導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)-“黃岡杯”一等獎(jiǎng)

第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)[目標(biāo)導(dǎo)航]課標(biāo)要求1.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解導(dǎo)函數(shù).2.能利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進(jìn)行復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo).素養(yǎng)達(dá)成通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).新知導(dǎo)學(xué)課堂探究新知導(dǎo)學(xué)·素養(yǎng)養(yǎng)成f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)答案:由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可知,這兩個(gè)關(guān)系式都正確.2.復(fù)合函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(1)復(fù)合函數(shù):一般地,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過變量u,y可以表示成x的函數(shù),那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù),記作y=f(g(x)).(2)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x=

,即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的

.y′u·u′x乘積名師點(diǎn)津(1)兩個(gè)函數(shù)的積、商的導(dǎo)數(shù)①(uv)′=u′v+uv′;(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一般是運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,將問題轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解決.①分析清楚復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成,適當(dāng)選定中間變量;②分步計(jì)算中的每一步都要明確是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo),而其中特別要注意的是中間變量的系數(shù);③根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,求出各函數(shù)的導(dǎo)數(shù),并把中間變量轉(zhuǎn)化為自變量的函數(shù).(3)判斷復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系的方法判斷復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系的一般方法是:從外向里分析,最外層的主體函數(shù)結(jié)構(gòu)是以基本函數(shù)為主體形式,各層的中間變量結(jié)構(gòu)也都是基本函數(shù)關(guān)系,這樣一層一層分析,最里層應(yīng)是關(guān)于自變量的基本初等函數(shù)或關(guān)于自變量的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算而得到的函數(shù).如:函數(shù)y=(a+bxn)m是由函數(shù)y=um與u=a+bxn復(fù)合而成的;函數(shù)y=(1+cos2x)3是由函數(shù)y=u3,u=1+cosv,v=2x三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的.題型一課堂探究·素養(yǎng)提升利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)[例1](1)已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f′(0)的值為

.

(1)解析:因?yàn)閒′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,所以f′(0)=3.答案:3(2)解:①y′=x′·ex+x·(ex)′=ex+xex=(1+x)ex.誤區(qū)警示對(duì)一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)時(shí),要緊扣導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,聯(lián)系基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.在不宜直接應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式時(shí),應(yīng)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),然后求導(dǎo).這樣可以減少運(yùn)算量,優(yōu)化解題過程.在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí),首先要注意化簡(jiǎn)的等價(jià)性,避免不必要的運(yùn)算失誤.即時(shí)訓(xùn)練1-1:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=x·tanx;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);(2)y′=(x3·ex)′=(x3)′·ex+x3·(ex)′=3x2·ex+x3·ex=ex(x3+3x2).[備用例2]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=3x2+xcosx;(2)y=(x2+3)(ex+lnx);解:(1)y′=6x+cosx+x(cosx)′=6x+cosx-xsinx.(3)y=x2+tanx;題型二復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)[例2](1)函數(shù)f(x)=(2x+1)2在x=1處的導(dǎo)數(shù)值是(

)(A)6 (B)8 (C)10 (D)12(1)解析:f′(x)=2(2x+1)×2=4(2x+1)=8x+4,所以f′(1)=12.故選D.(2)解:①設(shè)y=eu,u=cosx+1,則y′x=y′u·u′x=eu·(-sinx)=-sinxecosx+1.方法技巧(1)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的步驟(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練后,中間步驟可以省略,即不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程,直接運(yùn)用公式,從外層開始由外及內(nèi)逐層求導(dǎo).題型三與切線有關(guān)的綜合問題答案:(1)A解析:(2)令y=f(x),則曲線y=eax在點(diǎn)(0,1)處的切線的斜率為f′(0),又切線與直線x+2y+1=0垂直,所以f′(0)=2.因?yàn)閒(x)=eax,所以f′(x)=(eax)′=eax·(ax)′=aeax,所以f′(0)=ae0=a,故a=2.(2)設(shè)曲線y=eax在點(diǎn)(0,1)處的切線與直線x+2y+1=0垂直,則a=

.答案:(2)22.求(2)中曲線的切線與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積.方法技巧解決有關(guān)切線問題的關(guān)注點(diǎn)(1)此類問題往往涉及切點(diǎn)、切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、切線方程三個(gè)主要元素.其他的條件可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而轉(zhuǎn)化為這三個(gè)要素間的關(guān)系.(2)準(zhǔn)確利用求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)是解決此類問題的第一步,也是解題的關(guān)鍵,務(wù)必做到準(zhǔn)確.(3)分清已知點(diǎn)是否在曲線上,若不在曲線上,則要設(shè)出切點(diǎn),這是解題時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn).答案:1課堂達(dá)標(biāo)D解析:函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=1+ex.故選D.2.等比數(shù)列{an}中,a1=2,a8=4,函數(shù)f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),則f′(0)等于(

)(A)26 (B)29 (C)215 (D)212D解析:f′(x)=x′·[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]+[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]′·x=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]′·x,所以f′(0)=(0-a1)(0-a2)…(0-a8)+[(0-a1)(0-a2)…(0-a8)]′·0=a1a2…a8.因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列,所以a2a7=a3a6=a4a5=a1a8=8,所以f′(0)=84=212.故選D.3.曲線y=xlnx在點(diǎn)(e,e)處的切線方程為(

)(A)y=2x-e (B)y=-2x-e(C)y=2x+e (D)y=-x-1A解析:由y=xlnx求導(dǎo)數(shù)可得y′=lnx+1,則曲線在點(diǎn)(e,e)處的切線斜率為k=y′|x=e=lne+1=2,因此切線方程為y-e=2(x-e),即y=2x-e.故選A.4