離散型隨機變量2-2

§2失散型隨機變量研究一個失散型隨機變量不單要知道它可能取值并且要知道它取每一個可能值的概率．一．概率散布：設(shè)失散型隨機變量

X

的可能取值是有限個或可數(shù)個值，設(shè)

X

的可能取值：x1,x2,

,xn,為了完整描繪隨機變量X，只知道Ｘ的可能取值是很不夠的，

還一定知道

X

取各種值的概率，也就是說要知道以下一串概率的值：PX

x1

,P

X

x2

,

,PX

xk

,記pk

PX

xk

(k

1,2,

)，將

X

的可能取值及相應(yīng)的既率成下表Xx1x2x3xkpp1p2p3pk這個表稱為X的概率散布表。它清楚地表示出X的取值的概率散布狀況．為簡單起見，隨機變量X的概率散布狀況也能夠用一系列等式pkPXxk(k1,2,)(＊)(＊)稱為X的概率散布或散布律。比如：上節(jié)【例1】X的概率散布表是X01，p0.50.5的概率散布是pkPXk0.5(k0,1)上節(jié)【例2】X的概率散布表是X012p0.10.60.3的概率散布是p0PX00.1,p1PX10.6,p2PX20.3【例1】某射手每次射擊打中目標的概率都是p(0p1)，現(xiàn)他連續(xù)向一目標射擊，直到第一次擊中目標為止，記X＝“射擊次數(shù)”，則X是一個隨機變量，求X的概率散布解：X的可能取值的可能取值是全部自然數(shù)，即X=k(k1,2,)，且P(Xk)pqk1(k1,2,)，此中q1p，且X的概率散布表以下：X123kpppqpq2pqk12．性質(zhì)：任何一個失散型隨機變量的概率散布必定知足性質(zhì)，利用隨機變量及其散布律，我們可求各樣隨機事件發(fā)生的概率?！纠?】袋中有5個球，分別編號1，2，３，４，5．從此中任取個球中最大號碼的概率函數(shù)和概率散布表．

3個球，求拿出的

3解：設(shè)

X＝“拿出的

3個球中的最大號碼”

,則X的可能取值：3，4，5，由古典概型知：P(X113)=0。1，C5310P(XC3234)=0。3C5310=0。6的概率散布為X345二．幾個常用的失散型散布：兩點散布：假如隨機變量X的散布（概率）為：P(Xa)p(0p1)P(Xb)q1，p則稱X聽從兩點散布（p為參數(shù)），特別地，當a1,b0時，則稱X聽從“0－１”P(X1)p(0p1)散布,即P(X0)，q1p“0－１”散布也常稱為貝努利散布.比如:上節(jié)【例1】中，X聽從“0－１”散布。【例3】有100件產(chǎn)品，此中有95件是正品，5件是次品，此刻隨機地抽取一件，假定抽到每一件的時機都同樣，則抽得正品的概率＝0．95，而抽得次品的概率＝0．05．現(xiàn)定義隨機變量X以下：則有P(X1)0.95P(X0),0.05X聽從“0－１”散布。2.二項散布:設(shè)隨機變量X的可能取值為0，1，2，，n,且P(Xk)Cnkpkqnk(k0,1,2,,n)(0p1,q1p)，則稱X聽從參數(shù)為n,p的二項散布，可考證：特別地，當n＝１時的二項散布就是兩點散布。二項散布在議論貝努里試驗時很實用。貝努里試驗是一種很重要且應(yīng)用很寬泛的數(shù)學模型。【例3】保險公司為了預計公司的收益，需要計算投保人在一年內(nèi)死亡若干人的概串設(shè)某保險公司的某人壽保險險種有1000人投保，每個人一年內(nèi)死亡的概率為o．005個，試求在將來一年中在這些投保人中死亡人數(shù)

X

不超出

10人的概率．解：對每個人而言，在將來一年能否死亡相當于做一次貝努里試驗，重貝努里試驗，所以，XB(1000,0.005)，所求概率為

1000人就是做

100010P(X

10)

C1000k(0.005)k(1

0.005)1000k

0.986k0注意：從例中能夠看到

*要直接計算量大，可用泊松定理作近似計算

(參看第一章§

5)．，則【例】３．泊松（Poisson）散布：設(shè)隨機變量X的可能取值為0，1，2，，且kP(Xk)e(k0,1,2,;0)k!則稱X聽從參數(shù)為的泊松散布，泊松散布是概率論中重要散布之一。很多隨機現(xiàn)象都能夠用泊松散布來進行描繪，如單位長度布面上的疵點數(shù)，電話總機在單位時間內(nèi)收到的呼