定積分的幾何意義市公開課一等獎課件省賽課獲獎課件

基礎部制作高等數(shù)學1/58第七章定積分在自然科學、工程技術和經(jīng)濟學許多問題中，經(jīng)常需要計算某些“和式極限”。如：曲邊梯形面積，變速直線運動路程等。這就是第七章我們要學習內(nèi)容。定積分就是從多種計算“和式極限”問題抽象出數(shù)學概念，它與不定積分是兩個不一樣數(shù)學概念。不過，微積分基本定理則把這把這兩個概念聯(lián)系起來，處理了定積分計算問題，使定積分得到了廣泛應用。2/58第一節(jié)定積分概念7.1.1曲邊梯形面積所謂曲邊梯形是由三條直線段和一條曲線所謂成平面圖形（如下列圖所示）。

如何求曲邊梯形面積？3/58

求解思緒：分割取近似求和取極限

把大曲邊梯形沿著y軸方向切割成許多窄窄小曲邊梯形，把每一種小曲邊梯形近似看作一種矩形，用矩形面積近似替代小曲邊梯形面積。把這些近似值加起來，就是大曲邊梯形面積近似值。顯然，分得越細，近似程度越高。4/58

假如把區(qū)間[a,b]無限細分，使每個區(qū)間長度無限趨于0，這時小矩形面積之和極限就是曲邊梯形面積精確值。即（面積是和式極限）

5/587.1.2定積分定義

6/58有關定積分定義幾點說明：定積分表達一種數(shù)，它只取決于被積函數(shù)與積分區(qū)間，而與積分變量采取什么字母無關。定積分存在性：當f(x)在[a,b]上連續(xù)或只有有限個第一類間斷點時，f(x)在[a,b]上定積分存在。要求

初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)部都是可積7/587.1.3定積分幾何意義假如f(x)>0，圖形在x軸上方（如右圖）由前面曲邊梯形面積討論可知積分值為正,且2.同理，假如f(x)<0,圖形在x軸下方，積分值為負，且8/583.假如f(x)在[a,b]上有正有負時（如右圖所示）則積分值就等于曲線y=f(x)在x軸上方部分與下方部分面積代數(shù)和。ab9/587.1.4定積分性質(zhì)

假定下面有關函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)

性質(zhì)1函數(shù)代數(shù)和可逐項積分，即

性質(zhì)2被積函數(shù)常數(shù)因子可提到積分號外面，即

性質(zhì)3（可加性）無論a、b、c三點互相位置如何，恒有

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性質(zhì)4（積分比較性質(zhì)）在[a,b]上若f(x)≥g(x),則性質(zhì)5（積分估計性質(zhì)）設M與m分別是f(x)在[a,b]上最大值與最小值，則性質(zhì)6（積分中值定理）假如f(x)在[a,b]上連續(xù)，則至少存在一點使得

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思考題1.如何表述定積分幾何意義？根據(jù)定積分幾何意義推證下列積分值：2.若當a≤x≤b,有f(x)≤g(x),問下面兩個式子是否均成立，為何？12/58小結定積分概念曲邊梯形面積定積分定義定積分幾何意義定積分性質(zhì)13/587.2微積分基本公式7.2.1變上限定積分14/58由上分析可得：推論連續(xù)函數(shù)原函數(shù)一定存在。

（這就處理了上一章原函數(shù)存在問題，又初步揭示了積分學中定積分與原函數(shù)之間聯(lián)系。

）15/58例題：16/5817/587.2.2牛頓-萊布尼茲公式

(Newton-Leibniz)牛頓于1665-1666年間發(fā)明了微積分，1687年公布在巨著《自然哲學數(shù)學原理》中。萊布尼茲于1673-1676年間發(fā)明了微積分，1684年公布了論文。微積分究竟是誰發(fā)明，這在世界科學史上曾是一樁公案。微積分“是牛頓和萊布尼茲大體上完成，但不是由他們發(fā)明”（恩格斯：《自然辯證法》）。下面將介紹兩位科學家

18/58大科學家——牛頓（Newton)牛頓--英國偉大數(shù)學家、物理學家、天文學家和自然哲學家。1642年12月25日生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近沃爾索普村,1727年3月20日在倫敦病逝。牛頓在科學上最卓越奉獻是微積分和典型力學創(chuàng)建。19/58

數(shù)學天才——萊布尼茲萊布尼茲（GottfriendWilelmLeibniz,1646-1716）是17、18世紀之交德國最主要數(shù)學家、物理學家和哲學家，一種舉世罕見科學天才。他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類科學知識寶庫做出了不可磨滅奉獻。

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有關微積分創(chuàng)建優(yōu)先權，數(shù)學上曾掀起了一場劇烈爭論。事實上，牛頓在微積分方面研究雖早于萊布尼茲，但萊布尼茲成果刊登則早于牛頓。萊布尼茲于1684年10月刊登在《教師學報》上論文，“一種求極大極小奇妙類型計算”，在數(shù)學史上被以為是最早刊登微積分文獻。牛頓在1687年出版《自然哲學數(shù)學原理》第一版和第二版也寫道：“十年前在我和最出色幾何學家G、W萊布尼茲通信中，我表白我已經(jīng)懂得確定極大值和極小值辦法、作切線辦法以及類似辦法，但我在交換信件中隱瞞了這辦法，……這位最卓越科學家在回信中寫道，他也發(fā)覺了一種同樣辦法。他并訴述了他辦法，它與我辦法幾乎沒有什么不一樣，除了他措詞和符號而外。”（但在第三版及后來再版時，這段話被刪掉了。）因此，后來人們公認牛頓和萊布尼茲是各自獨立地創(chuàng)建微積分。21/58牛頓從物理學出發(fā)，利用集合辦法研究微積分，其應用上更多地結合了運動學，造詣高于萊布尼茲。萊布尼茲則從幾何問題出發(fā)，利用分析學辦法引進微積分概念、得出運算法則，其數(shù)學嚴密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及。萊布尼茲結識到好數(shù)學符號能節(jié)省思維勞動，利用符號技巧是數(shù)學成功關鍵之一。因此，他發(fā)明了一套適用符號系統(tǒng)，如，引入dx表達x微分，∫表達積分等等。這些符號深入促進了微積分學發(fā)展。1723年，萊布尼茲刊登了《微積分歷史和起源》一文，總結了自己創(chuàng)建微積分學思緒，說明了自己成就獨立性。22/58

定理2：設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，又函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上一種原函數(shù)，則

注：1、此公式被稱為牛頓-萊布尼茲公式，它深入揭示了定積分與原函數(shù)(不定積分）之間聯(lián)系。它表白：一種連續(xù)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上定積分等于它任一種原函數(shù)在區(qū)間[a,b]上增量。因此它就給定積分提供了一種有效而簡便計算辦法。2、一般也把牛頓--萊布尼茲公式稱作微積分基本公式。23/58例題

24/58思考題

2.在牛頓-萊布尼茲公式中，要求被積函數(shù)f(x)在積分區(qū)間[a,b]上連續(xù)。問當f(x)在區(qū)間[a,b]上有第一類間斷點時，還能否用牛頓-來布尼茲公式計算定積分？25/587.3.1定積分換元法26/58幾點說明：“換元必換限”,(原)上(下)限對(新)上(下)限.從右到左應用上公式,相稱于不定積分第一換元法(湊微分法).一般不設出新積分變量,這時,原積分上、下限不變.只要求出被積函數(shù)一種原函數(shù),就可直接應用牛頓-萊布尼茲公式求出定積分值.從左到右應用上公式,相稱于不定積分第二換元法,這時換元必換限,不用回代,這與不定積分第二換元法是完全不一樣.27/58例題：換元必換限28/5829/58說明：這一解法沒有引入新積分變量，計算時，原積分上、下限不要變化。比較以上幾個例子可知，對于能用“湊微分法”求原函數(shù)積分，應盡也許用此辦法，從而簡化計算。30/58aaaa31/58證:

(1)在第一種積分中(2)由(1)證明過程可知32/58例5.證明

證:尤其地有33/58思考題：34/587.3.2分部積分法定理2.設u(x),v(x)在[a,b]上有連續(xù)導數(shù),則有上式稱為定積分分部積分公式此公式應用關鍵是：選用。35/58例1.

解:由公式得36/58例2.

解:

37/58例3.

解:

38/58則而易求得則當n為偶數(shù)時則當n為奇數(shù)時39/58思考題解令40/58思考題分析正確解法是41/58小結積分辦法換元法分部積分法湊微分法第二換元法換元必換限u與dv選用42/587.4.1無窮區(qū)間上廣義積分43/5844/5845/58例1計算廣義積分解46/58例2計算廣義積分解47/58證48/58證49/587.4.2無