遼寧省部分重點中學協(xié)作體2023-2024學年高三上學期開學考試模擬測試卷D（集合、命題、不等式、函數(shù)與導數(shù)、三角函數(shù)）含答案

絕密★啟用并使用完畢前測試時間：年月日時分——時分遼寧省部分重點中學協(xié)作體2023-2024學年第一學期高三開學測試卷D本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘一、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則滿足條件的集合的個數(shù)為（）。A、B、C、D、2．函數(shù)的導數(shù)是（）。A、B、C、D、3．已知命題：，命題：，若命題是命題的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為（）。A、B、C、D、4．設函數(shù)的圖像在點處切線的斜率為，則函數(shù)的部分圖像為（）。A、B、C、D、5．已知函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關于直線對稱，則的圖像的一個對稱中心可以為（）。A、B、C、D、6．若方程在區(qū)間內有個不等實根，則實數(shù)的取值范圍為（）。A、B、C、D、7．已知、、，則下列排序正確的是（）。A、B、C、D、8．已知函數(shù)的圖像與的圖像相交于、兩點，且，若，則（）。A、B、C、D、二、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得分，有選錯的得分，部分選對的得分。9．設函數(shù)，則下列命題正確的是（）。A、是偶函數(shù)B、值域為C、存在，使得D、與具有相同的單調區(qū)間10．設正實數(shù)、滿足，則（）。A、有最小值B、有最大值C、有最大值D、有最小值11．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域為，記，若、均為偶函數(shù)，則下列式子一定成立的是（）。A、B、C、D、12．設函數(shù)，則下列結論正確的是（）。A、B、的最大值為C、在單調遞增D、在單調遞減三、填空題：本題共小題，每小題分，共分。13．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為。14．已知正實數(shù)、滿足：，則的最小值為。15．已知函數(shù)在上有且僅有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍為。16．自“一帶一路”倡議提出以來，中俄兩國合作共贏的腳步越來越快。中俄輸氣管道工程建設中，某段管道鋪設要經(jīng)過一處峽谷，峽谷內恰好有一處直角拐角，如圖所示，管道沿、、、拐過直角（線段過點，點、、在同一水平面內），峽谷的寬分別為、，如圖所示，設與較寬側峽谷崖壁所成的角為，則得長（用表示），要使輸氣管道順利通過拐角，長度不能低于。（本小題第一個空2分，第二個空3分）四、解答題：本題共小題，共分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分分）已知函數(shù)（），其中為自然對數(shù)的底數(shù)，。（1）判斷函數(shù)的單調性，并說明理由；（2）若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。18．（本小題滿分分）已知、，且、。（1）求的值；（2）令，設，是否存在實數(shù)，使得的最小值為？若存在，求出的值，否則，請說明理由。19．（本小題滿分分）已知函數(shù)是偶函數(shù)。（1）當，函數(shù)存在零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）設函數(shù)，若函數(shù)與的圖像只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍。20．（本小題滿分分）已知函數(shù)。（1）若，，求函數(shù)的圖像的對稱軸；（2）已知，函數(shù)的圖像向右平移個單位，再向上平移個單位，得到函數(shù)的圖像，是的一個零點，當時，方程恰有三個不相等的實數(shù)根、、（），求實數(shù)的取值范圍以及的值。21．（本小題滿分分）設函數(shù)，其中，曲線在點（）處的切線經(jīng)過點。（1）求函數(shù)的極值；（2）證明：。22．（本小題滿分分）設，函數(shù)。（1）求證：存在唯一零點；（2）在（1）的結論下，若，求證：。絕密★啟用并使用完畢前測試時間：年月日時分——時分遼寧省部分重點中學協(xié)作體2023-2024學年第一學期高三開學測試卷D本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘一、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則滿足條件的集合的個數(shù)為（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】由題意可知，集合為集合的子集，集合的子集有個，故選D。2．函數(shù)的導數(shù)是（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】由題意得，函數(shù)的導數(shù)為，故選A。3．已知命題：，命題：，若命題是命題的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】集合、集合，若是的必要不充分條件，則，則，故選B。4．設函數(shù)的圖像在點處切線的斜率為，則函數(shù)的部分圖像為（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，∴，∴為奇函數(shù)，排除AC，且當時，，故選B。5．已知函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關于直線對稱，則的圖像的一個對稱中心可以為（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵函數(shù)的圖像與的圖像關于直線對稱，設為函數(shù)圖像上的任意一點，則關于直線的對稱點在圖像上，∴滿足，可得，∴由，，解得，，∴當時，則的圖像的對稱中心為，故選C。6．若方程在區(qū)間內有個不等實根，則實數(shù)的取值范圍為（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】由得，∵當時，在區(qū)間內單調遞減，在區(qū)間內單調遞增，而當時，在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間內單調遞減，若方程有個不等實根，只需即可，即，即，故選A。7．已知、、，則下列排序正確的是（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，，令（），則，∴在上單調遞減，∴，即，∴，∵，∴，即，故選C。8．已知函數(shù)的圖像與的圖像相交于、兩點，且，若，則（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵函數(shù)的圖像與的圖像相交于、兩點，且，∴方程有兩個實數(shù)根、，且，∴有兩個實數(shù)根、，且，∴或，若，則，∴，∴，滿足題意，若，則，∴，∴，與矛盾，舍去，綜上所述，，故選B。二、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得分，有選錯的得分，部分選對的得分。9．設函數(shù)，則下列命題正確的是（）。A、是偶函數(shù)B、值域為C、存在，使得D、與具有相同的單調區(qū)間【答案】BC【解析】∵，∴，不是偶函數(shù)，A選項錯，時，，時，，∴值域為，B選項對，∵，，C選項對，∵具有單調性的區(qū)間與具有單調性的區(qū)間不同，是數(shù)軸上關于原點對稱的，D選項錯，由表達式也可以看出。故選BC。10．設正實數(shù)、滿足，則（）。A、有最小值B、有最大值C、有最大值D、有最小值【答案】AD【解析】由、、可得，當且僅當，即、時取等號，A選項，，當且僅當，即、時取等號，對，B選項，，當且僅當，即、時取等號，錯，C選項，設、，∵，∴，即，當且僅當，即、時取等號，錯，D選項，，當且僅當，即、時取等號，對，故選AD。11．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域為，記，若、均為偶函數(shù)，則下列式子一定成立的是（）。A、B、C、D、【答案】BC【解析】∵為偶函數(shù)，∴，即，∴的圖像關于直線軸對稱，∴，C選項對，∵為偶函數(shù)，∴，∴的圖像關于直線軸對稱，由可知，∴∴，∴，∴的圖像關于點中心對稱，函數(shù)及其導函數(shù)的定義域為，∴在上連續(xù)，∴，又得，∴，∴，∴的周期，∴，B選項對，，與不一定相等，D選項對，不一定相等，A選項對，故選BC。賦值法：由題意可知周期為，其圖像關于點中心對稱，關于直線軸對稱，直接設，則，則AD選項錯，BC選項對。12．設函數(shù)，則下列結論正確的是（）。A、B、的最大值為C、在單調遞增D、在單調遞減【答案】AD【解析】A選項，的定義域為，，對，B選項，，設，其值域相當于點與點連線的斜率的范圍，而點在單位圓上，設直線與圓：相切時的直線為、，設：，圓心到直線：的距離，解得，同理可知，∴的值域為，∴的值域為，∴的最大值為，錯，C選項，，當時，，∴，∵為增函數(shù)且，而在為增函數(shù)，∴在上為增函數(shù)，∴在有唯一解，∴當時，，即，∴在內單調遞增，當時，，即，∴在內單調遞減，∴在內不單調，錯，D選項，當時，，∴在內單調遞減，對，故選AD。三、填空題：本題共小題，每小題分，共分。13．已知函數(shù)是奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意函數(shù)為奇函數(shù)可知∴，∴，則函數(shù)可化為，則，，則由導數(shù)得幾何意義可知曲線在點處的切線斜率為，∴曲線在點處的切線方程為。14．已知正實數(shù)、滿足：，則的最小值為?！敬鸢浮俊窘馕觥繕嬙旌瘮?shù)，定義域為，恒成立，∴在內單調遞增，∵，∴恒成立，∴。變式：已知正實數(shù)、滿足：，則的最小值為?！敬鸢浮俊窘馕觥繕嬙旌瘮?shù)，定義域為，恒成立，∴在內單調遞增，∵，∴恒成立，∴，當且僅當且時，即且時取等號，∴的最小值為。15．已知函數(shù)在上有且僅有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍為?！敬鸢浮俊窘馕觥康亩x域為，，∵函數(shù)在上有且僅有一個極值點，∴在上有且僅有一個變號零點，即函數(shù)與水平直線有且僅有一個非切線交點，做的圖像如圖所示，則，故選B。講解：時不是變號零點，而另一個交點是變號零點；時不是變號零點。16．自“一帶一路”倡議提出以來，中俄兩國合作共贏的腳步越來越快。中俄輸氣管道工程建設中，某段管道鋪設要經(jīng)過一處峽谷，峽谷內恰好有一處直角拐角，如圖所示，管道沿、、、拐過直角（線段過點，點、、在同一水平面內），峽谷的寬分別為、，如圖所示，設與較寬側峽谷崖壁所成的角為，則得長（用表示），要使輸氣管道順利通過拐角，長度不能低于。（本小題第一個空2分，第二個空3分）【答案】【解析】如圖所示，在中，，在中，，∴，，令，，則，令，，則，聯(lián)立（）可得：、，∴當時，，∴在內單調遞減，當時，，∴在內單調遞增，∴在處取得極小值也是最小值為：，即的長度不能低于。四、解答題：本題共小題，共分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分分）已知函數(shù)（），其中為自然對數(shù)的底數(shù)，。（1）判斷函數(shù)的單調性，并說明理由；（2）若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍?！窘馕觥浚?）由題可知，的定義域為，，1分①當時，，函數(shù)為上的減函數(shù)，2分②當時，令，得，當，則，此時函數(shù)為單調遞減函數(shù)，當，則，此時函數(shù)為單調遞增函數(shù)；4分（2）由題意，問題等價于，不等式恒成立，即，恒成立，令，則問題等價于不小于函數(shù)在上的最大值，6分，8分當時，，∴函數(shù)在上單調遞減，∴函數(shù)在的最大值為，9分∴若，不等式恒成立，實數(shù)的取值范圍為。10分18．（本小題滿分分）已知、，且、。（1）求的值；（2）令，設，是否存在實數(shù)，使得的最小值為？若存在，求出的值，否則，請說明理由?！窘馕觥浚?）∵、，且，，∴、，則，3分∵，∴；4分（2）由（1）得，則，設，∴，5分∵，∴，∵，∴，∴，8分令，，當時，，（舍），9分當時，函數(shù)圖像的對稱軸方程為，∴（舍），10分當時，此時函數(shù)圖像的開口向下，∴，又，∴，解得，符合題意，11分∴存在，使得的最小值。12分19．（本小題滿分分）已知函數(shù)是偶函數(shù)。（1）當，函數(shù)存在零點，求實數(shù)的取值范圍；（2）設函數(shù)，若函數(shù)與的圖像只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍?！窘馕觥浚?）∵是偶函數(shù)，∴，即對任意恒成立，∴，∴，即，2分∵當，函數(shù)有零點，即方程有實數(shù)根，令，則函數(shù)與直線有交點，3分∵，又，∴，∴實數(shù)的取值范圍是；5分（2）∵，又函數(shù)與的圖像只有一個公共點，則關于的方程只有一個解，∴，令（），得，7分①當，即時，此方程的解為，不滿足題意，8分②當，即時，此時，又，，∴此方程有一正一負根，滿足題意，10分③當，即時，由方程只有一正根，則需，解得，11分綜合①②③得，實數(shù)的取值范圍為：。12分20．（本小題滿分分）已知函數(shù)。（1）若，，求函數(shù)的圖像的對稱軸；（2）已知，函數(shù)的圖像向右平移個單位，再向上平移個單位，得到函數(shù)的圖像，是的一個零點，當時，方程恰有三個不相等的實數(shù)根、、（），求實數(shù)的取值范圍以及的值?！窘馕觥浚?）函數(shù)的最小正周期，∵，，∴函數(shù)的最小正周期，∴，解得，2分當時，，令（），解得（），∴函數(shù)的圖像的對稱軸為（），3分當時，，令（），解得（），∴函數(shù)的圖像的對稱軸為（）；4分（2）由題意可知，5分∵是的一個零點，∴，∴，∴（）或（），∴（）或（），又，∴，∴，7分當時，，設，則，則原式可化為，即的圖像在區(qū)間內與水平直線的圖像有個不同的交點，作出在上的圖像如下圖所示，∴當時，即與恰有個不同的交點，∴實數(shù)的取值范圍為，10分設與的個不同的交點分別為、、（），則、，∴，即，整理得。12分21．（本小題滿分分）設函數(shù)，其中，曲線在點（）處的切線經(jīng)過點。（1）求函數(shù)的極值；（2）證明：。【解析】（1）的定義域為，，1分則，，∴在（）處的切線方程，2分∵該切線經(jīng)過點，代入得，解得，3分∴，，當時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，5分∴當時，函數(shù)取得極小值，無極大值；6分（2）等價于：，由（1）可得（當且僅當時等號成立）①，∴，∴只要證明即可，（需驗證等號不同時成立），9分設，，則，當時，，∴單調遞減，當時，，∴單調遞增，∴，當且僅當時等號成立②，∵①②等號不同時成立，∴當時，。12分22．（本小題滿分分）設，函數(shù)。（1）求證：存在唯一零點；（2）在（1）的結論下，若，求證：。【解析】（1）的定義域為，，1分∴，令，解得，∴當時，，在內單調遞減，當時，，在內單調遞增，∴，∴在上單調遞增，4分∵，∴當時，存在唯一零點，當時，，取，則，∴由零點存在性定理可知：存在唯一一個，使得，綜上所述，存在唯一零點；6分（2）由（1）中可得唯一一個，使得，，∴，∵，∴，∴，令，∴，，∴，7分需要證明：，設，∴，∴在上單調遞減，又，∴當時，，∴，8分設，，∴，，∴在上單調遞增，∴，∴在上單調遞減，9分設，，∴，，∴在上單調遞增，∴，∴在上單調遞減，∴，∴，當時取等號，11分綜上所述，與在上都單調遞減，且，，，∴，即得證。12分遼寧省部分重點中學協(xié)作體2023-2024學年第一學期高三開學測試卷D一、單選題：12345678DABBCACB二、多選題：9101112BCADBCAD三、填空題：13141516四、解答題：17．解：（1）由題可知，的定義域為，，1分①當時，，函數(shù)為上的減函數(shù)，2分②當時，令，得，當，則，此時函數(shù)為單調遞減函數(shù)，當，則，此時函數(shù)為單調遞增函數(shù)；4分（2）由題意，問題等價于，不等式恒成立，即，恒成立，令，則問題等價于不小于函數(shù)在上的最大值，6分，8分當時，，∴函數(shù)在上單調遞減，∴函數(shù)在的最大值為，9分∴若，不等式恒成立，實數(shù)的取值范圍為。10分18．解：（1）∵、，且，，∴、，則，3分∵，∴；4分（2）由（1）得，則，設，∴，5分∵，∴，∵，∴，∴，8分令，，當時，，（舍），9分當時，函數(shù)圖像的對稱軸方程為，∴（舍），10分當時，此時函數(shù)圖像的開口向下，∴，又，∴，解得，符合題意，11分∴存在，使得的最小值。12分19．解：（1）∵是偶函數(shù)，∴，即對任意恒成立，∴，∴，即，2分∵當，函數(shù)有零點，即方程有實數(shù)根，令，則函數(shù)與直線有交點，3分∵，又，∴，∴實數(shù)的取值范圍是；5分（2）∵，又函數(shù)與的圖像只有一個公共點，則關于的方程只有一個解，∴，令（），得，7分①當，即時，此方程的解為，不滿足題意，8分②當，即時，此時，又，，∴此方程有一正一負根，滿足題意，10分③當，即時，由方程只有一正根，則需，解得，11分綜合①②③得，實數(shù)的取值范圍為：。12分20．解：（1）函數(shù)的最小正周期，∵，，∴函數(shù)的最小正周期，∴，解得，2分當時，，令（），解得（），∴函數(shù)的圖像的對稱軸為（），3分當時，，令（），解得（），∴函數(shù)的圖像的對稱軸為（）；4分（2）由題意可知，5分∵是的一個零點，∴，∴，∴（）或（），∴（）或（），又，∴，∴，7分當時，，設，則，則原式可化為，即的圖像在區(qū)間內與水平直線的圖像有個不同的交點，作出在上的圖像如下圖所示，∴當時，即時，與恰有個不同的交點，∴實數(shù)的取值范圍為，