相似三角形學案

2/21/36.1圖上距離與實際距離(1)【學習目標】1.結合現(xiàn)實情境了解線段的比和成比例的線段2.掌握比例的基本性質【學習重，難點】理解比例的性質【學習過程】課前預習在我們生活中常常可見形狀相同的圖形，探索這類圖形的特性，會幫助我們更好的認識圖形世界，從今天開始，我們將進入相似圖形的世界。二．課堂例題分別量出兩幅地圖中南京市與徐州市、南京市與連云港市之間的圖上距離。在上面的兩幅地圖中，設連接南京與徐州的線段分別為a，b；它們的比為a:b或者eq\f(a,b)，連接南京與連云港的線段分別為c，d，它們的比為c:d或者eq\f(c,d)觀察eq\f(a,b)與eq\f(c,d)的值，你發(fā)現(xiàn)了什么？答： 。概念：在四條線段中，如果兩條線段的比（兩條線段長度的比）等于另兩條線段的比，那么稱這四條線段成比例（即稱a、b、c、d這四條線段成比例或稱a、b、c、d為成比例線段）.可寫成 。那么其中 、 、 、叫做組成比例的項，、叫做比例外項，、叫做比例內項，叫做 、 、 的第四比例項。1.圖中哪兩個矩形的長和寬是成比例線段.2.已知a、b、c、d是成比例線段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，求線段d的長.若a、c、d、b是成比例線段，其余條件不變，求線段d長.比例的性質：(1）如果a∶b＝c∶d，那么＝；(積＝積)反過來，如果ad＝bc(b≠0，d≠0)，那么＝（把叫做，ad＝bc叫）（2）∵，∴如果，那么 .（3）∵，∴如果，那么 .3.比例中項：在中，我們把叫做和的比例.由可得；例1：在比例尺為1：50000的地圖上，測得A、B兩地之間的圖上距離為16cm，求A、B兩地間的實際距離。例2：填空（其中a、b、x都表示線段的長度）：①若b：4=a：3，則a：b=；②若3：x=2：6，則x=；③若x為4和9的比例中項，則x=；④若2：x=3：（2-x），則x=。三．課堂練習1.線段AB＝0.2cm，CD＝10cm，則AB：CD＝___________2.已知a＝5cm，b＝3cm，c＝2cm，⑴若a、b、c、d是成比例線段則線段d＝________cm；⑵若a、b、d、c是成比例線段則線段d＝________cm；3.已知矩形ABCD中，AB＝12，AD＝5，則＝__________4.下列各組中的四條線段，其中成比例的是（）A.a＝2cm，b＝4cm，c＝6cm，d＝8cmB.C.a＝15cm，b＝5cm，c＝10cm，d＝20cmD.a＝1.9cm，b＝8.1cm，c＝5.7cm，d＝2.7cm5.興華機械廠要加工一種精密零件，該零件長30mm，現(xiàn)要把它放大畫在圖紙上，若按照比例尺為10：1，那么該零件在圖紙上有_________cm6.下列各組線段中，長度成比例的是（）A、2㎝、3㎝、4㎝、1㎝B、1.5㎝、2.5㎝、4.5㎝、6.5㎝C、1.1㎝、2.2㎝、3.3㎝、4.4㎝D、1㎝、2㎝、2㎝、4㎝7.已知線段m、n、p、q的長度滿足等式mn＝pq，將它改寫成比例式的形式，錯誤的是()A、B、C、D、8.已知有三條長度分別為1cm、4cm、8cm的線段，請再添一條線段．使這四條線段成比例，求所添線段的長度．作業(yè)布置6.1圖上距離和實際距離(2)【學習目標】1.進一步了解線段的比及成比例線段的概念；2.理解并掌握比例的性質.【學習重，難點】理解比例的性質并熟練運用【學習過程】課前預習復習鞏固：1.已知，則=_______、=______；2.由ad＝bc，寫成的比例式中，錯誤的是（）3.已知x＝8，y＝2，則x與y的比例中項是__________4.線段a=8，b=2，則線段a、b的比例中項是___________公式復習：如果a∶b＝c∶d，那么＝；(積＝積)反過來，如果ad＝bc(b≠0，d≠0)，那么＝在中，我們把叫做和的比例.由可得；二．課堂例題例1.已知，且x＋y＝24，求x、y的值.例2.如果，那么＝________；已知，則_______例3、如圖：，AD＝15，AB＝40，AC＝28,求AE的長.三．課堂練習1.已知，求的值。2.已知線段a＝1，b＝，線段b是線段a、c的比例中項嗎？為什么？3.已知，求k的值.4.如圖＝2，求和的值.5.如圖，在⊿ABC中，eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)，AB＝12，AE＝6，EC＝4，（1）求AD的長；（2）試說明eq\f(DB,AB)＝eq\f(EC,AC)成立。四．作業(yè)布置6.2黃金分割【學習目標】1．經歷探索黃金分割、黃金矩形、黃金三角形的過程，了解黃金分割在生活的各個領域有價值的運用．2．會找一條線段的黃金分割點．【學習重，難點】在應用中進一步理解線段的比、成比例線段，并在實際操作、思考、交流等過程中進一步感悟數(shù)學與生活的密切聯(lián)系【學習過程】課前預習1．同學們，請問你們去過上海嗎？參觀過東方明珠電視塔嗎？談談你的感想！上海東方明珠電視塔設計巧妙，整個塔體挺拔秀麗，現(xiàn)請你度量出圖中線段AB、BC、AC的長度，并計算線段AB與AC的比值和線段BC與AB的比值．2．芭蕾舞演員身體各部分之間適當?shù)谋壤o人以勻稱、協(xié)調的美感．請你量出圖中線段AB、BC、AC的長度，并計算線段AB與AC的比值和線段BC與AB的比值．二．課堂例題如圖，點B在線段AC上，且，設AC＝1，求AB的長．概念：像上圖那樣，點B把線段AC分成兩部分，如果，那么稱線段AC被點B黃金分割（goldensection），點B為線段AC的黃金分割點．AB與AC（或BC與AB）的比值稱為黃金比．在計算中，通常取它的近似值0.618．1．如圖：點B是線段AC的黃金分割點，線段AC還有黃金分割點嗎？若有，你能找出它嗎？這兩個黃金分割點有何特點？2．如果把，化為乘積式是怎么樣的？結合圖形你怎么理解它？3．下圖四個矩形，你覺得哪個好看，為什么？聯(lián)系生活“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術等領域有著廣泛的應用．三．課堂練習1．已知點P是線段AB的一個黃金分割點（AP＞PB），則PB：AB的值為．2．當人體的下半身長度與身高的比值接近0.618時，會給人以美感，某女士身高165cm，下半身長與身高的比值是0.60，為了盡可能達到好的效果，她應穿的高跟鞋的高度大約為（結果保留整數(shù)）．3．為了弘揚雷鋒精神，某中學準備在校園內建造一座高2m的雷鋒人體雕像，向全體師生4．征集設計方案．小兵同學查閱了有關資料，了解到黃金分割數(shù)常用于人體雕像的設計中．如圖是小兵同學根據(jù)黃金分割數(shù)設計的雷鋒人體雕像的方案，其中雷鋒人體雕像下部的設計高度大約是A．0.62mB．0.76mC．1.24mD．1.62m4．已知點P是線段MN的黃金分割點，MP＞NP，且MP＝cm，則NP＝．5．如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC＝2，BD平分∠ABC交AC于點D，則AD等于．6．相鄰兩邊長的比值是黃金分割數(shù)的矩形，叫做黃金矩形，從外形看，它最具美感．現(xiàn)在想要制作一張“黃金矩形”的賀年卡，如果較長的一條邊長等于20厘米，那么相鄰一條邊的邊長等于厘米．7．（1）如圖1，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2BC，現(xiàn)以C為圓心、CB長為半徑畫弧交邊AC于D，再以A為圓心、AD為半徑畫弧交邊AB于E．求證：．（這個比值叫做AE與AB的黃金比．）（2）如果一等腰三角形的底邊與腰的比等于黃金比，那么這個等腰三角形就叫做黃金三角形．請你以圖2中的線段AB為腰，用直尺和圓規(guī)，作一個黃金三角形ABC．（注：直尺沒有刻度！作圖不要求寫作法，但要求保留作圖痕跡，并對作圖中涉及到的點用字母進行標注）四．作業(yè)布置6.3相似圖形【學習目標】1．了解形狀相同的圖形是相似的圖形；理解相似三角形、相似比的概念．2．通過滲透類比的思想方法，進一步體會數(shù)學內容之間的內在聯(lián)系，初步認識特殊與一般的辯證關系；通過幾何圖形的變換發(fā)展空間觀念；通過從直觀發(fā)現(xiàn)到自覺說理的過渡，培養(yǎng)有條理的表達能力。3．經歷觀察、操作、歸納、類比、反思、交流的過程，提高數(shù)學思維水平；分析、欣賞相似圖形，提高審美意識，增強學習數(shù)學的興趣和自信心?！緦W習重，難點】1．相似圖形的特征與識別、相似三角形的有關概念、表示方法、相似比的概念.2．準確判斷出相似三角形的對應邊和對應角【學習過程】課前預習1．請欣賞圖片：2．請說說下列幾幅圖片之間的聯(lián)系與區(qū)別？3．__________________的圖形叫做相似形．二．課堂例題活動一：圖（1）中的兩個正三角形“形狀相同”，它們的邊和角有怎樣的數(shù)量關系？圖（2）中的兩個“形狀相同”的三角形呢？CCBAA′A′AB′BB′CC′C′（1）（2）活動二：下圖（1）中的兩個正方形“形狀相同”，它們的邊和角有怎樣的數(shù)量關系？CBAA′A′ABCBAA′A′AB′BB′CC′C′（1）（2）DD′DD′歸納：（1）相似三角形定義：對應角，對應邊的兩個三角形叫做相似三角形．（2）用符號語言表示：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∵，∴△ABC∽△A′B′C′．（3）提示：表示兩個三角形相似，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，這樣寫比較容易找到相似三角形的對應角和對應邊．（4）如果記＝k，那么這個比值k就表示這兩個相似三角形的．（5）相似三角形的性質：相似三角形的對應角，對應邊．用符號語言表示：∵△ABC∽△A′B′C′，∴．思考：“形狀相同”的兩個圖形具有怎樣的特征呢？定義：各角分別相等，各邊成比例的兩個多邊形稱為相似多邊形。相似多邊形的性質：相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例。相似比的定義：相似多邊形的對應邊的比叫做相似比。例1.圖中△ABC∽△A′B′C′．你能求出∠α的大小和A′C′的長嗎？例2.若已有△ABC，分別取AB、AC的中點D、E，連接DE，所形成的△ADE必與△ABC相似．（1）上述說法正確嗎？為什么？（2）取BC的中點F，連接DF、EF，△DEF與△ABC相似嗎？為什么？三．課堂練習1.下列圖形中不一定是相似圖形的是（）A．兩個等邊三角形B．兩個等腰直角三角形C．兩個長方形D．兩個正方形2.若△ABC∽△A′B′C′，且，則△ABC與△A′B′C′相似比是，△A′B′C′與△ABC的相似比是．3.如圖，四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′相似，求∠α、∠β的大小和A′D′的長．4.△ABC的各邊之比為2：5：6，與其相似的△A′B′C′的最大邊為18，則△A′B′C′的最小邊為．5.若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC的三邊長分別為、2、，△A′B′C′的兩邊長分別為、，則△A′B′C′的第三邊長為．6.如圖，△ABC∽△ADE，AD=5,AB=10，BE=6，這兩個三角形的相似比為，AC=.7.如圖，△ABC和△AGH都是等邊三角形，點G在△ABC的高AD上，且AG：GD=2:1，則△AGH與△ABC的相似比是.（3）（5）（6）8.在△ABC的內部任取一點P，連接PA、PB、PC，分別取PA、PB、PC的中點D、E、F，連接DE、EF、DF．△DEF與△ABC相似嗎？為什么？四．作業(yè)布置6.4探索三角形相似的條件（1）【學習目標】1．掌握平行線分線段成比例定理及其推論，學會靈活應用；2．經歷“操作——觀察——探索——說理”的數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理和有條理的表達能力．【學習重，難點】1．探索“見平行，得相似”的相關結論．2．成比例的線段中對應線段的確定【學習過程】課前預習活動一：如圖，畫三條互相平行的直線l1、l2、l3，再任意畫2條直線a、b，使a、b分別與l1、l2、l3相交于點A、B、C和點D、E、F．提出問題：（1）度量所畫圖中AB、BC、DE、EF的長度，并計算對應線段的比值，你有什么發(fā)現(xiàn)？（2）如果任意平移l3，再度量AB、BC、DE、EF的長度．這些比值還相等嗎？定理兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．符號語言∵l1//l2//l3∴活動二：如圖，在△ABC中，點D、E分別在AB、AC（或延長線）上，且DE∥BC，△ADE與△ABC有什么關系？結論：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似．二．課堂例題例1：如圖，l1、l2、l3，直線a、b與l1、l2、l3分別相交于點A、B、C和點D、E、F．設AB=3，BC=5，DE=4，求EF的長．例2.如圖，OC是∠AOB內的一條射線，點D、D′在OC，過點D、D′分別作OA、OB的垂線，垂足分別為E、E′和F、F′.(1)圖中有幾對相似三角形？是哪幾對？(2)與相等嗎？為什么？三．課堂練習1．如圖，已知MN∥DE∥BC，圖中共有多少對相似三角形？ 2．如圖，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE、GF交于點O，則圖中與△ABC相似的三角形共有多少個？請你寫出來．3.如圖，在?ABCD中，EF∥AD，DE∶EB＝2∶3，EF＝6，則BC的長為.四．作業(yè)布置6.4探索三角形相似的條件（2）【學習目標】1．探索“兩角分別相等的兩個三角形相似”的判定方法；2．經歷“操作——觀察——探索——說理”的數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理和有條理的表達能力【學習重，難點】掌握“兩角分別相等的兩個三角形相似”的判定方法的證明,能運用判定方法判定三角形是否相似．【學習過程】課前預習1．如圖，已知∠α、∠β．作△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β．你與同桌所作的兩個三角形相似嗎？如圖，在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝∠A′，∠B＝∠B′．平移△A′B′C′，使點A′與點A重合，A′B′落在AB上，你能得到什么結論.定理：_________________________的兩個三角形相似．二．課堂例題例1如圖，在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A＝50°，∠B＝∠B′＝60°，∠C′＝70°，△ABC與△A′B′C′相似嗎？為什么？例2如圖，在△ABC中，AB=AC,點D、E分別在BC、AB上，且∠BDE=∠CAD，△ADE與△ABD相似嗎？為什么？三．課堂練習1.判斷下列說法是否正確？（1）有一個底角對應相等的兩個等腰三角形相似()（2）頂角對應相等的兩個等腰三角形相似()（3）有一個角相等的兩個等腰三角形相似()（4）所有的直角三角形都相似()（5）有一個銳角對應相等的兩個直角三角形相似（）（6）所有的等邊三角形都相似．()2.下列各組三角形一定相似的是（）A．兩個直角三角形B．兩個鈍角三角形C．兩個等腰三角形D．兩個等邊三角形3.如圖，D是△ABC的邊AC上一點，連接BD，△ABC∽△BDC,則需要添加的條件是4.如圖，E、F分別是△ABC的邊BC上的點，DE∥AB,DF∥AC,求證：△ABC∽△DEF.OO5.如圖，已知△ABC與△ADE的邊DE、AB相交于O，且∠1＝∠2＝∠3.試證明△ADO∽△EBO.②證明△ADE∽△ABC.四．作業(yè)布置6.4探索三角形相似的條件（3）【學習目標】1．探索“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”的判定方法，并能運用解題；2．經歷“操作——觀察——探索——說理”的數(shù)學活動過程，發(fā)展合情推理和有條理的表達能力．【學習重，難點】1．“兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”的判定方法的證明；2．能恰當?shù)剡\用判定方法判定三角形是否相似．【學習過程】課前預習我們學過哪些判定三角形相似的方法？問題1：如圖，在△ABC和△A'B'C'中，∠A＝∠A'，．能判斷△ABC與△A'B'C'相似嗎？如果把換成其它數(shù)值，再試一試．問題2：已知：，∠A＝∠A'．求證：△ABC∽△A'B'C'．結論：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．幾何語言表達：在△ABC與中