關(guān)注特殊四邊形中的最值

第4頁共6頁關(guān)注特殊四邊形中的最值與特殊四邊形有關(guān)的最小值（或最大值）問題，是特殊四邊形計算問題的重要題型，它已成為中考中一道靚麗的風景線，現(xiàn)舉幾例供同學們參考.一、求兩線段和的最值A(chǔ)DEPBC圖1例1如圖1，正方形的面積為12，是等邊三角形，點在正方形內(nèi)，在對角線上有一點，則的最小值為________.ADEPBC圖1解析：連接BP，由正方形的軸對稱性知，PD=PB，由“兩點之間，線段最短”知，當點P在線段BE上時，PB+PE最小，也即PD+PE最小，此時PD+PE=BE.因為△ABE為等邊三角形，所以BE=AB.又因為正方形ABCD的面積為12，所以AB=，PD+PE最小值為.說明：求兩條線段和的最小值問題，通常是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，把兩線段的和轉(zhuǎn)化為某兩點之間的連線，再運用“兩點之間，線段最短”的性質(zhì)求解.二、求周長的最值圖2ABE圖3DC例2如圖2，將兩張長為8，寬為2圖2ABE圖3DC解析：當兩個矩形的一條對角線完全重合時，重疊部分的菱形的周長最大，如圖3，這時只要求得菱形的邊長即可.設(shè)BE=x，則AE=8-x,在Rt△ABE中，由勾股定理，得22+（8-x）2=x2.解得x=.所以菱形周長的最大值為.說明：在解決與特殊四邊形有關(guān)的計算問題時，經(jīng)常要用到方程思想.三、利用最值解題圖4例3如圖4，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點P在BC上移動，則當PA+PD取最小值時，△APD的邊AP上的高為______.圖4解析：如圖5，延長AB到A′，使BA′=AB，連接DA′交BC于點P，作DE⊥BC于E，DF⊥AP于F.由軸對稱的性質(zhì)及“兩點之間，線段最短”知，此時的點P，使得PA=PA′，PA+PD取得最小值，其值為線段AA′的長.ABCDPEFA′圖5因為梯形ABCD為直角梯形，所以四邊形ABED為矩形，所以DE=AB=BA′，BE=AD=2，EC=3.又∠PBA′=∠PED=90°，∠BPA′=∠EPD，所以△BPA′≌△EPD，所以PA′=PD=PA，PE=PB=1.在Rt△CDE中，因為DC=5,EC=3,所以DE=4.在Rt△DEP中，因為DE=4,PE=1，所以AP=DP=.在△APD中，由三角形面積公式，得ABCDPEFA′圖5說明：本題以兩線段和的最小值為載體，很好地考查了直角梯形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、全等三角形及勾股定理等諸多知識點，具有較強的綜合性.解題的關(guān)鍵是確定使PA+PD取最小值的點P的位置.解（1）在Rt△AOB中，因為∠BAO＝60°，所以∠ABO＝30°，所以O(shè)A＝AB，而OA＝100，所以AB＝200，由勾股定理，得OB＝＝＝100.Rt△AOC中，∠CAO＝45°，所以O(shè)C＝OA＝100，所以B(－100，0)，C(100，0).（2）因為BC＝BO+CO＝100+100，所以≈18＞，所以這輛車超速了.（3）設(shè)大貨車行駛到某一時刻行駛了x米，則此時小汽車行駛了2x米，且兩車的距離為y＝＝，顯然，當x＝60時，y有最小值是＝20米，即兩車相距的最近距離為20米.說明本題在求最近距離時，一定要注意正確理解代數(shù)式的意義，注意到(x－60)2的最小值是0.例4（恩施自治州）恩施州自然風光無限，特別是以“雄、奇、秀、幽、險”著稱于世.著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護區(qū)星斗山（B）位于筆直的滬渝高速公路X同側(cè)，AB＝50km，A、B到直線X的距離分別為10km和40km，要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P，向A、B兩景區(qū)運送游客.小民設(shè)計了兩種方案，圖1是方案一的示意圖（AP與直線X垂直，垂足為P），P到A、B的距離之和S1＝PA+PB，圖2是方案二的示意圖（點A關(guān)于直線X的對稱點是A′，連接BA′交直線X于點P），P到A、B的距離之和S2＝PA+PB.（1）求S1、S2，并比較它們的大??；（2）請你說明S2＝PA+PB的值為最?。籊YXBAQPO圖3A′B′（3）擬建的恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路垂直，建立如圖3所示的直角坐標系，B到直線Y的距離為30km，請你在X旁和Y旁各修建一服務(wù)區(qū)GYXBAQPO圖3A′B′CBCBAPXA′圖2MBAPX圖1C分析為了便于運用勾股定理求解有關(guān)線段的長，可適當引垂線，并結(jié)合對稱等幾何知識即可求解.解（1）如圖1中，過B作BC⊥AP，垂足為C，則由勾股定理，得PC＝＝40.在Rt△PBC中，由勾股定理，得BP＝＝＝40.所以S1＝40+10（km）.如圖2中，過B作BC⊥AA′垂足為C，由軸對稱知PA＝PA′，則A′C＝50，又BC＝40，所以由勾股定理，得BA′＝＝10，所以S2＝BA′＝10（km）.顯然，S1＞S2.（2）如圖2，在公路上任找一點M，連接MA，MB，MA′，由軸對稱知MA＝MA′，所以MB+MA＝MB+MA′＞A′B，所以S2＝BA′為最小.（3）過A作關(guān)于X軸的對稱點A′，過B作關(guān)于Y軸的對稱點B′，連接A′B′，交X軸于點P，交Y軸于點Q，則P，Q即為所求.過A′、B′分別作X軸、