一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A.16B.20C.24D.32已知棱錐的體積為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，求棱錐的高和$PC$的長度。解：設(shè)$PC=h$，則$PA=h\sqrt{3}$。由底面為菱形可知$AC=BD=2$，$AB=BC=CD=\sqrt{3}$。連接$PB$和$PC$，則$\angleBPC=120^\circ$，$\angleCPB=\angleAPB=60^\circ$。根據(jù)余弦定理有：\begin{align*}&PB^2=PA^2+AB^2-2\cdotPA\cdotAB\cdot\cos\angleAPB\\\Rightarrow\&PB^2=h^2\cdot3+3-2\cdoth\sqrt{3}\cdot1\cdot\frac{1}{2}\\\Rightarrow\&PB^2=3h^2-2h\sqrt{3}+3\end{align*}又因?yàn)?\trianglePBC$和$\trianglePDA$相似，所以$\frac{PB}{PA}=\frac{BC}{DA}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$PB=\frac{\sqrt{3}}{2}h\sqrt{3}$。代入上式得：\begin{align*}&\left(\frac{\sqrt{3}}{2}h\sqrt{3}\right)^2=3h^2-2h\sqrt{3}+3\\\Rightarrow\&\frac{9}{4}h^2=3h^2-2h\sqrt{3}+3\\\Rightarrow\&h=\frac{6\sqrt{3}}{7}\end{align*}又因?yàn)?\trianglePBC$和$\trianglePDA$的底邊$BC$和$DA$相等，所以$\trianglePBC$和$\trianglePDA$全等，從而$PC=PD=\frac{6\sqrt{3}}{7}$。19.（Ⅰ）售報(bào)亭的進(jìn)價(jià)為0.4元/份，售價(jià)為1元/份，剩余報(bào)紙的售價(jià)為0.1元/份。設(shè)當(dāng)天需求量為x份，則售出量為min(x,270)份，剩余量為max(0,x-270)份。故當(dāng)天利潤為y(x)=0.6*min(x,270)-0.3*max(0,x-270)元。（Ⅱ）根據(jù)頻率作為概率，可列出需求量x的概率分布表：x240250260270280290300P(x)0.10.20.160.160.150.130.1（1）當(dāng)購進(jìn)270份報(bào)紙時(shí)，當(dāng)天利潤的數(shù)學(xué)期望為：E(y)=Σy(x)*P(x)=0.6*240*0.1+0.6*250*0.2+0.6*260*0.16+0.6*270*0.16+0.3*10*0.1=60.6元（2）購進(jìn)270份報(bào)紙時(shí)，當(dāng)天利潤的數(shù)學(xué)期望最高，因?yàn)榇藭r(shí)需求量270的概率最大，而購進(jìn)280份報(bào)紙時(shí)，會(huì)有更大概率出現(xiàn)剩余報(bào)紙，降低利潤。20.（Ⅰ）根據(jù)題意可得：PN+NM=PM-PN，即PN=(PM-NM)/2。又因?yàn)镻M*PF=PN*NM，所以有：(PM-NM)/2*PF*PM=(PM-NM)*NM化簡可得：NM^2-2PM*NM+PF*PM^2=0由于NM=PM-2PN=PM-PM+NM=NM，所以可得：NM^2-2PM*NM+PF*PM^2=0化簡可得：NM=(2PM±2√(PM^2-PF*PM^2))/2=PM±PM√(1-PF)故N的軌跡方程為：y=±x√(1-1/x)（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為t，即C(t,0)。由題意可知，直線l的斜率為k，則直線l的解析式為y=k(x-1)。將其代入N的軌跡方程中可得：k(x-1)=±x√(1-1/x)化簡可得：x^2(1-k^2)+2x-k^2=0由于x>0，所以可得：x=(k^2-2±2√(k^4-3k^2+4))/(2-2k^2)當(dāng)k^4-3k^2+4<0時(shí)，方程無實(shí)根，此時(shí)不存在點(diǎn)C使得|CA|^2+|CB|^2=|AB|^2成立。否則方程有兩個(gè)實(shí)根，此時(shí)存在兩個(gè)點(diǎn)A、B滿足條件，因此在x軸上必然存在點(diǎn)C滿足條件。21.（Ⅰ）由題意可得f(x)的定義域?yàn)閤>0，且有：f(x)=1/(2x+2ex)g(x)=3e^(2lnx)+b=3x^2+b由題意可知，f(x)和g(x)的圖像有公共點(diǎn)，并在該公共點(diǎn)處的切線相同，設(shè)該點(diǎn)為(x0,y0)。則有：f(x0)=g(x0)=y0f'(x0)=g'(x0)即有：-1/(2x0+2ex0)^2=6/x0^2化簡可得：e^x0=3/2代入f(x)和g(x)中可得：f(x)=1/(2x+3)g(x)=9x^2/2+b由f(x)和g(x)的公共點(diǎn)可知：1/(2x+3)=9x^2/2+b代入x=x0可得：b=1/(2x0+3)-9x0^2/2代入e^x0=3/2和x0=ln3可得：b=1/9-27/4ln3故實(shí)數(shù)b的值為b=1/9-27/4ln3。24.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，g(x)=x^2+ax+b。（Ⅰ）由題意可知，f(x)和g(x)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為α、β，則有：α^3-3α=α^2+aα+bβ^3-3β=β^2+aβ+b將兩式相減可得：(α-β)(α^2+αβ+β^2-1)=(α-β)(a+2)由于α≠β，所以可得：a=α^2+αβ+β^2-1將a的表達(dá)式代入f(x)和g(x)中可得：f(x)=x^3-3xg(x)=x^2+(α^2+αβ+β^2-1)x+b由題意可知，f(x)和g(x)的圖像在交點(diǎn)處的切線相同，即有：f'(α)=g'(α)即有：3α^2-3=2α+(α^2+αβ+β^2-1)化簡可得：α^2+(2-β)α+β^2-2=0由于α是實(shí)數(shù)，所以判別式非負(fù)，即有：(2-β)^2-4(β^2-2)≥0化簡可得：β^2-4β+4≤0即有：(β-2)^2≤0由于β是實(shí)數(shù)，所以可得：β=2代入a的表達(dá)式中可得：a=α^2+αβ+β^2-1=α^2+2α+3（Ⅱ）由題意可知，f(x)和g(x)的圖像在交點(diǎn)處的切線相同，即有：f'(α)=g'(α)即有：3α^2-3=2α+(α^2+2α+3)化簡可得：α^2-α-2=0解得α=2或α=-1。當(dāng)α=2時(shí)，代入f(x)和g(x)中可得：f(x)=x^3-3xg(x)=x^2+6x+b由題意可知，f(x)和g(x)的圖像在交點(diǎn)處的切線相同，即有：f'(-1)=g'(-1)即有：3=-2(-1)+2α+b化簡可得：b=1故當(dāng)α=2時(shí)，函數(shù)g(x)的解析式為g(x)=x^2+6x+1。當(dāng)α=-1時(shí)，代入f(x)和g(x)中可得：f(x)=x^3-3xg(x)=x^2-x+b由題意可知，f(x)和g(x)的圖像在交點(diǎn)處的切線相同，即有：f'(2)=g'(2)即有：15=4-2+b化簡可得：b=13故當(dāng)α=-1時(shí)，函數(shù)g(x)的解析式為g(x)=x^2-x+13。在直角坐標(biāo)系$xoy$中，直線$l$的方程為$x-y+4=0$，曲線$C$的參數(shù)方程為$\begin{cases}x=3\cos\alpha\\\y=\sin\alpha\end{cases}$。（I）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系$xoy$取相同的長度單位，且以原點(diǎn)$O$為極點(diǎn)，以$x$軸正半軸為極軸）中，點(diǎn)$P$的極坐標(biāo)為$(4,\frac{\pi}{2})$，判斷點(diǎn)$P$與直線$l$的位置關(guān)系；（II）設(shè)點(diǎn)$Q$是曲線$C$上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線$l$的距離的最小值。（I）將點(diǎn)$P$的極坐標(biāo)$(4,\frac{\pi}{2})$轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為$(0,4)$。將直線$l$的方程改寫為$y=x+4$，則直線$l$上的點(diǎn)可以表示為$(t,t+4)$，其中$t$為任意實(shí)數(shù)。設(shè)點(diǎn)$P$到直線$l$的距離為$d$，則有$\frac{|0-(4+t)|}{\sqrt{2}}=d$，即$d=\frac{|t+4\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$。當(dāng)$t<-\frac{4\sqrt{2}}{2}$時(shí)，$t+4\sqrt{2}<0$，$|t+4\sqrt{2}|=-t-4\sqrt{2}$，$d=\frac{-t-4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$；當(dāng)$t>-\frac{4\sqrt{2}}{2}$時(shí)，$t+4\sqrt{2}>0$，$|t+4\sqrt{2}|=t+4\sqrt{2}$，$d=\frac{t+4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$。因此，點(diǎn)$P$到直線$l$的距離為$d=\begin{cases}\frac{-t-4\sqrt{2}}{\sqrt{2}},&t<-\frac{4\sqrt{2}}{2}\\\frac{t+4\sqrt{2}}{\sqrt{2}},&t>-\frac{4\sqrt{2}}{2}\end{cases}$。因?yàn)?t$可以取任意實(shí)數(shù)，所以點(diǎn)$P$到直線$l$的距離沒有最小值，點(diǎn)$P$與直線$l$的位置關(guān)系為相交。（II）設(shè)點(diǎn)$Q$在曲線$C$上的參數(shù)為$\beta$，則點(diǎn)$Q$的坐標(biāo)為$(3\cos\beta,\sin\beta)$。點(diǎn)$Q$到直線$l$的距離為$\frac{|3\cos\beta-\sin\beta+4|}{\sqrt{2}}$。因?yàn)?\cos\beta$和$\sin\beta$的值域都是$[-1,1]$，所以$3\cos\beta-\sin\beta+4$的值域是$[0,10]$。因此，點(diǎn)$Q$到直線$l$的距離的最小值為$\frac{4}{\sqrt{2}}=\sqrt{8}$，當(dāng)$3\cos\beta-\sin\beta+4=0$時(shí)取到。因此，點(diǎn)$Q$到直線$l$的距離的最小值為$\sqrt{8}$，當(dāng)點(diǎn)$Q$在曲線$C$上的參數(shù)為$\beta=\arctan(\frac{3}{1})=\frac{\pi}{4}+\pik$時(shí)取到，其中$k$為任意整數(shù)。所以BN=7/14=1/2，MN=√(7^2-1^2)/14=√(48/196)=4/7，cos∠BNM=4/7。因此二面角APD-B的余弦值為7/12。（19）解：（Ⅰ）當(dāng)x≥270時(shí)，y=270×(1-0.4)=162；當(dāng)x<270時(shí)，y=(1-0.4)x+(270-x)×0.1-(270-x)×0.4=0.9x-81，∴y={0.9x-81,(x<270){162,(x≥270)（Ⅱ）（1）取ξ為135、144、153、162，則P(ξ=135)=0.1，P(ξ=144)=0.2，P(ξ=153)=0.16，P(ξ=162)=0.54。∴Eξ=135×0.1+144×0.2+153×0.16+162×0.54=154.26。（2）購進(jìn)報(bào)紙280張，當(dāng)天的利潤為y=(0.6×240-40×0.3)×0.1+(0.6×250-30×0.3)×0.2+(0.6×260-20×0.3)×0.16+(0.6×270-10×0.3)×0.16+280×0.6×0.38=154.68>154.26，因此每天購進(jìn)280張報(bào)紙好。（20）解：（Ⅰ）設(shè)N(x,y)，則由PN+NM=，得P為MN的中點(diǎn)?！郟(0,),M(-x,0).∴PM=(-x,-),PF=(1,-).∴PM·PF=-x+y^2/4，即y^2=4x?！鄤?dòng)點(diǎn)N的軌跡E的方程y^2=4x。（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)，由消去x得y-y-4=.設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1+y2=假設(shè)存在點(diǎn)C(m,0)滿足條件，則CA=(x1-m,y1)，CB=(x2-m,y2)，∴CA·CB=x1x2-m(x1+x2)+my1y2=(y1+y2)^2/4-m(x1+x2)+m^2-4∴y1y2=-4/k。假設(shè)存在點(diǎn)C(m,0)滿足條件，則CA=(x1-m,y1)，CB=(x2-m,y2)，∴CA·CB=x1x2-m(x1+x2)+my1y2=(y1+y2)^2/4-m(x1+x2)+m^2-4∴y1y2=-4/k。2)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)，則有P(0,4)，則直線L的斜率為k=-1/4，截距為b=4.所以L的方程為y=-1/4x+4.………………3分（II）由于點(diǎn)P在直線L上，所以它的坐標(biāo)(x,y)滿足L的方程，即y=-1/4x+4.又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x^2+y^2=16上，所以它的坐標(biāo)(x,y)滿足該圓的方程，即x^2+y^2=16.聯(lián)立以上兩個(gè)方程，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8/17,64/17)或(-8/17,-64/17).所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8/17,64/17)或(-8/17,-64/17).………………8分（III）設(shè)點(diǎn)Q(x,y)在圓x^2+y^2=16上，且在直線L上，則它的坐標(biāo)(x,y)滿足L的方程和圓的方程，即y=-1/4x+4x^2+y^2=16聯(lián)立以上兩個(gè)方程，解得x=8/17或x=-8/17，代入L的方程得到對(duì)應(yīng)的y坐標(biāo)為y=64/17或y=-64/17.所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(8/17,64/17)或(-8/17,-64/17).………………9