原有表達與統(tǒng)計意義-以《認識百分數(shù)》教學為例

原有表達與統(tǒng)計意義——以《認識百分數(shù)》教學為例首先是微觀層面，能夠深度的挖掘數(shù)學學科的本質(zhì)，我們都知道教什么優(yōu)先于怎么教，學什么優(yōu)先于怎么學，如果我們對于學科的本質(zhì)把握不夠通透的話，那有的時候我們付出的大量的努力都是在淺表層面，很難給到學生更加深刻的數(shù)學理解，進而去發(fā)展他們的數(shù)學思維與核心素養(yǎng)。中觀層面的，我們希望構(gòu)建學歷生長的課堂，我們都知道教是為了不教，而如何實現(xiàn)不久，只有讓學生自己生產(chǎn)出更強大的學習能力把這樣的話，我們的孩子才有自我學習的意愿，動力和素養(yǎng)。最后，宏觀層面，希望能夠幫助大家通過梳理把握全景的數(shù)學結(jié)構(gòu)，我們都知道數(shù)學是一門結(jié)構(gòu)性很強的學科，現(xiàn)在我們也非常強調(diào)大概念，大觀念這樣的一些課堂的教學主張。也希望通過一期又一期的齊華備課室，讓老師們能夠透過這一粒沙看到整個沙漠，透過這一滴水看到整片的海洋。這一講，我們給大家?guī)淼恼n例又是一個非常經(jīng)典的課例《認識百分數(shù)》，我們試圖通過這個課例和大家傳遞出的教學的基本的思考是:原有的表達與統(tǒng)計的意義，一個老師可能會覺得有點蒙圈，什么叫原有的表達與統(tǒng)計的意義呢？這里請允許我和大家稍微走一點劇透，我估計有些老師應(yīng)該已經(jīng)有所心理的準備了，在即將頒布的2022版《數(shù)學課程標準》當中，百分數(shù)這個內(nèi)容已經(jīng)從原來的數(shù)與代數(shù)進入到統(tǒng)計與概率的這個維度里頭來，因此未來我們再談這個百分數(shù)的時候，我們不再把它當做一個分數(shù)啊，小數(shù)啊具有差不多同等地位的一個數(shù)的概念來理解，而是更多的把它當做一個統(tǒng)計量來理解，也正是基于這樣的一個基本的變化，因此未來我們再來討論百分數(shù)的時候，可能會更加關(guān)注他的統(tǒng)計學的意義。那么,進入今天的分享。首先是教材的速覽，我們會呈現(xiàn)三個主流的版本的教材，幫助大家捋一捋這幾個不同版本的教材當中有什么相通的地方，也有什么差異的地方。當然這里面特別要和大家說明的是，我們目前手頭還沒有最新版本的教材，所以這個時候我們比較的仍然是原有的三個版本的老教材，也許等新的教材出來以后，老師們可能對于統(tǒng)計的視角看百分數(shù)會有更加新的一些認識和理解，那么這一講我們也算是做一個預(yù)熱。然后是數(shù)學洞察，能夠希望幫助大家就百分數(shù)這么一個數(shù)學概念，這么一個數(shù)學的統(tǒng)計量有一個學科層面的深度的把握。最后是教學建議，我們經(jīng)常把它叫做學習的規(guī)劃。小學教學教師為了學服務(wù)，因此我們很多時候，所謂的教學路徑本質(zhì)上應(yīng)該把它轉(zhuǎn)換成學習路徑，讓學生能夠給予我們的學習路徑更好的去實現(xiàn)對概念的理解，對于百分數(shù)這樣的一個統(tǒng)計量，它背后所承載的統(tǒng)計學的意義的一個更深的把握和領(lǐng)悟。第一部分——教材速覽首先進入教材的速覽，我們來看一下這是蘇教版教材所呈現(xiàn)的這個樣貌，蘇教版教材它是從學?；@球參加了三場比賽，來看看這三場比賽的投籃情況，這里面呈現(xiàn)了一個復(fù)式統(tǒng)計表，第一場投籃的次數(shù)25投中16，第二場，第三場依次給出了數(shù)據(jù)，然后老師是這么說的，可以怎樣比較這三場比賽的投籃情況呢？你看這里面其實就有一些統(tǒng)計和數(shù)據(jù)分析的意味兒在這里頭了。首先不是把它當做直接當做數(shù)來呈現(xiàn)，而是呈現(xiàn)了一個統(tǒng)計表，而且還是一個復(fù)式統(tǒng)計表。你看，蘇教版教材在上一個版本的編寫當中，實際上已經(jīng)有意無意的同這個百分數(shù)放到了這樣的一個統(tǒng)計學的背景當中，進行一個設(shè)計和教學的建議。當然后面怎么去比較，毫無疑問我們就需要對這些數(shù)據(jù)來進行一個分析，來進行一個判斷。首先第一輪的分析，我們發(fā)現(xiàn)光比投中次數(shù)肯定是不夠的，還得要參考投籃的這個總次數(shù)，然后通過小蘿卜和小番茄的對話和討論，開始意識到要想去比較3場比賽的投籃的情況，我們僅看投中次數(shù)不行，僅看投籃次數(shù)也不行，得看看每一場當中投中的次數(shù)和投籃次數(shù)之間到底具有怎樣的一個關(guān)系，然后用分數(shù)表征出來，進而體會到用分數(shù)表達的這樣的一個關(guān)系不利于展開比較，因此我們是否可以通過通分將分母統(tǒng)一為100，進而引申出了百分數(shù)。你看這個蘇教版教材，它整體的編排的思路就是基于一個統(tǒng)計的背景，讓學生在對一些原始的具體的數(shù)據(jù)，進行一個基于決策的需要，進行一個數(shù)據(jù)的比較，進行一個數(shù)據(jù)的分析，然后最終做出決策和決斷，而在決策和決斷的時候，我們需要依賴一種新的概念，那就是百分數(shù)，也就是一個統(tǒng)計量。平均數(shù)早些年也是把它當做一種解決問題去思考的，后來我們發(fā)現(xiàn)平均數(shù)它是一個統(tǒng)計量，因此我們后來在新改版的課標的教材當中，我們再來處理這個平均數(shù)的時候，我們經(jīng)常會把它置身于一個統(tǒng)計學的背景，然后不斷地去分析。這個平均數(shù)意味著什么？這個平均數(shù)它的波動性，一些大數(shù)據(jù)對于平均數(shù)的一個極值的一個影響等等。包括A班的平均分比B班高，不代表A班的張三同學一定比B班的李四要來的高，因為這里邊平均數(shù)只代表整體的水平，但不代表其中的某一個個體的水平。你看后來課標版的教材，因為把平均數(shù)從原來的解決實際問題重新改到統(tǒng)計學的領(lǐng)域當中來，因此我們的整個教學就發(fā)生了翻天覆地的變化，所以我也非常的期待這一輪這個百分數(shù)，能夠從原來的數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域遷過來以后，看看給我們的教學又會帶來怎樣的一個調(diào)整，然后在此基礎(chǔ)之上揭示百分數(shù)的概念，百分數(shù)又叫做百分比和百分率，給出了百分數(shù)的讀法和寫法等等。我們來看一下人教版，人教版跟蘇教版是不太一樣的，如果說蘇教版更多的是有了那么一點兒統(tǒng)計學的意味兒，另外蘇教版走的更多的是看看5%它是怎么一步一步的產(chǎn)生的，從對原始數(shù)據(jù)的這樣的一個比較和分析，然后為了決策一路過來。你看統(tǒng)計學的這個百分數(shù)，他之所以產(chǎn)生，實際上是基于我們樣的一個需求，蘇教版教材的編排能夠非常清楚地看到這個平均數(shù)是怎么一步一步產(chǎn)生的，因此蘇教版教材特別關(guān)注的是數(shù)學自身的發(fā)展邏輯，數(shù)學知識是怎么一步一步的產(chǎn)生出來的。但是人教版教材走的是另一種思路，你看上來直接給出了三幅圖，對吧？電量只剩了14%，中間的這個標簽應(yīng)該是一個衣服上的吊牌，里邊會大量涉及到，比如棉的含量，纖維的含量，還有其他的晴綸的含量等等。第三個是一個汽車的銷量，它涉及到的是一個增長量等等，你看他的邏輯是什么？他的邏輯是現(xiàn)實世界當中學生其實是隨處都能看到百分數(shù)的，對吧？無論是自己所穿的衣服還是自己所喝的牛奶，甚至自己平時每天的一些學習等等，包括期末的考試，你看百分數(shù)其實在在孩子們的現(xiàn)實生活當中是廣泛存在著的。人教版教材他選擇的思路是直接呈現(xiàn)這樣的一些百分數(shù)，然后引導(dǎo)學生去理解，那這些百分數(shù)他要到底表示什么意思，然后發(fā)現(xiàn)14%表示的是剩余的電量占總電量的14%，原來百分數(shù)表示的是一個量和另一個量之間通過比較以后所形成的率或者比的關(guān)系。如果說蘇教版走的是數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展，最終慢慢自我建構(gòu)的這么一個過程，而人教版教材他走的是學習的邏輯，他相信學生在生活中是經(jīng)常見過百分數(shù)，而且對百分數(shù)是有一些初步感受的，因此他就沒有再引導(dǎo)學生去經(jīng)歷百分數(shù)是怎么一步步產(chǎn)生發(fā)展過來的，而是直接給到百分數(shù)，然后引導(dǎo)學生基于原有的一些現(xiàn)實的經(jīng)驗，你想一個孩子看到自己的手機上只剩14%的電量，它多少是能夠?qū)@個百分數(shù)產(chǎn)生一些感覺的，然后在此基礎(chǔ)之上引導(dǎo)學生通過思考辨析，最后發(fā)現(xiàn)百分數(shù)的意義，你看他走的是一個另外的一條路。那我們再來看看北師大版本教材的這個百分數(shù)，它的內(nèi)容編排更加接近于蘇教版的教材，也是基于統(tǒng)計。例題里面說的很清楚，右面是這三名隊員近期罰點球情況的統(tǒng)計，給出的也是一個復(fù)式統(tǒng)計表。所以說北師版和蘇教版它的整個思路是比較接近，里邊有意無意當中蘊含了統(tǒng)計學的意味。以上就是對這三個不同版本的教材的一個呈現(xiàn)。第二板塊——數(shù)學洞察接下來我們進入第二個重要的板塊就是數(shù)學的洞察。既然百分數(shù)已經(jīng)從原來的數(shù)與代數(shù)當中的一種數(shù)開始轉(zhuǎn)換到一個統(tǒng)計量，統(tǒng)計與概率當中的一個統(tǒng)計量，那么我們對于這個概念的內(nèi)核應(yīng)該會有一些新的體會，所以我想從這樣的幾個維度和大家做一個梳理。第一個溯源，看看我在之前的百分數(shù)的教學當中，我們更多的從哪些維度來理解百分數(shù)的，首先第一個產(chǎn)生，方便進行比較啊，在剛才的蘇教版和北師版教材的這個解讀當中啊，我已經(jīng)把這個意味和大家做了一個呈現(xiàn)。這張圖是在若干年前，山東的一位骨干老師代表山東參加全國的課堂教學大賽的時候，當時用的就是這么一個素材，老師有興趣可以暫停一下，看一看，我覺得味道還是很濃的，他走的路子基本上是跟他們的山東青島版的教材是非常一致的，那么也跟蘇教版和北師版的思路是比較相似的，只不過它里邊給出的數(shù)據(jù)更加的多元，更加的復(fù)雜。那么留給學生根本的理解也會更加的深刻，當然這是基于一個大賽，老師對教材中原有素材的一種再加工和深刻的解讀。大家看一下這幅圖應(yīng)該不難發(fā)現(xiàn)，姚曉明，王小志，易小聯(lián)，郭小倫，朱小雨和丁小航，六位同學投中的次數(shù)和投籃的次數(shù)，六個人到底選誰去代表這個班級來參加投籃比賽比較合適呢？那這時候就需要對投中的次數(shù)和投籃的次數(shù)來進行一個比較分析，當然前三組數(shù)據(jù)，細心的老師應(yīng)該已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了啊，9:20，二十分之九，11:25，二十五分之十一，23:50，五十分之二十三，這三個分數(shù)相對來說比較容易比較，它們的公分母是100。二十分之九，二十五分之十一和五十分之二十三通分還是比較容易的。然后你看一下到了郭小倫，朱曉宇和丁曉航的時候你看他們的分數(shù)分母從30到45到47，尤其到47的時候很多老師已經(jīng)意識到了因為47要試圖把它和100再去通分，起步公分母就到4700，那你還有45，還有30，還有其他的一些，因此最終通分以后的達到了42300，這實際上已經(jīng)讓學生體會到，如果這樣無休無止的通分顯然是不利于我們解決問題的，因此能不能把分母統(tǒng)一簡化為100，甚至在不得已的情況下，分子可以用小數(shù)來呈現(xiàn)，這樣顯然就更便于比較了。第二個，百分數(shù)的本質(zhì)它是一種關(guān)系，所以我們經(jīng)常會說百分數(shù)又叫百分比或者百分率，它的道理就在這。百分數(shù)和分數(shù)相比，分數(shù)它既可以表示一個量，又可以表示一個率。但是百分數(shù)只能表示一個率，因此老師們在教學的過程當中經(jīng)常會拿出百分數(shù)和分數(shù)進行比較，看看他們之間有什么聯(lián)系和區(qū)別，再一次引導(dǎo)學生體會到百分數(shù)作為一種倍比的關(guān)系，它的獨特的內(nèi)涵。這是一位老師的板書。你看，原來百分數(shù)，比，倍，份，分數(shù)，這些其實本質(zhì)上反映都是兩個量之間的一種關(guān)系。第三，抽象的概括。百分數(shù)的教學過程當中一般會比方說，奶粉中的蛋白質(zhì)占奶粉的百分之多少;衣服，會說棉占整件衣服的百分之多少，再比如說酒精，酒精占酒的總量的百分之多少？然后通過大量的素材，最終引導(dǎo)學生去觀察比較發(fā)現(xiàn)百分數(shù)各不相同，有沒有什么相似的地方。結(jié)果孩子們發(fā)現(xiàn):一都表示兩個量之間的關(guān)系，第二個都表示的是一個量占另一個量的百分之幾這樣一個關(guān)系，最終抽象概括出百分數(shù)的定義，第四，我們的教學到后面的時候通常也會有一個延伸，到了十分數(shù)，到了一個千分數(shù)，因為我們都知道通分可以便于比較。可以通分，那為什么非得要通成100呢？分母改成10行嗎？改成1000行嗎？其實都可以。改成10的時候，在一些相對來說比較粗獷一點的數(shù)據(jù)的情況下，是可以改成十。比如說打折，七折，八折，九折，本質(zhì)上就是十分之七，十分之八，十分之九……但是在一些精度要求更高的情況下，那我們有的時候需要得到千分數(shù)，因為千分數(shù)分母的擴大以后，因此他的刻畫的精度就會得到更大的這個提升，從百分數(shù)的產(chǎn)生，百分數(shù)背后蘊含的倍比關(guān)系，到百分數(shù)的教學過程當中通常的抽象概括，最后的是十分數(shù)和千分數(shù)的拓展，這些都是百分數(shù)教學原有的一些表達，在這算是幫助大家做了一個系統(tǒng)對比梳理和回顧。重建百分數(shù)的統(tǒng)計意義到底該如何去重建呢？第一，了解到它在領(lǐng)域的維度已經(jīng)從數(shù)以代數(shù)進入到了統(tǒng)計與概率的這個維度。最新版本的《數(shù)學課程標準》，建議大家看看百分數(shù)到底出現(xiàn)了多少次，以及每一次出現(xiàn)的時候到底是放在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的，還是放在統(tǒng)計與概率領(lǐng)域的。如果放在統(tǒng)計概率領(lǐng)域的，他又是怎么去刻畫表達百分數(shù)的意義價值和它的應(yīng)用場景。第二個內(nèi)涵，他從原來的一種數(shù)變成了一種統(tǒng)計量，而且這個統(tǒng)計量跟平均數(shù)這個統(tǒng)計量還不太一樣。平均數(shù)有的時候刻畫的是它是某種影響，它是一個絕對量，比如說假設(shè)投十次球，第一次我投中8個，第二次投中6個，第三投中7個，第四從8個，第五次投中6個，那最后我的平均投中的這個值應(yīng)該是7，這個7它是一個絕對數(shù)量。只不過這個7不是某一次的投中的個數(shù)，而是這五次整體投中的這個值，但它終究是一個絕對意義上的一個統(tǒng)計量，但是百分數(shù)他就不再是一個絕對意義上的統(tǒng)計量，它是一個相對意義上的統(tǒng)計量。比如說，張老師投籃的命中率是70%啊，這個70%并不代表張老師投了100個中了70個，還有可能只是投了十個中了七個，也有可能是投了20個中了14個，大概可能是投了200個中了140個，它是一種反應(yīng)投中的個數(shù)和投的總個數(shù)之間的一個相對關(guān)系的統(tǒng)計量，所以這一點希望老師們能夠有一個更好的把握。第三點可能也是更加重要的，也就是我們的整個百分數(shù)的這個學習的價值將從原來的百分數(shù)更加便于比較，遷入到了數(shù)據(jù)的意識這個維度。我們以往的十大核心詞里面，有一個叫數(shù)據(jù)分析觀念，新修訂的課程標準里面，我們已經(jīng)把它從原來的數(shù)據(jù)分析觀念調(diào)整成了數(shù)據(jù)的意識，那為什么從觀念調(diào)成為意識的。一來是為了和高中還有初中的相關(guān)的核心素養(yǎng)的表達保持統(tǒng)一性。在整個的這個高中領(lǐng)域當中，關(guān)于數(shù)據(jù)這塊實際上是應(yīng)該是有數(shù)據(jù)分析的，數(shù)據(jù)分析是一種素養(yǎng)，是一種關(guān)鍵能力，然后到了小學不能說數(shù)據(jù)分析呀，因為小學生的對數(shù)據(jù)的這種理解，這種把握，它的水平層次顯然是和高中生不可同日而語的，可是為了保持統(tǒng)一性，我們在程度上做了一個區(qū)分，高中的叫數(shù)據(jù)分析，到了這個小學就把它叫數(shù)據(jù)意識。也就是小學生并不需要比較系統(tǒng)的深刻的數(shù)據(jù)分析觀念，我們要的是面對一個話題，能夠養(yǎng)成一種傾向的性能意識就是一種傾向性，比如我在琢磨著是不是需要有一些數(shù)據(jù)來支持我的判斷呢？你是需要更多的數(shù)據(jù)判斷就有說服力呀，你看這些就叫數(shù)據(jù)的意識。怎么在百分數(shù)的學習的過程當中能夠豐富和發(fā)展學生的數(shù)據(jù)意識，讓大家體會到百分數(shù)它應(yīng)用的場景是統(tǒng)計，在統(tǒng)計的過程中怎么能夠結(jié)合百分數(shù)的一個統(tǒng)計量，能夠?qū)λ澈笏[含的數(shù)據(jù)有更多的感悟，更多的理解，更透徹的這樣一種把握，你看這就從原來單一的方面比較進入到了更加豐富和飽滿的數(shù)據(jù)意識的這個維度。第三，警惕百分數(shù)的語言陷阱。百分數(shù)在生活當中因為廣泛存在，因此我們一不留神就會掉進百分數(shù)的坑里，舉幾個例子:第一個這是真實發(fā)生一個故事，是在《統(tǒng)計學的本質(zhì)》這本書里邊所找到的，這個在戰(zhàn)爭的過程當中有一個部隊，這支部隊的負責人向總部發(fā)出了求救說:我們14%的人員因為工作負擔實在是太重，陷入精神恍惚的這個狀態(tài)，總部一聽不得了，14%的這個人員也就是戰(zhàn)士都出現(xiàn)了這么嚴重的情況，那顯然需要給出一些人力資源，還有其他的一些彈藥的支持和援助？我相信大家看到這個數(shù)據(jù)是不是也是這種感覺？但是如果我告訴你真相是什么呢？這支小分隊，一共七個人，而這七個人當中有一個年輕人，因為可能對戰(zhàn)爭不是特別適合，因此他表現(xiàn)出了一些精神的保護，你看如果你直接上報說兩報告總部，我們這邊這是小分隊里面有一名這戰(zhàn)士出現(xiàn)了這樣的一個狀況，你覺得總部會給出積極的回應(yīng)嗎？顯然不會改成目前的表達，你看我方，我司啊，我部隊有14%的人員因工作嚴重超超出負荷而精神恍惚，你看他感覺是不是完全就不一樣了？，所以我們可以說這是百分數(shù)的語言的陷阱。這個小分隊的這個領(lǐng)導(dǎo)來說，他剛才是應(yīng)用了這樣的一個陷阱啊，發(fā)揮出來他的一個智慧，最終求得了援助。我們再來看一下數(shù)據(jù)，這是我在這教的另外一節(jié)課《數(shù)說淘寶》的過程當中，曾經(jīng)用我的一個素材在淘寶里面有兩家店，賣的是同樣的一個商品，哎，A店的這個商品的好評率是百分之百，B店的同樣這款商品它的好評率是97%。我想大家你覺得哪家可能更是我有可能去購買這個物品的一家店呢？或者我更加會傾向于到哪家店去買呢，我相信啊，在座的老師應(yīng)該是有感覺的，也就是你光看兩個百分數(shù)，毫無疑問100%要比97.52%要更高，對吧？你要絕大多數(shù)，而我是每一件產(chǎn)品都獲得了好評的，當然是我這兒的這個好評率會更高啊，可真相真的是如此嗎？我們前面說過了，百分數(shù)給出的是忽略具體量只去刻畫一個量下的這個比的關(guān)系，所以從這個角度來說，如果A這個商店它只賣出了兩件商品，這兩件給出的都是好評，而B商店賣出的是1萬件商品，它其中有9752件商品獲得了好評，請問你更加愿意相信或者到哪家店鋪去采購這些商品呢，我相信每個老師應(yīng)該會有自己的意見和洞察。我個人一定會選擇第二家，因為它的在面對以萬件的講了一個巨大的銷量的情況下，仍然有9752位消費者就這個產(chǎn)品出了好評，那么看來這產(chǎn)品的質(zhì)量真的是非常非常過硬的。而A這家店雖然是百分之百好評，可是只賣出兩件，兩個人好評，那萬一到了第三件是差評呢，你看他一下子掉到66.7%，也就是你只看這兩件顯然是不夠的，那更不要說，我們以小人之心去奪君子之腹，那么以這兩個好評啊，都是他們水軍打的呢，他們自己想辦法去打的呢，對吧？但是你指望水軍去打出1萬份的這樣的一個評價，那這個成本也太大了，也是一個極小概率的這個事情，所以有的時候百分數(shù)他給出的只是兩個量之間的一種關(guān)系，他忽略了這個原始的這個實際的量，因此我們不要輕易的掉進這樣的一個百分數(shù)的語言的陷阱當中去。我們再來看一下——決策。王剛的點球率成功率排第一，有沒有發(fā)現(xiàn)這個跟剛才的第二個數(shù)據(jù)是有點相似的？那如果王剛一共就罰了五次球，他進了4次，那他的確實進球率是80%是非常高的，但是如果另外的幾個，他比如說在100個當中，他進了38個。那雖然最后他的百分率可能達不到40%，只有38.5%，39.6%，37.8%，但是從剛才第二條這個信息的分析當中，我能夠得出王剛點球率成功率排第一，未必會影響我們的決策，也就是我們未必會因為他排第一就默認王剛一定可以成為勝出的選手，這里顯然不完全是這樣。專業(yè):老師們只要平時稍微留意一下這樣的報紙，新聞，你經(jīng)常會刷到，比如說新房銷售量同比增長了8%，環(huán)比增長了8%，那這里面要涉及到什么量呢，就是百分數(shù)有的時候他還會存在一個百分數(shù)的百分數(shù)，換句話來說就是這個百分數(shù)的背后的單位一到底是個什么？有的時候還會出現(xiàn)率上添率這么一個概念，因此我們在看待百分數(shù)的時候，你需要把它背后隱藏著的這個單位一給找到，單位一如果是個具體量，那他是一回事，如果是一個百分率，那又是另外一回事，所以你看百分數(shù)，當它從原來的數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域遷入到了統(tǒng)計與概率這個領(lǐng)域當中來的時候，你看我們的很多的認知都要發(fā)生一些變化。第三板塊——教學建議最后給出我們的教學建議，第一個創(chuàng)設(shè)情境，在統(tǒng)計分析當中感受需要。簡單直白的來說，也就是我們得重新回到蘇教版北師版，包括青島版這些教材當中來，因為這樣的教學的線索更加容易讓孩子們體會到，百分數(shù)他原來是源自于在統(tǒng)計的背景當中，對數(shù)據(jù)的分析過程當中的某種實際的需要，比如說到底選哪個人去參加投籃比賽會比較合適呢？在這種情況下如何去選擇？數(shù)據(jù)應(yīng)該怎么去收集？收集什么數(shù)據(jù)？是收集投中的個數(shù)，還是只收集投籃的次數(shù)，還是這兩種數(shù)據(jù)都要收集，是指收集這一周的數(shù)據(jù)，還是收集這一個月的數(shù)據(jù)，還是收集這一個季度的這個數(shù)據(jù)？你看，要收集數(shù)據(jù)，這本身就是數(shù)據(jù)意識的一個重要表現(xiàn)，對吧？用數(shù)據(jù)來說話，用數(shù)據(jù)幫助我們進行決策和判斷，這就是數(shù)據(jù)意識的一個重要的內(nèi)涵，另外采集多大的樣本啊？是本周還是本月還是本季度？你看當數(shù)據(jù)越來越大的時候，那么對應(yīng)的這個百分數(shù)所呈現(xiàn)出來的這個理，他的可信度，它的效度就會越來越高。然后完了以后有了百分數(shù)，以后我們又該如何去進行分析呢？我們還要看看它的整個分數(shù)變化的發(fā)展的趨勢等等。所以，如何選擇，如何收集數(shù)據(jù)，收集怎樣的數(shù)據(jù)以及對數(shù)據(jù)進行怎么樣的分析？在這樣的一個思辨的場景當中，那么百分數(shù)它的意義和價值也有可能會得到一個更好彰顯。第二個呈現(xiàn)數(shù)據(jù)，在分析比較中建構(gòu)意義。具體比如說姚小明，王小志和易小聯(lián)他們?nèi)齻€人投籃以及投中數(shù)據(jù)已經(jīng)出來了，那現(xiàn)在的問題一定是我們該怎么直觀的來表現(xiàn)出刻畫出這三個人他們到底誰的水平更高一點的，因為這個時候你去直接運用投中的次數(shù)，這樣的一個絕對數(shù)值是沒有任何意義的，你去僅僅分析投籃的次數(shù)，這個絕對數(shù)值也是沒有意義的。那真正有意義的是什么？是投中的次數(shù)和投籃的次數(shù)，這兩個絕對量之間的相對的關(guān)系，每一個相對的關(guān)系得到的這個分數(shù)闕值越大，那么可能這個人的水平就會越高，所以面對這樣的一組數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學生去通過對數(shù)據(jù)的分析，讓孩子們體會到啊，光看這個數(shù)據(jù)不夠，光看那個數(shù)據(jù)也不夠，只有將這兩個數(shù)據(jù)放在一起進行比較，借助比和除法的運算得到對應(yīng)的分數(shù)，他才有可能會更有用一些。當然得到分數(shù)以后還設(shè)計了一個比較的問題，因此我們要進一步去通分，然后進而引出了改分數(shù)，你看在對這樣的一個數(shù)據(jù)的比較分析，甄別，篩選運算以后，以及最終的這樣的一個加工以后，百分數(shù)他就應(yīng)運而生，它的產(chǎn)生，它的意義，它的價值就在這個過程當中得到了更好突顯。在這個常規(guī)的設(shè)計之后，我呈現(xiàn)了幾個補充的思考。第一個，朱小雨他的投籃的命中率只有45.6%，顯然在這四個人當中并沒有排在第一，可是教練卻選擇了他，這到底是為什么呢？一開始如果不出示這個朱小雨的數(shù)據(jù)，讓孩子們自己去思考，我估計很多孩子可能會覺得很奇怪，明明他的投中率不是排在第一名，那怎么會選他呢？教練到底會有怎樣的一些思考呢？等到孩子們各種假設(shè)，各種推理都完成以后。老師出示了最下面的一組數(shù)據(jù)，我相信很多孩子一定會恍然大悟，哦，原來是這樣，因為易小聯(lián)，姚小明和王小志，雖然他們的這投籃的命中率都不低，尤其是易小聯(lián)高達46%，但是它只是在50次當中投中了23次，這個整體的樣本和數(shù)據(jù)還是比較小的，而朱小雨雖然他的命中率比易小聯(lián)略低那么0.4%，對吧？但是它是在750次這個堪稱海量的投籃活動當中，最終實現(xiàn)了342次投中的這個優(yōu)異的成績，我們可以看出朱小雨的他的整體的穩(wěn)定性有可能會更高，因為易小聯(lián)這個成績實話實說，如果再投一次，萬一不中，也許他的投籃的命中率就會迅速的下滑，對吧？因為它的整體的樣本數(shù)量比較小，那么一次成績的這個不確定性就有可能會影響整體成績的這樣一個百分數(shù)或者百分比，而朱小雨雨他在大量的數(shù)據(jù)當中，它的這個45.6%已經(jīng)趨于某種穩(wěn)定性，就算你第751次沒有投中，那么估計最終的百分率仍然會穩(wěn)定在45.6%的下面一丟丟。大數(shù)據(jù)以后所得出的百分比，他會具有更強的說服力和更大的穩(wěn)定性。剛才這一段描述，老師你沒發(fā)現(xiàn)其實我們在這個數(shù)據(jù)的大與小，樣本的多與少數(shù)據(jù)的穩(wěn)定與浮動，在進行各種比較，各種分析，各種刻畫，而這不正是數(shù)據(jù)意識需要我們?nèi)崿F(xiàn)的一個基本的目標嗎？我這兒給大家梳理出這三句話，一、大數(shù)據(jù)更可靠，精確度更可信，什么意思呢？大家看一下，你看易小蓮46%，而到朱小雨是45.6%啊，在我們成年人的世界當中啊，我們都知道當你的百分號前面一旦出現(xiàn)了小數(shù)，甚至于兩位三位小數(shù)的時候，一種推斷是數(shù)據(jù)樣本會比較大，另外一個的話就是你的小數(shù)保留的位數(shù)越多，那么它的精確度就越高，當你要刻畫一個人的這個百分比的精確度達到小數(shù)點后兩位，三位的時候，我們通常都會覺得這個數(shù)據(jù)的可信度會更高，第三個穩(wěn)定性更重要，對吧？數(shù)值高固然好，但是穩(wěn)定性更重要，啥意思呢？比如說你投籃，下次你讓我去投兩次，說不定我那一天運氣特別好，兩次一中一不中，難不成你們認為我這么一個小白，這么一個菜鳥也會比姚小明，王小志，易小聯(lián)和朱小雨更強嗎？你看他們只有百分之四十幾，而我高達50%。顯然不是這樣的，因為我的數(shù)據(jù)樣本太小，所以它是不夠穩(wěn)定的，只有達到更大的數(shù)據(jù)，它的穩(wěn)定性才呈現(xiàn)出來，而穩(wěn)定性它現(xiàn)在是更加重要。再比一次排名還會這樣嗎？我相信很多老師都會有感覺，這里設(shè)計的其實是感悟隨機。這請允許我敲個黑板，即將出來的課程標準，我們當時拿到的是一個討論稿，在討論考核標準里面，我們會發(fā)現(xiàn)這個百分數(shù)和隨機這兩個詞好像經(jīng)常會放在一起出現(xiàn)，一開始我也是不太明白，因為這里面我也給老師們留下一個任務(wù)，留下一個為什么百分數(shù)他要跟隨機放在一起，當然肯定是跟統(tǒng)計學是有關(guān)的，對吧？當然在這個問題當中，其實，隨機的味道就出來了，因為如果你再給一次同樣姚小明，王小志，易小聯(lián)各投20，25和50，你確定最終得到的百分數(shù)還是原來的45%44%和46%這三個百分數(shù)嗎？不一定，因為人的投籃它是帶有隨機性的，你根本不知道每一次你能不能投中，投完這一次以后，你也不確定下一次是否投中，就算你前面連續(xù)投中三次，你都沒法斷定第四次到底是中還是不中，這就是隨機性。而百分數(shù)它是可以動態(tài)的去刻畫隨機性的。所以結(jié)論是，如果再比一次排億，名未必是這樣的。在這個過程中，我們可以感悟隨機的現(xiàn)象，能夠體會百分數(shù)他會隨著你的投籃次數(shù)的不斷的增多，它會有個動態(tài)的變化的這個過程，當然我們也知道這個動態(tài)的變化，越往后，當總樣本數(shù)越來越大的時候，那么他整體的投籃的水平，他會漸漸趨于一個穩(wěn)定的趨勢，這個地方跟那個平均數(shù)還是有一點點的相似的。思考三，如何選擇優(yōu)秀的代表呢？假設(shè)，姚小明，王小志和易小聯(lián)這時到底該選誰呢？所以這個時候?qū)ξ覀兝蠋熀秃⒆觼碚f，我們應(yīng)該相信這樣的東西一有更長的時間尺度去觀察和采集數(shù)據(jù)，比如說如果姚小明，王小志，易小聯(lián)，我們只看他一天的數(shù)據(jù)，這是不夠的，不穩(wěn)定，要很少，如果看一個月的數(shù)據(jù)還行，但是如果數(shù)據(jù)所采集的時間越長，那么這個時候每一個百分數(shù)所刻畫的一個人的相比較的水平就更加有說服力，所以叫更長時間，更大數(shù)據(jù)，更持續(xù)性，這個往往是在幫助我們進行決策的時候是有參照意義的，說到這里再次強調(diào)，百分數(shù)當它成為一個統(tǒng)計量的時候，它往往成為我們進行決策的時候一個非常重要的一個參照。最后拓展延伸環(huán)節(jié)，在思辯透析當中深挖本質(zhì)。第一個在大于小之間思辨。啥意思呢？我們來看兩組數(shù)據(jù)，每年全球0.04%的土地被沙漠侵吞。孩子一看到0.04%都知道這是相當于一萬分之四，這是一個非常小的百分數(shù)，但是真的是這樣嗎？極小的百分數(shù)，他刻畫的卻是一個讓人感到非常震驚的量，我們測算過，全球0.04%的土地被沙漠傾吞，這個被侵吞的土地的面積約等于張老師所在的這個千萬級規(guī)模的人口的大都市江蘇的省會城市——南京，他的整個的這個占地面積。所以你看，每年如果我們的這個全球的這個氣候，全球的生態(tài)沒有能夠更好的去進行一個控制的話，有可能每一年都會有一個接近于南京這樣的一個城市的地皮在被沙漠了。這是一個多么可怕的這么一個量。我們再來看另外一個，另外一個是一個非常大的百分數(shù)，希望小學女教師的人數(shù)是男教師的100%，看起來是不是很大？其實它背后的結(jié)論是什么？女教師和男