2023年廣東省深圳市南山區(qū)部分學(xué)校中考數(shù)學(xué)模擬試卷含解析

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一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1．（3分）|﹣2023|的倒數(shù)是（）

A．﹣2023B．﹣C．D．2023

2．（3分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A．B．

C．D．

3．（3分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，某城市去年接待旅游人數(shù)約為77000000人，77000000這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A．7.7×106B．7.7×105C．7.7×107D．7.7×108

4．（3分）如圖是由5個(gè)相同的小正方體組合而成的立體圖形，其主視圖是（）

A．B．

C．D．

5．（3分）矩形ABCD內(nèi)放入兩張邊長(zhǎng)分別為a和b（a＞b）的正方形紙片，按照?qǐng)D①放置，矩形紙片沒(méi)有被兩個(gè)正方形覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為S1；按照?qǐng)D②放置，矩形紙片沒(méi)有被兩個(gè)正方形覆蓋的部分面積為S2；按圖③放置，矩形紙片沒(méi)有被兩個(gè)正方形覆蓋的部分的面積為S3，已知S1﹣S3＝3，S2﹣S3＝12，設(shè)AD﹣AB＝m，則下列值是常數(shù)的是（）

A．maB．mbC．mD．a(chǎn)+b

6．（3分）疫情期間，某商店連續(xù)7天銷售口罩的盒數(shù)分別為10，12，14，13，12，12，11．關(guān)于這組數(shù)據(jù)，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．眾數(shù)是12B．平均數(shù)是12C．中位數(shù)是12D．方差是12

7．（3分）下列三幅圖都是“作已知三角形的高”的尺規(guī)作圖過(guò)程，其中作圖正確的是（）

A．（1）（2）（3）B．（1）（2）C．（1）（3）D．（2）（3）

8．（3分）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（x1，y1），B（x2，y2），下列命題：

①若x1＜x2則y1＞y2；

②若x1+x2＝0，y1+y2＝0；

③過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸，垂足為M點(diǎn)，作AN⊥y軸，垂足為N點(diǎn)，若m＝4，則四邊形AMON的面積為17，其中真命題的個(gè)數(shù)是（）個(gè)

A．0B．1C．2D．3

9．（3分）二果問(wèn)價(jià)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《四元玉鑒》“九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個(gè)十一文，苦果七個(gè)四文錢，試問(wèn)甜果苦果各幾個(gè)？”設(shè)甜果為x個(gè)，苦果y個(gè)，下列方程組表示正確的是（）

A．

B．

C．

D．

10．（3分）如圖，在ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝8，AD＝6．⊙O分別切邊AB，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且圓心O好落在DE上．現(xiàn)將⊙O沿AB方向滾動(dòng)到與BC邊相切（點(diǎn)O在ABCD的內(nèi)部），則圓心O移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）

A．2B．4C．5﹣D．8﹣2

二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

11．（3分）分解因式：

（1）x4﹣y4＝；

（2）m2﹣4m2n2＝．

12．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1、x2（x1＜x2），則x1+x2＝．

13．（3分）如圖，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球A與樓的水平距離為120m，這棟樓的高度BC是m．（≈1.732，結(jié)果取整數(shù)）

14．（3分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝15，點(diǎn)E在邊BC上．且∠AED＝90°，P是射線ED上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若△AEP是等腰直角三角形，則CP的長(zhǎng)為．

15．（3分）如圖，已知ABCD，AB＝3，AD＝8，將ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AEFG，且點(diǎn)G落在對(duì)角線AC上，延長(zhǎng)AB交EF于點(diǎn)H，則FH的長(zhǎng)為．

三．解答題（共7小題，滿分55分）

16．（5分）計(jì)算：．

17．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：（+x﹣1）÷，其中x滿足x2﹣x﹣5＝0．

18．（8分）疫苗接種初期，為更好地響應(yīng)國(guó)家對(duì)符合條件的人群接種新冠疫苗的號(hào)召，某市教育部門隨機(jī)抽取了該市部分七、八、九年級(jí)教師，了解教師的疫苗接種情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：

已接種未接種合計(jì)

七年級(jí)301040

八年級(jí)3515a

九年級(jí)40b60

合計(jì)105c150

（1）表中，a＝，b＝，c＝；

（2）由表中數(shù)據(jù)可知，統(tǒng)計(jì)的教師中接種率最高的是年級(jí)教師；（填“七”或“八”或“九”）

（3）若該市初中七、八、九年級(jí)一共約有8000名教師，根據(jù)抽樣結(jié)果估計(jì)未接種的教師約有人；

（4）為更好地響應(yīng)號(hào)召，立德中學(xué)從最初接種的4名教師（其中七年級(jí)1名，八年級(jí)1名，九年級(jí)2名）中隨機(jī)選取2名教師談?wù)劷臃N的感受，請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法，求選中的兩名教師恰好不在同一年級(jí)的概率．

19．（8分）隨著國(guó)家人口政策的調(diào)整，我市的小學(xué)生人數(shù)增速較快．某小學(xué)為了緩解學(xué)生用餐擁擠，計(jì)劃購(gòu)進(jìn)某種餐桌、餐椅，如表是某商場(chǎng)給出的報(bào)價(jià)表：

零售價(jià)（元/張）成套售價(jià)（元/套）

餐桌a400

餐椅a﹣70

若以零售價(jià)購(gòu)入餐桌和餐椅，且用750元購(gòu)進(jìn)的餐桌數(shù)量與用400元購(gòu)進(jìn)的餐椅數(shù)量相同．

（1）求每張餐桌和餐椅的零售價(jià)．

（2）采購(gòu)人員計(jì)劃購(gòu)進(jìn)餐椅的數(shù)量是餐桌數(shù)量的6倍還多10張，且餐桌和餐椅的總數(shù)量不少于220張．如果成套購(gòu)買可享受該商場(chǎng)的成套售價(jià)（一張餐桌和四張餐椅配成一套），采購(gòu)人員決定先成套購(gòu)買，其余餐椅以零售價(jià)購(gòu)入．設(shè)購(gòu)進(jìn)餐桌的數(shù)量為x（張），總價(jià)為W（元），求關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出總價(jià)最低時(shí)的進(jìn)貨方案．

20．（8分）某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時(shí)，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培蔬菜．某天恒溫系統(tǒng)從開(kāi)啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度y（℃）與時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中BC段是恒溫階段，CD段是某反比例函數(shù)圖象的一部分，請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問(wèn)題：

（1）求a的值；

（2）大棚里栽培的一種蔬菜在溫度為12℃到20℃的條件下最適合生長(zhǎng)，若某天恒溫系統(tǒng)開(kāi)啟前的溫度是10℃，那么這種蔬菜一天內(nèi)最適合生長(zhǎng)的時(shí)間有多長(zhǎng)？

21．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線G：y1＝mx2+nx+m+1（m為常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，且過(guò)點(diǎn)A（1，2n），B（t，c1）．

（1）求證：無(wú)論m為何值，點(diǎn)P必在同一條直線上；

（2）若點(diǎn)C（t，c2）在函數(shù)y2的圖象H上，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)t，都有點(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于D（t，t）對(duì)稱，函數(shù)y2的圖象H與拋物線G從左到右依次交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．

①若點(diǎn)E，F(xiàn)中有一個(gè)落在坐標(biāo)軸上時(shí)，求y2函數(shù)的表達(dá)式；

②在①的條件下，若c1﹣c2＞0，試問(wèn)四邊形BECF能否是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出四邊形BECF面積的最大值．

22．（10分）如圖，直線y＝與雙曲線y＝（k≠0）交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，﹣3），點(diǎn)C是雙曲線第一象限分支上的一點(diǎn)，連接BC并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，且BC＝2CD．

（1）求k的值并直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)G是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接GB，GC，求GB+GC的最小值；

（3）P是坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，Q，使得四邊形ABPQ是矩形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2023年廣東省深圳市南山區(qū)部分學(xué)校中考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1．（3分）|﹣2023|的倒數(shù)是（）

A．﹣2023B．﹣C．D．2023

【答案】C

【解答】解：|﹣2023|＝2023，

2023的倒數(shù)是．

故選：C．

2．（3分）下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解答】解：A、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B、既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C、既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

D、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意．

故選：C．

3．（3分）據(jù)統(tǒng)計(jì)，某城市去年接待旅游人數(shù)約為77000000人，77000000這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A．7.7×106B．7.7×105C．7.7×107D．7.7×108

【答案】C

【解答】解：77000000＝7.7×107．

故選：C．

4．（3分）如圖是由5個(gè)相同的小正方體組合而成的立體圖形，其主視圖是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【解答】解：從幾何體的正面看，一共有三列，從左到右小正方形的個(gè)數(shù)分別為3、1、1，

故選：A．

5．（3分）矩形ABCD內(nèi)放入兩張邊長(zhǎng)分別為a和b（a＞b）的正方形紙片，按照?qǐng)D①放置，矩形紙片沒(méi)有被兩個(gè)正方形覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為S1；按照?qǐng)D②放置，矩形紙片沒(méi)有被兩個(gè)正方形覆蓋的部分面積為S2；按圖③放置，矩形紙片沒(méi)有被兩個(gè)正方形覆蓋的部分的面積為S3，已知S1﹣S3＝3，S2﹣S3＝12，設(shè)AD﹣AB＝m，則下列值是常數(shù)的是（）

A．maB．mbC．mD．a(chǎn)+b

【答案】B

【解答】解：由，

可得：S2﹣S1＝9，

由圖①得：S矩形ABCD＝S1+a2+b（AD﹣a），

由圖②得：S矩形ABCD＝S2+a2+b（AB﹣a），

∴S1+a2+b（AD﹣a）＝S2+a2+b（AB﹣a），

∴S2﹣S1＝b（AD﹣AB），

∵AD﹣AB＝m，

∴mb＝9．

故選：B．

6．（3分）疫情期間，某商店連續(xù)7天銷售口罩的盒數(shù)分別為10，12，14，13，12，12，11．關(guān)于這組數(shù)據(jù)，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．眾數(shù)是12B．平均數(shù)是12C．中位數(shù)是12D．方差是12

【答案】D

【解答】解：A、12出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是12，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；

B、這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)：＝12，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、把這些數(shù)從小到大排列為：10，11，12，12，12，13，14，中位數(shù)是12，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；

D、方差是：×[（10﹣12）2+（11﹣12）2+3×（12﹣12）2+（13﹣12）2+（14﹣12）2]＝，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

故選：D．

7．（3分）下列三幅圖都是“作已知三角形的高”的尺規(guī)作圖過(guò)程，其中作圖正確的是（）

A．（1）（2）（3）B．（1）（2）C．（1）（3）D．（2）（3）

【答案】A

【解答】解：圖（1）和圖（2）中，由“到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”可知，AJ垂直平分GH，BC垂直平分AK，故作圖正確；

圖（3）中，依據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角等于90°”可知，BC所對(duì)的圓周角為直角，故作圖正確；

故選：A．

8．（3分）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（x1，y1），B（x2，y2），下列命題：

①若x1＜x2則y1＞y2；

②若x1+x2＝0，y1+y2＝0；

③過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸，垂足為M點(diǎn)，作AN⊥y軸，垂足為N點(diǎn)，若m＝4，則四邊形AMON的面積為17，其中真命題的個(gè)數(shù)是（）個(gè)

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

【解答】解：①∵，比例系數(shù)k＝m2+1＞0，

∴圖象分別位于第一、三象限，在所在的每一個(gè)象限y隨著x的增大而減小，

∴當(dāng)x1＜0＜x2，則y1＜0＜y2，

故①是假命題；

②當(dāng)A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，x1+x2＝0，則y1+y2＝0，

故②是真命題；

③若m＝4，則k＝m2+1＝17．

過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸，垂足為M點(diǎn)，作AN⊥y軸，垂足為N點(diǎn)，則四邊形AMON的面積為17，

故③是真命題；

真命題有2個(gè)．

故選：C．

9．（3分）二果問(wèn)價(jià)源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《四元玉鑒》“九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個(gè)十一文，苦果七個(gè)四文錢，試問(wèn)甜果苦果各幾個(gè)？”設(shè)甜果為x個(gè)，苦果y個(gè)，下列方程組表示正確的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解答】解：設(shè)甜果為x個(gè)，苦果y個(gè)，

由題意可得，

，

故選：C．

10．（3分）如圖，在ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝8，AD＝6．⊙O分別切邊AB，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)，且圓心O好落在DE上．現(xiàn)將⊙O沿AB方向滾動(dòng)到與BC邊相切（點(diǎn)O在ABCD的內(nèi)部），則圓心O移動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）

A．2B．4C．5﹣D．8﹣2

【答案】B

【解答】解：連接OE，OA、BO．

∵AB，AD分別與⊙O相切于點(diǎn)E、F，

∴OE⊥AB，OF⊥AD，

∴∠OAE＝∠OAD＝30°，

在Rt△ADE中，AD＝6，∠ADE＝30°，

∴AE＝AD＝3，

∴OE＝AE＝，

∵AD∥BC，∠DAB＝60°，

∴∠ABC＝120°．

設(shè)當(dāng)運(yùn)動(dòng)停止時(shí)，⊙O′與BC，AB分別相切于點(diǎn)M，N，連接O′N，O′M．

同理可得，∠BO′N為30°，且O′N為，

∴BN＝O′Ntan30°＝1cm，

EN＝AB﹣AE﹣BN＝8﹣3﹣1＝4．

∴⊙O滾過(guò)的路程為4．

故選：B．

二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）

11．（3分）分解因式：

（1）x4﹣y4＝（x2+y2）（x﹣y）（x+y）；

（2）m2﹣4m2n2＝m2（1﹣2n）（1+2n）．

【答案】（1）（x2+y2）（x﹣y）（x+y）；

（2）m2（1﹣2n）（1+2n）．

【解答】解：（1）x4﹣y4＝（x2+y2）（x2﹣y2）

＝（x2+y2）（x﹣y）（x+y）；

（2）m2﹣4m2n2＝m2（1﹣4n2）

＝m2（1﹣2n）（1+2n）．

故答案為：（1）（x2+y2）（x﹣y）（x+y）；

（2）m2（1﹣2n）（1+2n）．

12．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1、x2（x1＜x2），則x1+x2＝2．

【答案】2．

【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的解是x1、x2（x1＜x2），

∴x1+x2＝2．

故答案為：2．

13．（3分）如圖，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球A與樓的水平距離為120m，這棟樓的高度BC是277m．（≈1.732，結(jié)果取整數(shù)）

【答案】277m．

【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，如圖所示：

則∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120m，

在Rt△ABD中，BD＝ADtan30°＝120×＝40（m），

在Rt△ACD中，CD＝ADtan60°＝120×＝120（m），

∴BC＝BD+CD＝160≈277（m）．

故答案為：277．

14．（3分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝15，點(diǎn)E在邊BC上．且∠AED＝90°，P是射線ED上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若△AEP是等腰直角三角形，則CP的長(zhǎng)為3或3．

【答案】3或3．

【解答】解：如圖1，當(dāng)BE＜CE時(shí)，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠DCE＝90°，CD＝AB＝6，

∵∠AED＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠CED＝90°，

∴∠BAE＝∠CED，

∴△ABE∽△ECD，

∴，

∴，

∴BE＝3，

∴CE＝12，

過(guò)P作PQ⊥BC于Q，

∴∠PQE＝∠B＝90°，

在△ABE與△EQP中，

，

∴△ABE≌△EQP（AAS），

∴EQ＝AB＝6，PQ＝BE＝3，

∴CQ＝15﹣6﹣3＝6，

∴CP＝＝3；

如圖2，當(dāng)BE＞CE時(shí)，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝∠DCE＝90°，CD＝AB＝6，

∵∠AED＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝∠AEB+∠CED＝90°，

∴∠BAE＝∠CED，

∴△ABE∽△ECD，

∴，

∴，

∴BE＝12，

∴CE＝3，

過(guò)P作PQ⊥BC于Q，

∴∠PQE＝∠B＝90°，

在△ABE與△EQP中，

，

∴△ABE≌△EQP（AAS），

∴EQ＝AB＝6，PQ＝BE＝12，

∴CQ＝12+6﹣15＝3，

∴CP＝＝3；

綜上所述，CP的長(zhǎng)為3或3，

故答案為：3或3．

15．（3分）如圖，已知ABCD，AB＝3，AD＝8，將ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AEFG，且點(diǎn)G落在對(duì)角線AC上，延長(zhǎng)AB交EF于點(diǎn)H，則FH的長(zhǎng)為．

【答案】．

【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝8，∠D＝∠ABC，

∵將ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AEFG，且點(diǎn)G落在對(duì)角線AC上，

∴∠DAG＝∠BAE，AE＝AB＝3，EF＝BC＝8，∠E＝∠ABC，

∴∠E＝∠D，

∵∠DAC＝∠HAE，

∴△ADC∽△AEH，

∴，

∴，

∴EH＝，

∴FH＝EF﹣EH＝8﹣＝，

故答案為：．

三．解答題（共7小題，滿分55分）

16．（5分）計(jì)算：．

【答案】8．

【解答】解：

＝

＝8．

17．（6分）先化簡(jiǎn)，再求值：（+x﹣1）÷，其中x滿足x2﹣x﹣5＝0．

【答案】﹣11．

【解答】解：原式＝﹣（x﹣1）

＝﹣2x2+2x﹣1

＝﹣2（x2﹣x）﹣1，

由x2﹣x﹣5＝0，得到x2﹣x＝5，

則原式＝﹣10﹣1＝﹣11．

18．（8分）疫苗接種初期，為更好地響應(yīng)國(guó)家對(duì)符合條件的人群接種新冠疫苗的號(hào)召，某市教育部門隨機(jī)抽取了該市部分七、八、九年級(jí)教師，了解教師的疫苗接種情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：

已接種未接種合計(jì)

七年級(jí)301040

八年級(jí)3515a

九年級(jí)40b60

合計(jì)105c150

（1）表中，a＝50，b＝20，c＝45；

（2）由表中數(shù)據(jù)可知，統(tǒng)計(jì)的教師中接種率最高的是七年級(jí)教師；（填“七”或“八”或“九”）

（3）若該市初中七、八、九年級(jí)一共約有8000名教師，根據(jù)抽樣結(jié)果估計(jì)未接種的教師約有2400人；

（4）為更好地響應(yīng)號(hào)召，立德中學(xué)從最初接種的4名教師（其中七年級(jí)1名，八年級(jí)1名，九年級(jí)2名）中隨機(jī)選取2名教師談?wù)劷臃N的感受，請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法，求選中的兩名教師恰好不在同一年級(jí)的概率．

【答案】（1）50，20，45；

（2）七；

（3）2400；

（4）．

【解答】解：（1）a＝35+15＝50，b＝60﹣40＝20，c＝10+15+20＝45，

故答案為：50，20，45；

（2）七年級(jí)教師的接種率為：30÷40×100%＝75%，八年級(jí)教師的接種率為：35÷50×100%＝70%，九年級(jí)教師的接種率為：40÷60×100%≈67%，

∵75%＞70%＞67%，

∴統(tǒng)計(jì)的教師中接種率最高的是七年級(jí)教師，

故答案為：七；

（3）根據(jù)抽樣結(jié)果估計(jì)未接種的教師約有：8000×＝2400（人），

故答案為：2400；

（4）把七年級(jí)1名教師記為A，八年級(jí)1名教師記為B，九年級(jí)2名教師記為C、D，

畫樹(shù)狀圖如圖：

共有12種等可能的結(jié)果，選中的兩名教師恰好不在同一年級(jí)的結(jié)果有10種，

∴選中的兩名教師恰好不在同一年級(jí)的概率為＝．

19．（8分）隨著國(guó)家人口政策的調(diào)整，我市的小學(xué)生人數(shù)增速較快．某小學(xué)為了緩解學(xué)生用餐擁擠，計(jì)劃購(gòu)進(jìn)某種餐桌、餐椅，如表是某商場(chǎng)給出的報(bào)價(jià)表：

零售價(jià)（元/張）成套售價(jià)（元/套）

餐桌a400

餐椅a﹣70

若以零售價(jià)購(gòu)入餐桌和餐椅，且用750元購(gòu)進(jìn)的餐桌數(shù)量與用400元購(gòu)進(jìn)的餐椅數(shù)量相同．

（1）求每張餐桌和餐椅的零售價(jià)．

（2）采購(gòu)人員計(jì)劃購(gòu)進(jìn)餐椅的數(shù)量是餐桌數(shù)量的6倍還多10張，且餐桌和餐椅的總數(shù)量不少于220張．如果成套購(gòu)買可享受該商場(chǎng)的成套售價(jià)（一張餐桌和四張餐椅配成一套），采購(gòu)人員決定先成套購(gòu)買，其余餐椅以零售價(jià)購(gòu)入．設(shè)購(gòu)進(jìn)餐桌的數(shù)量為x（張），總價(jià)為W（元），求關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出總價(jià)最低時(shí)的進(jìn)貨方案．

【答案】（1）每張餐桌和餐椅的零售價(jià)分別為150元，80元；

（2）W＝560x+800（x≥30），總價(jià)最低的進(jìn)貨方案為：購(gòu)進(jìn)30張餐桌，190張餐椅．

【解答】解：（1）由題意得：，

解得a＝150，

經(jīng)檢驗(yàn)，a＝150是原方程的解并符合題意，

150﹣70＝80（元），

答：每張餐桌和餐椅的零售價(jià)分別為150元，80元；

（2）∵x+6x+10≥220，

∴x≥30，

由題意得：W＝400x+80（6x+10﹣4x）

＝560x+800，

∵k＝560＞0，

∴W的值隨x的增大而增大

當(dāng)x＝30時(shí)，總價(jià)最低，最低價(jià)為：560×30+800＝17600（元），6×30+10＝190，

∴W關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：W＝560x+800（x≥30），總價(jià)最低時(shí)的進(jìn)貨方案為：購(gòu)進(jìn)30張餐桌，190張餐椅．

20．（8分）某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時(shí)，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培蔬菜．某天恒溫系統(tǒng)從開(kāi)啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚內(nèi)溫度y（℃）與時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，其中BC段是恒溫階段，CD段是某反比例函數(shù)圖象的一部分，請(qǐng)根據(jù)圖中信息解答下列問(wèn)題：

（1）求a的值；

（2）大棚里栽培的一種蔬菜在溫度為12℃到20℃的條件下最適合生長(zhǎng)，若某天恒溫系統(tǒng)開(kāi)啟前的溫度是10℃，那么這種蔬菜一天內(nèi)最適合生長(zhǎng)的時(shí)間有多長(zhǎng)？

【答案】（1）a＝12；（2）這種蔬菜一天內(nèi)最適合生長(zhǎng)的時(shí)間有19.6小時(shí)．

【解答】解：（1）設(shè)CD對(duì)應(yīng)函數(shù)解析式為

把B（24，10）代入y＝（a≤x≤24）中得：

k＝24×10＝240，

∴y＝，

當(dāng)y＝20時(shí)，20＝，

解得x＝12，即a＝12；

（2）設(shè)AB的解析式為：y＝mx+n（0≤x≤2），

把（0，10）、（2，20）代入y＝mx+n中得：，

解得：，

∴AB的解析式為：y＝5x+10，

當(dāng)y＝12時(shí)，12＝5x+10，解得x＝0.4，

12＝，x＝20，

∴20﹣0.4＝19.6，

答：這種蔬菜一天內(nèi)最適合生長(zhǎng)的時(shí)間有19.6小時(shí)．

21．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線G：y1＝mx2+nx+m+1（m為常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，且過(guò)點(diǎn)A（1，2n），B（t，c1）．

（1）求證：無(wú)論m為何值，點(diǎn)P必在同一條直線上；

（2）若點(diǎn)C（t，c2）在函數(shù)y2的圖象H上，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)t，都有點(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于D（t，t）對(duì)稱，函數(shù)y2的圖象H與拋物線G從左到右依次交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．

①若點(diǎn)E，F(xiàn)中有一個(gè)落在坐標(biāo)軸上時(shí)，求y2函數(shù)的表達(dá)式；

②在①的條件下，若c1﹣c2＞0，試問(wèn)四邊形BECF能否是平行四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由，并求出四邊形BECF面積的最大值．

【答案】（1）證明見(jiàn)解答過(guò)程；

（2）①y2＝x2+3x；

②四邊形BECF能是平行四邊形，理由見(jiàn)解答過(guò)程，四邊形BECF面積的最大值為2．

【解答】（1）證明：∵A（1，2n）在拋物線y1＝mx2+nx+m+1上，

∴2n＝m+n+m+1，

∴n＝2m+1，

∴拋物線G的解析式為y1＝mx2+（2m+1）x+m+1，

∵拋物線G的頂點(diǎn)坐標(biāo)是P，

∴xP＝﹣，yP＝＝﹣，

即P（﹣，﹣），

令x＝﹣，y＝﹣，

∴2m＝﹣，

∴y＝﹣＝x+，

即點(diǎn)P在直線y＝x+；

（2）解：①∵點(diǎn)B（t，c1）和點(diǎn)C（t，c2）關(guān)于D（t，t）對(duì)稱，

∴D是BC中點(diǎn)，

∴c1+c2＝2t，即c1＝2t﹣c2，

∵B（t，c1）在拋物線y1＝mx2+（2m+1）x+m+1上，

∴c1＝mt2+（2m+1）t+m+1，

∴2t﹣c2＝mt2+（2m+1）t+m+1，

∴c2＝﹣mt2﹣（2m﹣1）t﹣m﹣1，

∴C（t，c2）在拋物線y2＝﹣mx2﹣（2m﹣1）x﹣m﹣1上，

在y1＝mx2+（2m+1）x+m+1中，令x＝0得y1＝m+1，令y＝0得x＝﹣1或x＝﹣，

∴拋物線y1＝mx2+（2m+1）x+m+1與y軸交于（0，m+1），與x軸交于（﹣1，0）或（﹣，0），

∵函數(shù)y2的圖象H與拋物線G從左到右依次交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若點(diǎn)E，F(xiàn)中有一個(gè)落在坐標(biāo)軸上，

∴拋物線y2＝﹣mx2﹣（2m﹣1）x﹣m﹣1過(guò)（0，m+1）或（﹣1，0）或（﹣，0），

當(dāng)拋物線y2＝﹣mx2﹣（2m﹣1）x﹣m﹣1過(guò)（0，m+1）時(shí)，有m+1＝﹣m﹣1，

∴m＝﹣1，此時(shí)y2＝x2+3x；

當(dāng)拋物線y2＝﹣mx2﹣（2m﹣1）x﹣m﹣1過(guò)（﹣1，0）時(shí)，有0＝﹣m﹣（2m﹣1）×（﹣1）﹣m﹣1，

等式不成立，這種情況不存在；

當(dāng)拋物線y2＝﹣mx2﹣（2m﹣1）x﹣m﹣1過(guò)（﹣，0）時(shí)，有0＝﹣m×（﹣）2﹣（2m﹣1）×（﹣）﹣m﹣1，

∴＝0，

∴m＝﹣1，此時(shí)y2＝x2+3x；

綜上所述，y2函數(shù)的表達(dá)式是y2＝x2+3x；

②四邊形BECF能是平行四邊形，理由如下：

如圖：

由①知m＝﹣1，此時(shí)y1＝mx2+（2m+1）x+m+1＝﹣x2﹣x，

由﹣x2﹣x＝x2+3x得x＝0或x＝﹣2，

∴E（﹣2，﹣2），F(xiàn)（0，0），

∵c1＝2t﹣c