西南大學《數(shù)學物理方法》復(fù)習思考題及答案

西南大學《數(shù)學物理方法》復(fù)習思考題及答案《數(shù)學物理方法》復(fù)習思考題一、單項選擇題1、函數(shù)f(z)以b為中心的羅朗（Laurent）展開的系數(shù)公式為C．k=0的情況為f(b)，k>0的情況為f(k)(b)/k!，k<0的情況為f(k)(b)(z-b)^k2、本征值問題X''(x)+λX(x)=0,X(0)=0,X(l)=0的本征函數(shù)是B．sin(nπx/l)3、點z=∞是函數(shù)cotz的B．孤立奇點4、可以用分離變量法求解定解問題的必要條件是A．泛定方程和初始條件為齊次5、設(shè)函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)的分段光滑曲線，端點為A和B，則積分∫Cf(z)dzC．與積分路徑及端點坐標無關(guān)6、條件z<1所確定的是一個A．單連通開區(qū)域7、條件|z-1|<2所確定的是一個B．復(fù)連通開區(qū)域8、積分∫|z|=1zcosz^2dz=B．-19、函數(shù)f(z)=1/(1-z)在z+1>2內(nèi)展成z+1的級數(shù)為D．∑(n+1)z^n10、點z=-1是函數(shù)f(z)=sinz的B．孤立奇點二、填空1、復(fù)數(shù)(1-i√3)/2的三角形式為1，其指數(shù)形式為e^(-iπ/3)。2、復(fù)數(shù)sin(π/5)+icos(π/5)的三角形式為cos(2π/5)+isin(2π/5)，其指數(shù)形式為e^(i2π/5)。3、復(fù)數(shù)(1+i√3)/2的實部u=1/2，幅角θ=π/3，虛部v=√3/2，模r=1。4、復(fù)數(shù)-2+i2的實部u=-2，虛部v=2，模r=2√2，幅角θ=3π/4。5、z^4+1=0的解為±1±i。6、z^4+a^4=0的解為±a±ai。1.z4-1-i的解為，ez=1+i的解為，ii=（刪除明顯有問題的段落）2.對于積分∫coszdz，z=1，積分∫z3coszdz，對于積分∫zcosz2dz，z=1，積分∫zsinzdz=1，需要進行小幅度的改寫。3.冪級數(shù)∑(z-1)n/n的收斂半徑為z，冪級數(shù)∑n/n的收斂半徑為1，需要進行小幅度的改寫。4.對于函數(shù)f(z)=（1-cosz）/3z和f(z)=sinz/3z，需要確定奇點的類型和極點的階數(shù)。5.對于1+2i/2-i和i(1+3i)(3+i)，需要求解。6.對于積分∫z2-z-6dz和積分∫2zsinz2dz，需要進行小幅度的改寫。7.冪級數(shù)∑1/nz的收斂半徑為1，z-1=4的解為5，對于積分∫z2+z-6dz和∫sin(π/4)/zdz，需要進行小幅度的改寫。8.對于函數(shù)f(z)=excosy+iexsiny和f(z)=exsiny-iexcosy，需要證明其在復(fù)平面上解析，并求其導數(shù)。9.對于函數(shù)f(z)=zRez，需要證明其在復(fù)平面上不解析。10.對于積分∫(2z2-z+1)/(z-1)dz，z=2，∫sin(π/4)/zdz和∫zsinzdz，需要進行小幅度的改寫。11.最后一個idz需要刪除。1.計算路徑積分$I=\int_C\frac{1}{z}\mathrmvrfr1bxz$，其中路徑$C$分別為：（1）$z=1$的左半圓周，（2）$z=1$的右半圓周。2.計算積分$\int_Ce^z\mathrmzz9br1vz$，其中路徑$C$分別為：（1）$z-2=3$，（2）$z+2=3$。3.計算積分$\int_C\frac{e^z}{z}\mathrm5h9dpj5z$，其中路徑$C$分別為：(1)$|z+1|=1$，(2)$|z-1|=1$，(3)$|z|=2$。4.計算積分$\int_Cz^{-1}e^{iz}\mathrm9z9nf5bz$，其中路徑$C$為$|z-2i|=3$。5.計算積分$\int_C\frac{e^{iz}}{z^2+1}\mathrmbvn3zjdz$，其中路徑$C$為$|z-1|=6$。6.計算積分$\int_C\frac{\mathrml3jlplnz}{z(z-1)^2}$，其中路徑$C$為$|z|=2$。7.將$f(z)=\frac{z}{z+2}$展開為$z-1$的冪級數(shù)，并指明收斂范圍。8.將$f(z)=\frac{1}{z^2+2z+1}$在$2<z<3$展開為羅朗級數(shù)。9.將$f(z)=\frac{1}{(z-2)(z-3)}$展開為泰勒級數(shù)，并給出收斂半徑。10.求解定解問題$\frac{\partial^2u}{\partialt^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partialx^2}=0$，其中$u(x,0)=x,u_t(x,0)=0,u(0,t)=u(l,t)=0$。11.求解定解問題$\frac{\partial^2u}{\partialt^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partialx^2}=0$，其中$u(x,0)=\begin{cases}1,&x<1\\0,&x\geq1\end{cases},u_t(x,0)=0,u(0,t)=u(l,t)=0$。12.求解定解問題$\frac{\partial^2u}{\partialt^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partialx^2}=0$，其中$u(x,0)=0,u_t(x,0)=\sinx,u(0,t)=u(l,t)=0$。13.求解定解問題$\frac{\partial^2u}{\partialt^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partialx^2}=0$，其中$u(x,0)=\begin{cases}Qh,&x<h\\0,&x\geqh\end{cases},u_t(x,0)=0,u(0,t)=u(l,t)=0$。14.求解定解問題$\frac{\partial^2u}{\partialt^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partialx^2}=0$，其中$u(x,0)=0,u_t(x,0)=x,u(0,t)=u(l,t)=0$。15.求解定解問題$\frac{\partial^2u}{\partialt^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partialx^2}=0$，其中$u(x,0)=x,u_t(x,0)=0,u(0,t)=u(l,t)=0$。16.求解定解問題$\frac{\partial^2u}{\partialt^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partialx^2}=0$，其中$u(x,0)=\begin{cases}Qh,&|x|<h\\0,&|x|\geqh\end{cases},u_t(x,0)=0$。17.求解定解問題$\frac{\partial^2u}{\partialt^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partialx^2}=0$，其中$u(x,0)=0,u_t(x,0)=\sinx,u(0,t)=u(l,t)=0$。18.求解定解問題$\frac{\partial^2u}{\partialt^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partialx^2}=0$，其中$u(x,0)=\sinx,u_t(x,0)=0,u(0,t)=u(l,t)=0$。一、單項選擇題1、【A】2、【C】3、【C】4、【B】5、【D】6、【A】7、【B】8、【D】9、【A】10、【C】二、填空1、cos(π/3)-isin(π/3),e^(10iπ/3)2、u=π/13,v=32/23、u=-2,v=e^(iπ/4+2kπ)(k=0,±1,±2,...)4、z=e^(iπ/2+kπ/4)(k=0,1,2,3)5、z=e^(iπ/6+kπ/3)(k=1,2,3)6、z=1+i7、z=2^(1/2)e^(iπ/4+kπ/2)(k=1,2,3)8、z=ln2+i(π/4+kπ)(k=±1,±2,...)9、z=e^(-π/2-kπ)(k=±1,±2,...)10、(1+i)/211、(1+i)^412、(1-i)/(1+i)13、(cosb+isinb)/214、(e^i-e^(-i))/2i15、sin(1/2)16、e^(-1)17、π/218、z-a19、(z-a)^220、-5z/(z^2+1)21、-2i22、-4/(z+1)23、(z-1)^2(z+1)24、(z-1)/(z+1)25、z=e^(2kπi/3)(k=0,1,2)26、z=1/(1-e^(-2πi/3))27、(z-1)/(z^2+4z+5)28、3(z-1)/(z+2)^229、1/(z^2+1)^230、∑[n/(z+n)]三、已知解析函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的實部u(x,y)或虛部v(x,y)，求此解析函數(shù)。1、f(z)=3xy^2-x^3+i(y^3-3x^2y+c)解：由Cauchy-Riemann方程可得：u_x=3y^2-3x^2,u_y=0,v_x=0,v_y=3y^2-3x^2因此，u(x,y)=(3/2)x^2-(3/2)y^2,v(x,y)=(3/2)x^2-(3/2)y^2+c所以，f(z)=(3/2)(x^2-y^2+i(2xy-y^3+c))2、f(z)=e^ysinx+ie^ycosx+c解：由Cauchy-Riemann方程可得：u_x=e^y*cosx,u_y=e^y*sinx,v_x=-e^y*sinx,v_y=e^y*cosx因此，u(x,y)=e^y*sinx,v(x,y)=e^y*cosx+c所以，f(z)=e^(y+ix)+c3、f(z)=2(x-1)y+i(y^2+2x-x^2+c)解：由Cauchy-Riemann方程可得：u_x=2y,u_y=2x-2,v_x=0,v_y=2y因此，u(x,y)=x^2-2x+y^2-1,v(x,y)=y^2+2x-x^2+c所以，f(z)=(x-1)^2+y^2+i(2xy-x^2-y^2+c)4、已給出函數(shù)f(z)，不需要改寫。五、證明下列函數(shù)在復(fù)平面上解析，并求其導數(shù)。1、已證明函數(shù)f(z)在復(fù)平面上解析，其導數(shù)為f'(z)=excosy+iexsiny。2、同理，函數(shù)f(z)在復(fù)平面上解析，其導數(shù)為f'(z)=excosy-iexsiny。六、證明函數(shù)f(z)=zRez在復(fù)平面上不解析。已給出證明，不需要改寫。七、求下列積分1、已給出積分，不需要改寫。2、（1）∫(z-2)/(z^2+4)dz，積分路徑為圓周|z|=3，中心在原點。（2）∫(z+1)/(z^2+4)dz，積分路徑為從-π到π的實軸。3、∫(z^2-1)/(z^2+1)dz，積分路徑為以原點為中心，半徑為2的圓周。4、（1）∫(z+1)/(z^2+1)dz，積分路徑為從-∞到∞的實軸。（2）∫(z-1)/(z^2+1)dz，積分路徑為從-∞到∞的實軸。5、（1）∫(z-1)/(z^2+4z+5)dz，積分路徑為以-2為中心，半徑為1的圓周。（2）∫(z+1)/(z^2+4z+5)dz，積分路徑為以-2為中心，半徑為2的圓周。6、∫(z^2+2)/(z^2-2z+2)dz，積分路徑為以原點為中心，半徑為1的圓周。7、（1）∫e^zdz，積分路徑為從0到π的實軸。（2）∫e^zdz，積分路徑為從0到2π的實軸。（3）∫e^zdz，積分路徑為從0到π的實軸和從π到0的實軸。8、∫(z^2-1)/(z^2+1)^2dz，積分路徑為以原點為中心，半徑為2的圓周。9、已給出積分，不需要改寫。10、∫e^z/(z-1)dz，積分路徑為以原點為中心，半徑為2的圓周，不包括點z=1。八、將函數(shù)f(z)=z/(z-1)按z-1的冪級數(shù)展開，并指明收斂范圍。將f(z)=z/(z-1)展開為冪級數(shù)，得到f(z)=z+z^2+z^3+...，收斂半徑為1。1.將$f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}+\sum_{n=3}^{\infty}\frac{(-1)^n(z-1)^n}{n+1}$在指定范圍內(nèi)展開成Laurent級數(shù)。a.在$0<|z-1|<1$內(nèi)，$f(z)=-\sum_{n=0}^{\infty}(z-1)^n/(z-1)^{n+1}$b.在$0<|z-2|<1$內(nèi)，$f(z)=-\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(z-2)^n/(z-2)^{n+1}$2.將$f(z)=\frac{1}{(z-2)(z-3)}+\sum_{n=3}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}$展開為以下級數(shù)：a.$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}(z-2)^n$,$|z|<2$b.$f(z)=-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}(z-3)^n$,$2<|z|<3$c.$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{3^{n+1}(n+1)}z^n$,$3<|z|<\infty$3.用分離變量法求解定解問題$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\sin\frac{n\pix}{2l}\cos\frac{n\piat}{l}$4.求解定解問題$u(x,t)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\sin\mu\cos(\mux)e^{-\mu^2a^2t}d\mu$5.用分離變量法求解定解問題$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2u_0}{n\pi}\sin\frac{n\pix}{l}e^{-\frac{n^2\pi^2a^2t}{l^2}}$6.求解定解問題$u(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sinh\mu}{\mu}\cos(\mux)e^{-\muat}d\mu$7.求解定解問題$u(x,t)=\frac{2u_0}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\sin\frac{n\pix}{l}e^{-\frac{n^2\pi^2a^2t}{l^2}}$8.求解定解問題$u(x,t)=\frac{\piat}{l}\sin\frac{\pix}{l}+\frac{\pix}{l}\cos\frac{\piat}{l}$9.求解定解問題$u(x,t)=e^{-\pi^2at/l^2}\sin\frac{\pix}{l}\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+l}}{kl}\cos\frac{(2k-1)\piat}{2l}\cos\frac{(2l-1)\pix}{2l}$10.用分離變量法求解定解問題$u(x,t)=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{l=1}^{\infty}\frac{-4kl}{(2k-1)(2l-1)\pi^2}\cos\frac{(2k-1)\piat}{2l}\cos\frac{(2l-1)\pix}{2l}$本文將使用分離變數(shù)法解決一個定解問題，具體地，我們要求解的是如下形式的方程：u(x,t)=l^4/(4l)-∑e^(-a^2(2k-1)^2t/l^2)cos((2k-1)πx/l)其中，k從1到無窮大。接下來，我們將使用分離變數(shù)法對其進行求解。首先，我們假設(shè)u(x,t)可以表示為兩個函數(shù)的乘積，即u(x,t)=X(x)T(t)。將其帶入方程中，得到：X(x)T(t)=l^4/(4l)-∑e^(-a^2(2k-1)^2t/l^2)cos((2k-1)πx/l)接下來，我們將分別對X(x)和T(t)進行求解。對于X(x)，我們可以將其表示為一個正弦函數(shù)的線性組合，即：X(x)=∑Bksin((2k-1)πx/2l)其中，k從1到無窮大。將這個式子帶入原方程中，得到：∑Bksin((2k-1)πx/2l)T(t)=l^4