2022-2023學(xué)年陜西省西工大名校高一下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題解析版

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西安工業(yè)大學(xué)附中2022-2023學(xué)年第二學(xué)期

高2025屆第二次課堂觀測(cè)數(shù)學(xué)試卷

一單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

【課堂習(xí)題】

1.已知，則（）

A.B.C.D.

【課堂習(xí)題】

2.已知△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，則滿足（）

A.2B.－2C.D.

【其他試題】

3.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若，則

B.若，則

C.若，則

D.若，則

【課堂習(xí)題】

4.從裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么“至少有2個(gè)黑球”的對(duì)立事件是（）

A.至少有1個(gè)紅球B.至少有1個(gè)黑球

C.至多有1個(gè)黑球D.至多2個(gè)紅球

【高考真題】

5.已知正三角形邊長(zhǎng)為2，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為（）

A.B.C.D.

【其他試題】

6.若數(shù)據(jù)的方差為2，則的方差為（）

A.1B.2C.4D.8

【高考真題】

7.在中，，，，則（）

A.B.C.D.

【其他試題】

8.已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半徑為18，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的體積為（）

A.B.C.D.

二多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

其他試題】

9.下面關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)法，正確的是（）

A.的虛部為1B.

C.是純虛數(shù)D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

【其他試題】

10.在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若A銳角，則B.若A為銳角，則

C.若，則D.若，則A與B大小不能確定

【課堂習(xí)題】

11.某公司為檢測(cè)某型號(hào)汽車的質(zhì)量問(wèn)題，需對(duì)三個(gè)批次生產(chǎn)的該型號(hào)汽車進(jìn)行檢測(cè)，三個(gè)批次產(chǎn)量分別為100000輛150000輛和250000輛，公司質(zhì)監(jiān)部門計(jì)劃從中抽取500輛進(jìn)行檢測(cè)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.樣本容量為500

B.采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣比分層隨機(jī)抽樣合適

C.應(yīng)采用分層隨機(jī)抽樣，三個(gè)批次的汽車被抽到的概率不相等

D.應(yīng)采用分層隨機(jī)抽樣，三個(gè)批次分別抽取100輛150輛250輛

【高考真題】

12.已知圓錐（為圓錐頂點(diǎn)，為底面圓心）軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則下面選項(xiàng)正確的是（）

A.圓錐PO的表面積為

B.圓錐PO的內(nèi)切球半徑為

C.圓錐PO的內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，該圓柱的高為

D.若C為PB的中點(diǎn)，則沿圓錐PO的側(cè)面由點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短路程是

三填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

【課堂習(xí)題】

13.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)__________.

【其他試題】

14.已知直線與平面所成角為，若直線，則與所成角的最小值為_(kāi)_________.

【其他試題】

15.某小區(qū)12戶居民四月份月用水呈(單位：)分別為：

則所給數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是__________.

高考真題】

16.為了考查某校各班參加課外書(shū)法小組的人數(shù)，在全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，把每個(gè)班級(jí)參加該小組的認(rèn)為作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互相不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為_(kāi)__________.

四解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分）

【課堂習(xí)題】

17.某高中為了解全校高一學(xué)生的身高，隨機(jī)抽取40個(gè)學(xué)生，將學(xué)生的身高分成4組：)，，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，畫(huà)出如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求頻率分布直方圖中的值；

（2）求高一學(xué)生身高的平均數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值.

【課堂習(xí)題】

18.已知向量，，.

（1）若與平行，求的值；

（2）求與垂直的單位向量的坐標(biāo).

【其他試題】

19.如圖，正方體邊長(zhǎng)為分別為中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求異面直線與所成角大?。?/p>

【其他試題】

20.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，.

（1）求證：；

（2）若，求三棱錐的體積.

【其他試題】

21.坐位體前屈是中小學(xué)體質(zhì)健康測(cè)試項(xiàng)目，主要測(cè)試學(xué)生軀干腰髖等部位關(guān)節(jié)韌帶和肌肉的伸展性彈性及身體柔韌性，在對(duì)某高中1500名高三年級(jí)學(xué)生的坐位體前屈成績(jī)的調(diào)查中，采用按學(xué)生性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取100人，已知這1500名高三年級(jí)學(xué)生中男生有900人，且抽取的樣本中男生的平均數(shù)和方差分別為13.2cm和13.36，女生的平均數(shù)和方差分別為15.2cm和17.56.

（1）求抽取的總樣本的平均數(shù)；

（2）試估計(jì)高三年級(jí)全體學(xué)生的坐位體前屈成績(jī)的方差.

參考公式：總體分為2層，分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，，，，.記總樣本的平均數(shù)為，樣本方差為，

高考真題】

22.如圖，在三棱柱中，平面，，分別為，的中點(diǎn)，為上的點(diǎn)，且.

（1）求證：平面平面；

（2）若三棱柱所有棱長(zhǎng)都為，求二面角的平面角的正切值.

西安工業(yè)大學(xué)附中2022-2023學(xué)年第二學(xué)期

高2025屆第二次課堂觀測(cè)數(shù)學(xué)試卷

一單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

【課堂習(xí)題】

1.已知，則（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先根據(jù)題意得到，再求即可.

【詳解】因?yàn)?，所?

故選：C.

【課堂習(xí)題】

2.已知△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，則滿足（）

A.2B.－2C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】由平面向量數(shù)量積的定義求解即可.

【詳解】因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，

所以.

故選：B.

【其他試題】

3.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.若，則

B.若，則

C.若，則

D.若，則

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)條件思考題中平面和直線所可能的各種情況，運(yùn)用有關(guān)的定理逐項(xiàng)分析.

【詳解】當(dāng)，時(shí)，可能有，但也有可能或，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)，時(shí)，可能有，但也有可能或，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

在如圖所示的正方體中，

取為，為，為平面，為平面，這時(shí)滿足，，，但不成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

當(dāng)，，時(shí)，必有，從而，故選項(xiàng)D正確；

故選：D.

【課堂習(xí)題】

4.從裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么“至少有2個(gè)黑球”的對(duì)立事件是（）

A.至少有1個(gè)紅球B.至少有1個(gè)黑球

C.至多有1個(gè)黑球D.至多2個(gè)紅球

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)立事件的定義判斷即可

【詳解】由題，由對(duì)立事件的定義，“至少有2個(gè)黑球”與“至多有1個(gè)黑球”對(duì)立，

故選：C

【高考真題】

5.已知正三角形邊長(zhǎng)為2，用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的知識(shí)確定正確答案.

【詳解】正三角形的高為，

根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的知識(shí)可知，

直觀圖的面積為.

故選：B

【其他試題】

6.若數(shù)據(jù)的方差為2，則的方差為（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)公式即可求得答案.

【詳解】解：因?yàn)閿?shù)據(jù)的方差為2，

所以的方差為.

故選：D

【高考真題】

7.在中，，，，則（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，運(yùn)用正弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系可求解.

【詳解】由正弦定理有，

因?yàn)?，且?/p>

所以當(dāng)為銳角時(shí)，；

當(dāng)為鈍角時(shí)，.

所以.

故選：D

【其他試題】

8.已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半徑為18，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的體積為（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】分別求出圓錐的底面半徑和高即可求出圓錐的體積.

【詳解】解：由題意

在圓錐中，設(shè)底面半徑為

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半徑為18，圓心角為120°的扇形

∴

解得：

由幾何知識(shí)得

圓錐的高：

∴圓錐體積：

故選：C.

二多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

【其他試題】

9.下面關(guān)于復(fù)數(shù)的說(shuō)法，正確的是（）

A.的虛部為1B.

C.是純虛數(shù)D.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

【答案】CD

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)的概念及幾何意義可判斷.

【詳解】對(duì)于A，的虛部是，故A不正確；

對(duì)于B，，故B不正確；

對(duì)于C，，純虛數(shù)，故C正確；

對(duì)于D，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故D正確.

故選：CD

【其他試題】

10.在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若A為銳角，則B.若A為銳角，則

C.若，則D.若，則A與B大小不能確定

【答案】AC

【解析】

【分析】對(duì)AB，由余弦定理即可判斷；

對(duì)CD，由A，B，，結(jié)合正弦定理即可比較a，b大小，由大邊對(duì)大角，即可比較A，B大小

【詳解】對(duì)AB，A為銳角，，由余弦定理得，故A對(duì)、B錯(cuò)；

對(duì)CD，A，B，，由正弦定理得，故，故，由大邊對(duì)大角得，故C對(duì)、D錯(cuò)，

故選：AC

【課堂習(xí)題】

11.某公司為檢測(cè)某型號(hào)汽車的質(zhì)量問(wèn)題，需對(duì)三個(gè)批次生產(chǎn)的該型號(hào)汽車進(jìn)行檢測(cè)，三個(gè)批次產(chǎn)量分別為100000輛150000輛和250000輛，公司質(zhì)監(jiān)部門計(jì)劃從中抽取500輛進(jìn)行檢測(cè)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.樣本容量為500

B.采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣比分層隨機(jī)抽樣合適

C.應(yīng)采用分層隨機(jī)抽樣，三個(gè)批次的汽車被抽到的概率不相等

D.應(yīng)采用分層隨機(jī)抽樣，三個(gè)批次分別抽取100輛150輛250輛

【答案】AD

【解析】

【分析】根據(jù)樣本容量的定義即可判斷A；

根據(jù)分層抽樣的定義與特征即可判斷B、C、D；

【詳解】解：由題意易知樣本容量為500，故A正確；

公司為檢測(cè)某型號(hào)汽車的質(zhì)量問(wèn)題，三個(gè)批次產(chǎn)量分別為100000輛150000輛和250000輛，公司質(zhì)監(jiān)部門計(jì)劃從中抽取500輛進(jìn)行檢測(cè)，故采用分層抽樣，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于分層抽樣的每一輛轎車被抽到的可能性相等，故C錯(cuò)誤；

，

所以三個(gè)批次分別抽取輛，輛，輛，故D正確.

故選：AD.

【高考真題】

12.已知圓錐（為圓錐頂點(diǎn)，為底面圓心）軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則下面選項(xiàng)正確的是（）

A.圓錐PO的表面積為

B.圓錐PO的內(nèi)切球半徑為

C.圓錐PO的內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，該圓柱的高為

D.若C為PB的中點(diǎn)，則沿圓錐PO的側(cè)面由點(diǎn)A到點(diǎn)C的最短路程是

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合圓錐的表面積公式和內(nèi)切球的性質(zhì)，以及內(nèi)接圓柱、側(cè)面展開(kāi)圖的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，圓錐軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

可得圓錐的底面圓的半徑為，高，母線長(zhǎng)為，

則圓錐的表面積為，所以A正確；

對(duì)于B中，設(shè)圓錐的內(nèi)切球球心為，半徑為，如圖所示，

由與相似，可得，即，解得，

即圓錐的內(nèi)切球的半徑為，所以B正確；

對(duì)于C中，如圖所示，設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，高為，

在直角中，可得，則，

所以，

所以內(nèi)接圓柱的側(cè)面積為，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)

所以圓錐PO的內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，該圓柱的高為，所以C正確；

對(duì)于D中，如圖所示，設(shè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的與圓心角為，

由弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)，可得，可得，

在直角中，，可得，

即當(dāng)為的中點(diǎn)，則沿圓錐的側(cè)面由點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程是，

所以D不正確.

故選：ABC.

三填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

課堂習(xí)題】

13.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)__________.

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類，列出方程組，即可求解.

【詳解】由題意，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則滿足，解得.

故答案為：.

【其他試題】

14.已知直線與平面所成角為，若直線，則與所成角的最小值為_(kāi)_________.

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)直線與平面所成角的定義得出答案.

【詳解】根據(jù)直線與平面所成角的定義，直線與平面所成角等于直線和它在平面上的射影所成的角

是直線與平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角，

題中直線l與平面所成角為30°，且，所以直線l與直線m所成角的最小值為30°.

故答案為：30°.

【其他試題】

15.某小區(qū)12戶居民四月份月用水呈(單位：)分別為：

則所給數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是__________.

【答案】

【解析】

【分析】將12個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，結(jié)合百分位數(shù)的計(jì)算方法即可得解.

【詳解】解：將12個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列：

3.54.95.46.87.17.710.511.113.615.216.820.5

，所以第75百分位數(shù)是.

故答案為：14.4.

【高考真題】

16.為了考查某校各班參加課外書(shū)法小組的人數(shù)，在全校隨機(jī)抽取5個(gè)班級(jí)，把每個(gè)班級(jí)參加該小組的認(rèn)為作為樣本數(shù)據(jù).已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互相不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為_(kāi)__________.

【答案】10

【解析】

【詳解】試題分析：設(shè)樣本數(shù)據(jù)為：

若樣本數(shù)據(jù)中的最大值為11，不妨設(shè)，由于樣本數(shù)據(jù)互不相同，與這是不可能成立的，若樣本數(shù)據(jù)為4，6，7，8，10，代入驗(yàn)證知兩式均成立，此時(shí)樣本數(shù)據(jù)中的最大值為10

考點(diǎn)：1．總體分布的估計(jì)；2．極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

四解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分）

【課堂習(xí)題】

17.某高中為了解全校高一學(xué)生的身高，隨機(jī)抽取40個(gè)學(xué)生，將學(xué)生的身高分成4組：)，，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，畫(huà)出如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求頻率分布直方圖中的值；

（2）求高一學(xué)生身高的平均數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值.

【答案】（1）0.045；（2）165.5；165.

【解析】

【分析】（1）在頻率分布直方圖中，根據(jù)所有小矩形的面積之和等于1，即可求得的值；

（2）根據(jù)在頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算公式即可求得平均數(shù)，設(shè)中位數(shù)，則左右兩邊面積相等，列出方程，解方程即可得解.

【詳解】（1）由圖可知三組的頻率分別為，所以身高在內(nèi)的頻率，

所以；

（2）平均數(shù)，.

設(shè)中位數(shù)由

解得，

所以中位數(shù)為165.

【課堂習(xí)題】

18.已知向量，，.

（1）若與平行，求的值；

（2）求與垂直的單位向量的坐標(biāo).

【答案】（1）

（2）或

【解析】

【分析】（1）求出向量的坐標(biāo)，利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于的等式，即可求得實(shí)數(shù)的值；

（2）設(shè)與垂直的單位向量的，由已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)?，，所?

因?yàn)榕c平行，所以，解得.

【小問(wèn)2詳解】

解：設(shè)與垂直的單位向量的.

則，即，解得或，

所以與垂直的單位向量為或.

【其他試題】

19.如圖，正方體邊長(zhǎng)為分別為中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求異面直線與所成角的大?。?/p>

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）45°

【解析】

【分析】（1）連接，根據(jù)，結(jié)合判定定理即可證明；

（2）根據(jù)題意，是兩異面直線與所成角或其補(bǔ)角，再求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

證明：連接，

∵分別為中點(diǎn)，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面．

【小問(wèn)2詳解】

解：∵，

∴是兩異面直線與所成角或其補(bǔ)角，

∵是等腰直角三角形，

∴，

∴兩異面直線與所成角的大小為45°．

【其他試題】

20.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，.

（1）求證：；

（2）若，求三棱錐的體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）證明，后可得線面垂直，從而有線線垂直；

（2）換頂點(diǎn)法，到平面距離等于，由此易得體積．

【詳解】（1）證明：底面為正方形，為，的中點(diǎn)，

又，.

，，

，

平面.

平面ABCD.

平面，.

（2）平面，且為的中點(diǎn)，

∴到平面的距離為.

..

.

【其他試題】

21.坐位體前屈是中小學(xué)體質(zhì)健康測(cè)試項(xiàng)目，主要測(cè)試學(xué)生軀干腰髖等部位關(guān)節(jié)韌帶和肌肉伸展性彈性及身體柔韌性，在對(duì)某高中1500名高三年級(jí)學(xué)生的坐位體前屈成績(jī)的調(diào)查中，采用按學(xué)生性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣抽取100人，已知這1500名高三年級(jí)學(xué)生中男生有900人，且抽取的樣本中男生的平均數(shù)和方差分別為13.2cm和13.36，女生的平均數(shù)和方差分別為15.2cm和17.56.

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