人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊4.3.1第二課時(shí) 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 同步訓(xùn)練含解析

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4.3.1第二課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用同步訓(xùn)練（原卷版）

[A級基礎(chǔ)鞏固]

1．等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項(xiàng)等于()

A．－24B．0

C．12D．24

2．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，an＋1A.D．

C.D．

3．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，則a1·a15的值為()

A．100B．－100

C．10000D．－10000

4．在等比數(shù)列{an}中，Tn表示前n項(xiàng)的積，若T5＝1，則()

A．a(chǎn)1＝1B．a(chǎn)3＝1

C．a(chǎn)4＝1D．a(chǎn)5＝1

5．已知等比數(shù)列{an}中，a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9等于()

A．2B．4

C．8D．16

6．在3和一個(gè)未知數(shù)間填上一個(gè)數(shù)，使三數(shù)成等差數(shù)列，若中間項(xiàng)減去6，成等比數(shù)列，則此未知數(shù)是________．

7．設(shè)數(shù)列{an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a6＋a7＝________.

8．畫一個(gè)邊長為2厘米的正方形，再以這個(gè)正方形的對角線為邊畫第2個(gè)正方形，以第2個(gè)正方形的對角線為邊畫第3個(gè)正方形，這樣一共畫了10個(gè)正方形，則第10個(gè)正方形的面積等于________平方厘米．

9．在由實(shí)數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.

10．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

[B級綜合運(yùn)用]

11．設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，則a3·a6·a9·…·a30＝()

A．230B．210

C．220D．215

12．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足：a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則滿足Tn＞1的最大正整數(shù)n的值為()

A．11B．12

C．13D．14

13．若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則a3a18＝________，lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.

14．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差d≠0，由{an}中的部分項(xiàng)組成的數(shù)列ab1，ab2，…，abn，…為等比數(shù)列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．

[C級拓展探究]

容器A中盛有濃度為a%的農(nóng)藥mL，容器B中盛有濃度為b%的同種農(nóng)藥mL，A，B兩容器中農(nóng)藥的濃度差為20%(a>b)，先將A中農(nóng)藥的倒入B中，混合均勻后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持mL，問至少經(jīng)過多少次這樣的操作，兩容器中農(nóng)藥的濃度差小于1%

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊

4.3.1第二課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用同步訓(xùn)練（解析版）

[A級基礎(chǔ)鞏固]

1．等比數(shù)列x,3x＋3,6x＋6，…的第四項(xiàng)等于()

A．－24B．0

C．12D．24

解析：選A由題意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比數(shù)列的前3項(xiàng)是－3，－6，－12，則第四項(xiàng)為－24.

2．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，an＋1A.D．

C.D．

解析：選D法一：設(shè)公比為q，則由等比數(shù)列{an}各項(xiàng)為正數(shù)且an＋1∴a5＝，a4＋a6＝＋q＝5.

解得q＝，∴＝＝2＝.

法二：設(shè)公比為q，由an＞0，且an＋1＜an知0＜q＜1.

∵a2·a8＝a4·a6＝6，

∴則或(舍)．

∴q2＝＝，

∴＝＝.

3．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，則a1·a15的值為()

A．100B．－100

C．10000D．－10000

解析：選C∵a3a8a13＝a，∴l(xiāng)g(a3a8a13)＝lga＝3lga8＝6.∴a8＝100.∴a1a15＝a＝10000，故選C.

4．在等比數(shù)列{an}中，Tn表示前n項(xiàng)的積，若T5＝1，則()

A．a(chǎn)1＝1B．a(chǎn)3＝1

C．a(chǎn)4＝1D．a(chǎn)5＝1

解析：選B由題意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又因?yàn)閍1·a5＝a2·a4＝a，所以a＝1，得a3＝1.

5．已知等比數(shù)列{an}中，a3a11＝4a7，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，且b7＝a7，則b5＋b9等于()

A．2B．4

C．8D．16

解析：選C等比數(shù)列{an}中，a3a11＝a＝4a7，解得a7＝4，等差數(shù)列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.

6．在3和一個(gè)未知數(shù)間填上一個(gè)數(shù)，使三數(shù)成等差數(shù)列，若中間項(xiàng)減去6，成等比數(shù)列，則此未知數(shù)是________．

解析：設(shè)此三數(shù)為3，a，b，則

解得或所以這個(gè)未知數(shù)為3或27.

答案：3或27

7．設(shè)數(shù)列{an}為公比q>1的等比數(shù)列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的兩根，則a6＋a7＝________.

解析：由題意得a4＝，a5＝，∴q＝＝3.

∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝×32＝18.

答案：18

8．畫一個(gè)邊長為2厘米的正方形，再以這個(gè)正方形的對角線為邊畫第2個(gè)正方形，以第2個(gè)正方形的對角線為邊畫第3個(gè)正方形，這樣一共畫了10個(gè)正方形，則第10個(gè)正方形的面積等于________平方厘米．

解析：這10個(gè)正方形的邊長構(gòu)成以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，

則第10個(gè)正方形的面積S＝a＝2＝211＝2048.

答案：2048

9．在由實(shí)數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.

解：法一：由條件得

由②得a＝512，即a7＝8.

將其代入①得2q8－5q4＋2＝0.

解得q4＝或q4＝2，即q＝±或q＝±.

法二：∵a3a11＝a2a12＝a，

∴a＝512，即a7＝8.

于是有

即a3和a11是方程x2－20x＋64＝0的兩根，解此方程得x＝4或x＝16.

因此或

又∵a11＝a3·q8，

∴q＝±＝±4＝±或q＝±＝±.

10．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

解：∵a1a5＝a，a3a7＝a，

∴由題意，得a－2a3a5＋a＝36，

同理得a＋2a3a5＋a＝100，

∴即

解得或

分別解得或

∴an＝2n－2或an＝26－n.

[B級綜合運(yùn)用]

11．設(shè)各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，則a3·a6·a9·…·a30＝()

A．230B．210

C．220D．215

解析：選C∵a1·a2·a3·…·a30＝230，

∴a·q1＋2＋3＋…＋29＝a·q＝230，

∴a1＝2－，

∴a3·a6·a9·…·a30＝a·(q3)

＝(2－×22)10×(23)45＝220.

12．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足：a1＞1，a6＋a7＞a6a7＋1＞2，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則滿足Tn＞1的最大正整數(shù)n的值為()

A．11B．12

C．13D．14

解析：選B∵a6＋a7＞a6a7＋1＞2，

∴

∵a1＞1，∴

由a6a7＞1得a1a12＝a2a11＝…＝a6a7＞1，∴T12＞1，

∵a7＜1，∴a1a13＝a2a12＝…＝a＜1，∴T13＜1，

∴n的最大值為12，故選B.

13．若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則a3a18＝________，lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.

解析：因?yàn)閧an}為等比數(shù)列，所以a1a20＝a2a19＝…＝a9a12＝a10a11.又a10a11＋a9a12＝2e5，所以a3a18＝a10a11＝a9a12＝e5，所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝lne50＝50.

答案：e550

14．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差d≠0，由{an}中的部分項(xiàng)組成的數(shù)列ab1，ab2，…，abn，…為等比數(shù)列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．

解：依題意a＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)，所以a1d＝2d2，因?yàn)閐≠0，所以a1＝2d，數(shù)列{abn}的公比q＝＝＝3，

所以abn＝a13n－1，①

又abn＝a1＋(bn－1)d＝a1，②

由①②得a1·3n－1＝·a1.

因?yàn)閍1＝2d≠0，所以bn＝2×3n－1－1.

[C級拓展探究]

15．容器A中盛有濃度為a%的農(nóng)藥mL，容器B中盛有濃度為b%的同種農(nóng)藥mL，A，B兩容器中農(nóng)藥的濃度差為20%(a>b)，先將A中農(nóng)藥的倒入B中，混合均勻后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持mL，問至少經(jīng)過多少次這樣的操作，兩容器中農(nóng)藥的濃度差小于1%

解：設(shè)第n次操作后，A中農(nóng)藥的濃度為an，B中農(nóng)藥的濃度為bn，則a0＝