第1章勾股定理 自主提升練習題 2023-2024學年北師大版數(shù)學八年級上冊含答案

第第頁第1章勾股定理自主提升練習題2023—2024學年北師大版數(shù)學八年級上冊（含答案）2023-2024學年北師大版八年級數(shù)學上冊《第1章勾股定理》

單元自主提升訓練題（附答案）

一、單選題

1．在中，的對應邊分別是，則下列式子成立的是（）

A．B．C．D．

2．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（）

A．，，B．，，C．，，D．，，

3．直角三角形兩直角邊分別為和，則其斜邊的高為（）

A．B．C．D．

4．如圖，在中，，點D是上的一點，且，則的值為（）

A．4B．9C．16D．25

5．如圖，所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C的面積依次為4，8，6，則正方形D的面積為（）

A．10B．12C．16D．18

6．如圖，在矩形紙片中，，，點在上，將沿折疊，使點落在對角線上的點處，則的長為（）

A．B．C．D．

7．小明同學經(jīng)常要測量學校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿的繩子剛好垂到地面上，當他把繩子下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)這時繩子的下端正好距地面1m，學校旗桿的高度是（）

A．13mB．21mC．10mD．17m

8．如圖是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是，高是，上底面中心有一個小圓孔，則一條長的直吸管露在罐外部分的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計）范圍是（）

A．B．C．D．

二、填空題

9．如圖，中，，若是的高線，則．

10．如圖，在中，，將按如圖方式折疊，使點B與點A重合，折痕為，則的長為．

11．如圖所示，一棵高的樹被風刮斷了，樹頂落在離樹根處，則折斷處的高度為．

12．如圖，四邊形是正方形，直線a，b，c分別通過A、D、C三點，且．若a與b之間的距離是2，b與c之間的距離是7，則正方形的面積是．

13．一輪船以海里時的速度從港向東北方向航行，另一艘船同時以海里時的速度從港向西北方向航行，經(jīng)過小時后，它們相距海里．

14．如圖，小方格都是邊長為1的正方形，則中邊上的高是．

15．如圖，露在水面的魚線長為3m，釣魚者把魚竿提起到的位置，此時露在水面上的魚線長為4m，若的長為1m，則釣魚竿的長為m．

16．如圖：長方形的邊沿折疊，使點落在上的點處，已知，的面積是，則的值為

三、解答題

17．綠都農場有一塊菜地如圖所示，現(xiàn)測得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求這塊菜地的面積．

18．已知：如圖，在中，于點D，E為AC上一點，且，．

(1)求證：；

(2)已知，，求AF的長．

19．《九章算術》是我國古代的一部數(shù)學專注，是“算經(jīng)十書”中最重要的一種，它收錄了246個與生產、生活實踐有關的實際問題，是我國古代勞動人民智慧的結晶．在的第九章“勾股”中有這樣一個問題：今有池方一丈，葭生其上都，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何．（葭即蘆葦，一丈等于十尺）．這道題的意思是：有一個水池子，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正上都有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向水池的一邊，它的頂端剛好到達池邊的水面，水深和蘆葦?shù)拈L度分別是多少尺？

20．如圖，梯子斜靠在豎直的墻上，為，為．

(1)求梯子的長；

(2)梯子的頂端A沿墻下滑到點C，梯子底端B外移到點D，求的長．

21．通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決下列問題：

【模型呈現(xiàn)】

(1)如圖，，，過點作于點，過點作于點．由，得．又，可以推理得到．進而得到__________，．我們把這個數(shù)學模型稱為“字”模型或“一線三等角”模型；

【模型應用】

(2)如圖，，，，連接，，且于點，與直線交于點．求證：點是的中點；

【深入探究】

(3)如圖，已知四邊形和為正方形，的面積為，的面積為，則有__________（填“＞、、＜”）

(4)如圖，點、、、、都在同一條直線上，四邊形、、都是正方形，若該圖形總面積是16，正方形的面積是4，則的面積是__________．

參考答案

1．解：∵在中，的對應邊分別是，

∴為斜邊，為直角邊，

∴，

故選：A．

2．解：A．選項所以A選項不是勾股數(shù)，

B．選項所以B選項是勾股數(shù)

C．選項但是3個數(shù)都不是整數(shù)，所以C選項不是勾股數(shù)，

D．選項所以D選項不是勾股數(shù)，

故選B．

3．解：∵直角三角形的兩條直角邊分別為，，，

∴斜邊為，

設斜邊上的高為，則

，解得．

故選：D．

4．解：在中，①，

在中，②，

①②得：

故選：C．

5．解：由題意：，，

∵正方形A、B、C的面積依次為4、8、6，

∴，

∴，故D正確．

故選：D．

6．解：，，

，

，

根據(jù)折疊可得：，

，

設，則，，

在中：，

解得：，

故選：．

7．解：如圖，已知，，，米，米，

設米．

在中，

∵，

∴，

∴，

∴米，

故選：A．

8．解：如圖，當直吸管下端恰好位于罐底的圓周上時，

∵，，

∴由勾股定理得：，

∴；

當直吸管下端恰好位于罐底的中心時，則罐體內直吸管長為罐體的高，即為，

∴，

綜上所述，直吸管露在罐外部分的長度范圍為．

故選：A

9．解：∵中，，

∴，

∴，

∴．

故答案為：．

10．解：由折疊的性質可得，

設，則，

在中，由勾股定理得：，

∴，

解得，

∴，

故答案為：．

11．解：由題意得：，，，

，

設，則，

∴，

解得：，

米，

折斷處的高度為．

故答案為：5．

12．解：如圖：過A作直線b于M，過D作直線c于N，

則，

∵，直線c，

∴，

∵四邊形是正方形，

∴，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵a與b之間的距離是2，b與c之間的距離是7，

∴，

在中，由勾股定理得：，

即正方形的面積為53，

故答案為：53．

13．解：如圖，由題意可知

，

在中

故它們相距30海里．

故答案為：30

14．解：設上的高為，

而，

∴，

∵，

∴，

解得：

故答案為：

15．解：設，

∵，

∴，

即，

解得：，

∴，

∴，

故答案為：5．

16．解：∵四邊形是長方形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

由折疊的性質：，

∴，

∴．

故答案為：．

17．解：如圖，連接AC，

∵CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，

∴AC＝

＝

＝5m．

∴SRt△ADC＝＝6m2．

在△CAB中，AC＝5m，AB＝12m，BC＝13m，

∴，

∴△CAB為直角三角形，且∠CAB＝90°，

∴SRt△CAB＝＝30m2，

∴菜地的面積＝S△CAB－S△ADC＝24m2．

18．（1）證明：∵于點，

∴，

在與中，

∵，

∴；

（2）解：∵，

∴，，

在中，，

∴，

∴．

19．解：∵水面邊長為10尺，蘆葦在正上都，

∴BD=5，

由題意可得：AB=1，設BC=x，則AC=CD=x+1，

在△BCD中，，

即，

解得：x=12，

∴AC=x+1=13，

即水深為12尺，蘆葦13尺．

20．（1）解：在中，

由勾股定理得：

．

（2）解：由題意得：，

∴，

在中，由勾股定理得：

，

∴．

21．（1）解：∵，

∴；

（2）證明：分別過點和點作于點，于點，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，，，

∴，

∴，

同理可證，

∴．

∵，，

∴，

在和中，

，，，

∴，

∴，

即點是的中點；

（3）解：如圖所示，過點D作交AF于O，過點E作交OD延長線于N，過點C作交OD延長線于M．

∵