第四章非經(jīng)典推理正式

人工智能教材：蔡自興等《人工智能及其應(yīng)用》（第4版）清華大學(xué)出版社，2010.

5Powerpoint第4章

不確定性推理方法華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院2第3章討論的歸約推理、消解演繹推理和規(guī)則演繹推理等推理方法，都是確定性推理。它們建立在經(jīng)典邏輯基礎(chǔ)上，運(yùn)用確定性知識(shí)進(jìn)行精確推理，也是一種單調(diào)性推理?，F(xiàn)實(shí)世界中遇到的問(wèn)題和事物間的關(guān)系，往往比較復(fù)雜，客觀事物存在的隨機(jī)性、模糊性、不完全性和不精確性，往往導(dǎo)致人們認(rèn)識(shí)上一定程度的不確定性。這時(shí)，若仍然采用經(jīng)典的精確推理方法進(jìn)行處理，必然無(wú)法反映事物的真實(shí)性。為此，需要在不完全和不確定的情況下運(yùn)用不確定知識(shí)進(jìn)行推理——不確定性推理。本章將介紹以下的不確定性推理技術(shù)，它們已在專家系統(tǒng)、機(jī)器人規(guī)劃和機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用。第4章不確定性推理方法華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院3經(jīng)典推理和非經(jīng)典推理不確定性推理可信度方法證據(jù)理論模糊推理方法4.1經(jīng)典推理和非經(jīng)典推理華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院4概述人工智能的兩個(gè)基石：邏輯和推理傳統(tǒng)人工智能即邏輯學(xué)派是建立在符號(hào)邏輯推理的基礎(chǔ)上的。邏輯和推理是以邏輯為基礎(chǔ)的人工智能的兩個(gè)基石。邏輯涉及思維規(guī)范，而推理則與思維法則有關(guān)。處于主導(dǎo)地位的邏輯有形式邏輯和數(shù)理邏輯。消解原理就是以謂詞邏輯為基礎(chǔ)的。形式邏輯和數(shù)理邏輯的局限性，導(dǎo)致非經(jīng)典邏輯及其非經(jīng)典推理的產(chǎn)生。與此相應(yīng)地把傳統(tǒng)的邏輯學(xué)派及其推理方法稱為經(jīng)典邏輯和經(jīng)典推理。5經(jīng)典推理的區(qū)別推理，而非經(jīng)典邏輯采用歸納邏輯推理。②在轄域取值上，經(jīng)典邏輯都是二值邏輯，即只有真(True)和假種，而非經(jīng)典邏輯都是多值邏輯*。法則上，兩者也不大相同。屬于經(jīng)典邏輯的形式邏輯和輯，它們的許多運(yùn)算法則在非經(jīng)典邏輯中就不能成立。。④在邏輯算符上，非經(jīng)典邏輯具有更多邏輯算符。非經(jīng)典邏輯引用了附加算符(模態(tài)算符或算子)來(lái)解決所面臨的問(wèn)題*。⑤在是否單調(diào)上，兩者也截然有別。經(jīng)典邏輯是單調(diào)的，即已知事實(shí)(定理)均為充分可信的，不含隨著新事實(shí)的出現(xiàn)而使原有華中科技大學(xué)事自動(dòng)實(shí)化學(xué)變?cè)簽榧?。例如：三值、四值和模糊邏輯等

非經(jīng)典邏輯、非經(jīng)典推理與經(jīng)典邏輯、①在推理方法上，經(jīng)典邏輯采用演繹邏輯例如：三值邏輯就不遵循謂詞邏輯中的雙重否定法則～(～P)＝P；狄·摩根定律在一些多值邏輯中也不再成立例如：謂詞邏輯具有∨、∧ →、～

4個(gè)連詞以及?、公式，只能回答“什么是真?”和“③在運(yùn)算

判斷問(wèn)題，而無(wú)法處理“什么可能數(shù)理邏

?”“什么應(yīng)該真?”“什么允許假?”之類非經(jīng)典邏輯背棄了經(jīng)典邏輯的一些重要特性*的問(wèn)題。(False)兩?兩個(gè)量詞。由這些邏輯算符組成的謂詞合式(邏輯)由于現(xiàn)實(shí)生活中的許多事實(shí)是在人們不完全掌什么是假?”的是非握其前提條件下初步認(rèn)可的，一些舊的認(rèn)識(shí)可真?”“什么必然假能被修正以至否定。引用非單調(diào)推理是非經(jīng)典邏輯與經(jīng)典邏輯的又一重要區(qū)別。第4章不確定性推理方法華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院6經(jīng)典推理和非經(jīng)典推理不確定性推理可信度方法證據(jù)理論模糊推理方法4.2不確定性推理華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7概述不確定性推理(reasoningwithuncertainty)也是一種建立在非經(jīng)典邏輯基礎(chǔ)上的基于不確定性知識(shí)的推理，它從不確定性的初始證據(jù)出發(fā)，通過(guò)運(yùn)用不確定性知識(shí)，推出具有一定程度的不確定性的和合理的或近乎合理的結(jié)論。不確定性推理中的基本問(wèn)題①不確定性的表示與量度②不確定性匹配算法及閾值的選擇③組合證據(jù)不確定性的算法④不確定性的傳遞算法⑤結(jié)論不確定性的合成4.2.1不確定性的表示與量度華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院81.

不確定性的表示不確定性推理存在的三種不確定性，具有相應(yīng)的表示和量度①關(guān)于知識(shí)的不確定性②關(guān)于證據(jù)的不確定性③關(guān)于結(jié)論的不確定性。（1）知識(shí)不確定性的表示知識(shí)的表示與推理是密切相關(guān)的，不同的推理方法要求有相應(yīng)的知識(shí)表示模式與之對(duì)應(yīng)。在不確定性推理中，由于要進(jìn)行不確定性的計(jì)算，所以必須采用適當(dāng)?shù)姆椒ò巡淮_定性及不確定的程度表示出來(lái)。在確立不確定性的表示方法時(shí)，需要綜合以下因素：①根據(jù)領(lǐng)域問(wèn)題特征把其不確定性比較準(zhǔn)確地描述出來(lái)，滿足問(wèn)題求解的需要；②要便于推理過(guò)程中推算不確定性。*（2）證據(jù)不確定性的表示在推理中，有兩種來(lái)源的證據(jù)：①用戶在求解問(wèn)題時(shí)提供的初始證據(jù)，例如病人的癥狀、化驗(yàn)結(jié)果等；②在推理中用前面推出的結(jié)論作為當(dāng)前推理的證據(jù)。

對(duì)于前一種情況，由于這種證據(jù)多來(lái)源于觀察，往往有不確定性，因而推出的結(jié)論當(dāng)然也具有不確定性，當(dāng)把它用作后面推理的證據(jù)時(shí)，它也是不確定性的證據(jù)。在專家系統(tǒng)中知識(shí)的不確定性一般是由領(lǐng)域?qū)＜医o出的，通常是一個(gè)數(shù)值——知識(shí)的靜態(tài)強(qiáng)度華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院9（3）結(jié)論不確定性的表示結(jié)論的不確定性也叫做規(guī)則的不確定性，它表示件被全滿足時(shí)，產(chǎn)生某種結(jié)論的不確定程度。由于知識(shí)和證據(jù)具有不確定性，使所得出的結(jié)論也具有不確定性。這種當(dāng)規(guī)則的條2.不確定性的量度需要采用不同的數(shù)據(jù)和方法來(lái)量度確定性的程度。首先必須確定數(shù)據(jù)的取值范圍。*在確定量度方法及其范圍時(shí)，必須注意到：①量度要能充分表達(dá)相應(yīng)知識(shí)和證據(jù)不確定性的程度。②量度范圍的指定應(yīng)便于領(lǐng)域?qū)＜液陀脩魧?duì)不確定性的估計(jì)。③量度要便于對(duì)不確定性的傳遞進(jìn)行計(jì)算，而且對(duì)結(jié)論算出的不確定性量度不能超出量度規(guī)定的范圍。例如，在MYCIN等專家系統(tǒng)中，用可信度來(lái)表示知識(shí)和證據(jù)的不確定性，其取值范圍為[-l,+1]。也可以用[0,1]之間的值來(lái)表示某些問(wèn)題的不確定性.④量度的確定應(yīng)當(dāng)是直觀的，并有相應(yīng)的理論依據(jù)。華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院104.2.2不確定性的算法-否則，就稱它們是不可匹配的，相應(yīng)的知識(shí)不可應(yīng)用。華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院11不確定性的匹配算法及其及閾值的選擇推理是一個(gè)不斷運(yùn)用知識(shí)的過(guò)程。為了找到所需的知識(shí)，需要在這一過(guò)程中用知識(shí)的前提條件與已知證據(jù)進(jìn)行匹配，只有匹配成功的知識(shí)才有可能被應(yīng)用。在不精確性推理中，由于知識(shí)和證據(jù)都具有不確定性，而且知識(shí)所要求的不確定性程度與證據(jù)實(shí)際具有的不確定性程度不一定相同，因而就出現(xiàn)了“怎樣才算匹配成功”的問(wèn)題。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，目前常用的解決方法是不確定性匹配算法。不確定性匹配算法用來(lái)計(jì)算匹配雙方相似程度的算法閾值：用來(lái)指出相似的“限度”。-如果匹配雙方相似的程度落在指定的限度內(nèi)，就稱它們是可匹配的，相應(yīng)的知識(shí)可被應(yīng)用。2.不確定性的更新算法華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院12不精確推理的根本目的是根據(jù)用戶提供的初始證據(jù)，通過(guò)運(yùn)用不確定性知識(shí)，最終推出不確定性的結(jié)論，并推算出結(jié)論為確定性的程度。所以不精確推理還需要解決不確定性的更新問(wèn)題——知識(shí)不確定性的動(dòng)態(tài)積累和傳遞。不確定性的更新算法（1）不確定性的傳遞算法①在每一步推理中，如何把證據(jù)及知識(shí)的不確定性傳遞給結(jié)論。已知規(guī)則前提即證據(jù)E的不確定性C(E)和規(guī)則的強(qiáng)度f(wàn)(H,E)，其中H表示假設(shè)，試求H的不確定性C(H)。即定義算法g1，使得：C(H)=g1[C(E),f(H,E)]②在多步推理中，如何把初始證據(jù)的不確定性傳遞給最終結(jié)論。根據(jù)獨(dú)立的證據(jù)E1和E2，分別求得假設(shè)H的不確定性為C1(H)和C2(H)。求出證據(jù)E1和E2的組合導(dǎo)致結(jié)論H的不確定性C(H)，即定義算法g2，使得：C(H)=g2[C1(H)，C2(H)]①最大最小法C(El

AND

E2)=min{C(E1),

C(E2)}C(El

OR

E2)=max{C(E1),

C(E2))②概率方法C(El

AND

E2)

=

C(E1)C(E2)C(El

OR

E2)

=

C(E1)+C(E2)-C(E1)C(E2)③有界方法C(El

AND

E2)

=

max{0,

C(E1)+C(E2)-1}C(El

ORE2)

=min{1,

C(E1)+C(E2)}④Hamacher方法模糊合成算子是

技術(shù)。模糊評(píng)價(jià)中數(shù)據(jù)處理的核心含參數(shù)模糊合成算子。（2）組合證據(jù)的不確定性算法組合證據(jù)的不確定性計(jì)算已有多種方法，用得較多的有：例如：概率方法只能在事華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院13Hamacher算子是

件之間完全獨(dú)立時(shí)使用。

上述的每一組公式都有相應(yīng)的適用范圍和使用條件。*（5）結(jié)論不確定性的合成華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院14推理中有時(shí)會(huì)出現(xiàn)這樣一種情況：用不同知識(shí)進(jìn)行推理得到了相同的結(jié)論，但不確定性的程度卻不相同。需要用合適的算法對(duì)它們進(jìn)行合成。在不同的不確定性推理方法中所采用的合成方法各不相同。

以上簡(jiǎn)要地列出來(lái)不確定性推理中一般應(yīng)該考慮的一些基本問(wèn)題，但這并不是說(shuō)任何一個(gè)不確定性推理都必須包括上述各項(xiàng)內(nèi)容。第4章不確定性推理方法華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院15經(jīng)典推理和非經(jīng)典推理不確定性推理可信度方法證據(jù)理論模糊推理方法16概述1975年肖特里菲（E.H.Shortliffe）等人在確定性理論（theory

ofconfirmation）的基礎(chǔ)上，結(jié)合概率論等提出的一種不確定性推理方法。首先在專家系統(tǒng)MYCIN中得到了成功應(yīng)用。優(yōu)點(diǎn)：直觀、簡(jiǎn)單，且效果好?？尚哦龋╟ertainty）：根據(jù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)一個(gè)事物或現(xiàn)象為真的相信程度。當(dāng)面臨新事物或新情況時(shí)，往往可用積累的經(jīng)驗(yàn)對(duì)問(wèn)題的 真、偽或?yàn)檎娴某潭茸鞒雠袛??？尚哦葞в休^大的主觀性和經(jīng)驗(yàn)性，其準(zhǔn)確性難以把握。*識(shí)給-領(lǐng)域?qū)＜矣胸S富的專業(yè)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，不難對(duì)領(lǐng)域內(nèi)知出其可行度。華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院4.3可信度方法由于人工智能所面向的多是結(jié)構(gòu)不良的復(fù)雜問(wèn)題，難以給出精確的數(shù)學(xué)模型，先驗(yàn)概率及條件概率的確定又比較困難，因而用可行度來(lái)表示知識(shí)及證據(jù)的不確定仍不失為一種可行方法。C－F模型：基于可信度表示的不確定性推理的基本方法。其他可性度方法都是在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。知識(shí)不確定性的表示在C-F模型中，知識(shí)是用產(chǎn)生式規(guī)則表示的，其一般形式為：IF

E

THEN

H

（CF（H,E)）其中CF(H,E)是該條知識(shí)的可信度，稱為可信度因子。CF(H,E)反映前提條件與結(jié)論的聯(lián)系強(qiáng)度：當(dāng)條件E所對(duì)應(yīng)的它對(duì)結(jié)論H為真的支持程度。例：

IF

頭痛

AND

流涕

THEN感冒

（0.7）*當(dāng)病人確實(shí)有：“頭痛”和“流涕”的癥華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院17證據(jù)為真時(shí)，

狀時(shí)，則有七成的把握認(rèn)為他患了感冒。CF（H，E）的取值范圍：[-1,1]。若由于相應(yīng)證據(jù)的出現(xiàn)增加結(jié)論H為真的可信度，則CF（H，E）>0，證據(jù)的出現(xiàn)越是支持H

為真，就使CF（H，E)的值越大。反之，CF（H，E）<0，證據(jù)的出現(xiàn)越是支持H

為假，CF（H，E）的值就越小。若證據(jù)的出現(xiàn)與否與H

無(wú)關(guān)，則CF（H，E）=0。華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院18在C-F模型中，證據(jù)的不確定性也是用可信度因子表示的。例：CF(E)＝0.6表示E的可信度為0.6證據(jù)可信度值的來(lái)源：①初始證據(jù)：其可信度值由提供證據(jù)的用戶給出；②先前推出的結(jié)論作為當(dāng)前推理的證據(jù)：其可信度值通過(guò)不確定傳遞算法計(jì)算得到。證據(jù)E的可信度取值范圍：[-1，1]。對(duì)于初始證據(jù)：①若所有觀察能肯定它為真，則CF(E)=1。②若肯定它為假，則

CF(E)=–1。③若以某種程度為真，則

0<CF(E)

<

1。④若以某種程度為假，則－1<CF(E)<0

。⑤若未獲得任何相關(guān)的觀察，則CF(E)=0。華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院192.證據(jù)不確定性的表示

在C-F模型中，盡管知識(shí)的靜態(tài)強(qiáng)度與證據(jù)的動(dòng)態(tài)強(qiáng)度都華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院20用可信度因子CF表示，但是它們所表示的意義不相同。靜態(tài)強(qiáng)度CF（H，E）表示的是知識(shí)的強(qiáng)度，即當(dāng)E所對(duì)應(yīng)的證據(jù)為真時(shí)對(duì)H

的影響程度。

動(dòng)態(tài)強(qiáng)度CF（E）表示的是證據(jù)E當(dāng)前的不確定性程度。則CF

(E)＝min{CF

(E1

),

CF

(E2

),...,

CF

(En

)}組合證據(jù)：多個(gè)單一證據(jù)的析取華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院21則CF

(E)＝max{CF

(E1

),

CF

(E2

),

,

CF

(En

)}3.組合證據(jù)不確定性的算法…組合證據(jù)：多個(gè)單一證據(jù)的合取E=E1

AND

E2

AND

AND

En…E=E1

OR

E2

OR

OR

En4.不確定性的傳遞算法華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院22 C－F模型中的不確定性推理：從不確定的初始證據(jù)出發(fā)，通過(guò)運(yùn)用相關(guān)的不確定性知識(shí)，最終推出結(jié)論并求出結(jié)論的可信度值。結(jié)論H

的可信度由下式計(jì)算：CF

(H

)

=CF

(H

,

E)×

max{0,

CF

(E)}當(dāng)CF

(E

)<0時(shí)，則CF

(H

)=0當(dāng)CF

(E

)＝1時(shí)，則C

F

(H

)=CF

(H

,E

)若由多條不同知識(shí)推出了相同的結(jié)論，但可信度不同，則可用合成算法求出綜合可信度。設(shè)知識(shí)：5.結(jié)論不確定性的合成算法（1）分別對(duì)每一條知識(shí)求出CF（H）：CF1

(H

)

=CF

(H

,

E1

)×

max{0,

CF

(E1

)}CF2

(H

)

=CF

(H

,

E2

)×

max{0,

CF

(E2

)}(CF

(

H

,

E1

))(CF

(

H

,

E

2

))華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院23HHE1E

2IFIFTHENTHEN（2）求出E1

與E2對(duì)H的綜合影響所形成的可信度CF1,2(H)

CF1(H

)

+

CF2(H

)

-

CF1(H

)CF2(H

)

CF1(H

)

+

CF2(H

)

+

CF1(H

)CF2(H

)

CF(H

)

+

CF

(H

)

1

2若CF1(H

)≥0,CF2(H

)

≥

0若CF1(H

)<0,CF2(H

)

<

0CF1,2(H)=若CF(H

)與CF

(H

)異號(hào)

1

-

min{|CF1(H

)|,|

CF2(H

)|}

12華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院24華中科技大學(xué)

自動(dòng)化學(xué)院

25(0.7)r1

:IFE

1THENH(0.8)r2

:IFE

2THENH(0.6)r3

:IFE

3THENH(-0.5)r4

:IFE4AND

(E5ORE6

)

THENE1r5

:IFE

7AND

E

8THENE

3(0.9)已知：CF

(E2

)

=

0.8,

CF

(E4

)

=

0.5,CF

(E5

)

=

0.6,

CF

(E6

)

=

0.7,CF

(E7

)=

0.6,

CF

(E8

)

=

0.9.求：CF

(H

)可信度方法（C－F模型）—例例：設(shè)有如下一組知識(shí)：解：第一步：對(duì)每一條規(guī)則求出CF（H）CF

(

E1

)

=

0.7

·

max{

0,

CF

[

E4華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院26=

0.7

·

max{

0,

min{

CF

(

E

4

),

CF

(

E

5=

0.7

·

max{

0,

min{

CF

(

E

4

),

max{

CF

(

E

5

),

CF

(

E

6

)}}}=

0.7

·

max{0,

min{0.5,

max{0.6,0.7}}}=

0.7

·

max{0,0.5}=

0.35E6)

THEN

E1

(0.7)AND

(

E5

OR

E6

)]}OR

E

6

)}}E4

AND

(E5

OR由

r4

:

IFCF

(E3

)

=

0.9

·

max{0,

CF

(E7

AND E8

)}=

0.9

·

max{0,

min{CF

(E7

),

CF

(E8

)}}=

0.9

·

max{0,

min{0.6,0.9}}=

0.9

·

max{0,0.6}=

0.54華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院27由r5

:CF1

(H

)

=

0.8

·

max{0,

CF

(E1

)}=

0.8

·

max{0,0.35}=

0.28由r1

:CF2

(H

)

=

0.6

·

max{0,

CF

(E2

)}=

0.6

·

max{0,0.8}=

0.48華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院28由r2

:CF3

(H

)

=

-0.5·

max{0,CF(E3

)}=

-0.5

·

max{0,0.54}=-0.27由r3

:第二步：根據(jù)結(jié)論不確定性的合成算法得到：CF1,2

(H)

=

CF1

(H)

+CF2

(H)

-CF1

(H)·CF2

(H)=0.28+0.48-0.28·0.48

=0.631-

min{|CF1,2

(H)

|,|

CF3

(H)

|}華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院29CF1,2

(H)

+CF3

(H)CF1,2,3

(H)

=1

-

min{0.63,0.27}=

0.63

-

0.27

0.73=

0.36

=0.49綜合可信度：CF(H)=0.49第4章不確定性推理方法華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院30經(jīng)典推理和非經(jīng)典推理不確定性推理可信度方法證據(jù)理論模糊推理方法概論證據(jù)理論(theoryofevidence)：又稱D－S理論，是德普斯特（A.P.Dempster）首先提出，沙佛（G.

Shafer）進(jìn)一步發(fā)展起來(lái)的一種處理不確定性的理論。

1981年巴納特（J.A.Barnett）把該理論引入專家系統(tǒng)中，同年卡威（J.

Garvey）等人用它實(shí)現(xiàn)了不確定性推理。

目前，在證據(jù)理論的基礎(chǔ)上已經(jīng)發(fā)展了多種不確定性推理模型。*華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院314.4證據(jù)理論4.4

證據(jù)理論華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院32概率分配函數(shù)信任函數(shù)似然函數(shù)概率分配函數(shù)的正交和（證據(jù)的組合）基于證據(jù)理論的不確定性推理4.4.1概率分配函數(shù)華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院33

*設(shè)D是變量x

所有可能取值的集合，且D中的元素是互斥的，在任一時(shí)刻x都取且只能取D中的某一個(gè)元素為值，則稱D為x

的樣本空間。在證據(jù)理論中，D

的任何一個(gè)子集A都對(duì)應(yīng)于一個(gè)關(guān)于x

的命題，稱該命題為：“x

的值是在A

中”。例：設(shè)x：所看到的顏色，D={紅，黃，藍(lán)}，則A={紅}：“x

是紅色”；A={紅，藍(lán)}：“x

或者是紅色，或者是藍(lán)色”。設(shè)D為樣本空間，領(lǐng)域內(nèi)的命題都用D的子集表示，則概率分配函數(shù)定義如下：定義4.1

設(shè)函數(shù)M*：2D→[0,1]（對(duì)任何一個(gè)屬于D的子集A，命它對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)M∈[0,1]），且滿足M

(F

)

=

0

M

(

A)

=

1A?

D則M是2D上的基本概率分配函數(shù)，M(A)稱為A的基本概率數(shù)。華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院34關(guān)于概率分配函數(shù)定義的幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）設(shè)樣本空間D中有n個(gè)元素，則D中子集的個(gè)數(shù)為2n

個(gè)。定義中（2）（3）概率分配函數(shù)與概率不同。A

，?的2D

就是表示這些子集的。概率分配函數(shù)：把D的任意一個(gè)子集A都映射為[0，1]個(gè)數(shù)M（A）。時(shí)A，≠DM（A）：對(duì)相應(yīng)命題A的精確信任度。例如，設(shè)A={紅}，M（A）=0.3：命題“x是紅色”的信任度是0.3。設(shè)D={紅，黃，藍(lán)}M（{紅}）=0.3，M（{黃}）=0，M（{藍(lán)}）=0.1，M（{紅，黃}）=0.2，M（{紅，藍(lán)}）=0.2，M（{黃，藍(lán)}）=0.1，M（{紅，黃，藍(lán)}）=0.1，M（Φ）=0*D

*但是：M（{紅}）+M（{黃}）+M（{藍(lán)}）=0.4設(shè)D={紅，黃，藍(lán)}華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院35上的一則它的子集個(gè)數(shù)剛好是23＝8，具體為：A={紅}，

A={黃}，

A

={藍(lán)}，

A

={紅，黃}，A

={紅，藍(lán)}，A

={黃，藍(lán)}，A

={紅，黃，藍(lán)}，A

={Φ}定義4.2

命題的信任函數(shù)（belief

function）Bel

：2D

→[0,1]

且Bel

(

A)

=∑

M

(

B)?A?

D4.4.2

信任函數(shù)B?

ABel(A)：對(duì)命題A為真的總的信任程度。信任函數(shù)及概率分配函數(shù)的定義推出：el(F

)

=

M

(F

)

=

0B?

DBel(D)

=

M

(B)

=

10.2，設(shè)D

={紅，黃，藍(lán)}由

M（{紅}）=0.3，

M（{黃}）=0，M（{紅，黃}）B

=Bel

({紅,黃})=M

({紅})+M

({黃})+M

({紅,黃})華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院36=

0.3

+

0.2

=

0.5似然函數(shù)（plansibilityfunction）：不可駁斥函數(shù)或上限函數(shù)。且對(duì)所有的定義4.3

似然函數(shù)

Pl：2D

→

[0,1]Pl(

A)

=1

Bel(

A)A

?

D4.4.3

似然函數(shù)設(shè)D

={紅，黃，藍(lán)}M（{紅}）=0.3，

M（{黃}）=0，M（{紅，黃}）=0.2，Bel

({紅,黃})=M

({紅})+M

({黃})+M

({紅,黃})=

0.3

+

0.2

=

0.5Pl({藍(lán)})

=1

-

Bel(

{藍(lán)})

=1

-

Bel({紅，黃})＝1

-

0.5＝0.5華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院37華中科技大學(xué)

自動(dòng)化學(xué)院

38定義4.4

設(shè)

和 是兩個(gè)概率分配函數(shù)；則其正交12M

M和M

=M1⊕M24.4.4

概率分配函數(shù)的正交和（證據(jù)的組合）

M

1

(

x

)

M

2

(

y

)：M

(

Φ

)

=

0M

(

A

)

=

K

-1x

y

=F其中：K

=

1

-

M

1

(x)M

2

(

y)

=

M

1

(x)M

2(

y)x

y

=F

x

y

?F如果

K

?

0，則正交和

M也是一個(gè)概率分配函數(shù)；如果

K

=

0，則不存在正交和M，即沒(méi)有可能存在概率函數(shù)，稱M1

與M2

矛盾。華中科技大學(xué)

自動(dòng)化學(xué)院

394.4.4

概率分配函數(shù)的正交和例4.2設(shè)

D

={黑，白}，且設(shè)M

1

({黑},{白},{黑,白},F

)=(0.3,0.5,0.2,0)M

2

({黑},{白},{黑,白},F

)=(0.6,0.3,0.1,0)則：K

=

1

-

M

1

(x)M

2

(

y)x

y

=F=1

-[M

1

({黑})M

2

({白})+M

1

({白})M

2

({黑})]=

1

-[0.3

·

0.3

+

0.5

·

0.6]=

0.611

2M

({黑})

=

K

-1

M

(

x)M

(

y)x

y

={黑}1=

[M

1

({黑})M

2

({黑})+M

1

({黑})M

2

({黑,白})+0.610.611=M

1

({黑,白})M

({黑})][0.3

·

0.6+

0.3

·

0.1

+

0.2

·

0.6]

=

0.544.4.4

概率分配函數(shù)的正交和同理可得:華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院40M

({白})=0.43M

({黑,白})=0.03組合后得到的概率分配函數(shù):M

({黑}),{白},{黑,白},F

)=(0.54,0.43,0.03,0)4.4.5

基于證據(jù)理論的不確定性推理華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院41基于證據(jù)理論的不確定性推理的步驟：建立問(wèn)題的樣本空間D。由經(jīng)驗(yàn)給出，或者由隨機(jī)性規(guī)則和事實(shí)的信度度量算基本概率分配函數(shù)。計(jì)算所關(guān)心的子集的信任函數(shù)值、似然函數(shù)值。由信任函數(shù)值、似然函數(shù)值得出結(jié)論。例4.3

設(shè)有規(guī)則：如果 流鼻涕

則 感冒但非過(guò)敏性鼻炎（0.9） 或 過(guò)敏性鼻炎但非感冒（0.1）。如果 眼發(fā)炎

則 感冒但非過(guò)敏性鼻炎（0.8） 或 過(guò)敏性鼻炎但非感冒（0.05）。有事實(shí)：小王流鼻涕（0.9）。小王發(fā)眼炎（0.4）。問(wèn)：小王患的什么??？華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院424.4.5

基于證據(jù)理論的不確定性推理取樣本空間：D

={h1

,h2

,h3

}M

2

({h1

,

h2

,

h3

})

=

1

-

M

2

({h1})

-

M

2

({h2

})

=

1

-

0.32

-

0.02

=

0.66華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院43h1表示“感冒但非過(guò)敏性鼻炎”，

h2表示“過(guò)敏性鼻炎但非感冒”，h3表示“同時(shí)得了兩種病”。取下面的基本概率分配函數(shù)：M1

({h1})

=

0.9·0.9

=

0.81M1

({h2

})

=

0.9

·

0.1

=

0.09M

1

({h1

,

h2

,

h3

})

=

1

-

M1

({h1

})

-

M

1

({h2

})

=

1

-

0.81

-

0.09

=

0.1M

2

({h1})

=

0.4

·

0.8

=

0.32M

2

({h2

})

=

0.4

·

0.05

=

0.02將兩個(gè)概率分配函數(shù)組合：華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院44K

=

1/{1

-[M1

({h1})M

2

({h2

})

+

M1

({h2

})M

2

({h1})]}=

1/{1

-[0.81·

0.02

+

0.09

·

0.32]}=

1/{1

-

0.045}

=

1/

0.955

=

1.05M

({h1})=

K[M

1

({h1})M

2({h1})

+

M

1

({h1})M

2

({h1

,

h2

,

h3

}+

M

1

({h1

,

h2

,

h3

})M

2

({h1})]=

1.05

·

0.8258

=

0.87M

({h2

})

=

K[M

1

({h2

})M

2

({h2

})

+

M

1

({h2

})M

2

({h1

,

h2

,

h3

}+

M

1

({h1

,

h2

,

h3

})M

2

({h2

})]=

1.05

·

0.0632

=

0.066M

({h1

,

h2

,

h3

})

=

1

-

M

({h1

})

-

M

({h2

})

=

1

-

0.87

-

0.066

=

0.064似然函數(shù)：華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院45Pl({h1})

=1-

Bel(

{h1})

=1-

Bel({h2

,

h3})=1-[M

({h2}

+

M

({h3})

=1-[0.066

+

0]

=

0.934Pl({h2})

=1-

Bel( {h2})

=1-

Bel({h1

,

h3})=1-[M

({h1}

+

M

({h3})

=1-[0.87

+

0]

=

0.13結(jié)論：小王可能是感冒了。信任函數(shù)：Bel({h1})

=

M

({h1})

=

0.87Bel({h2

})

=

M

({h2

})

=

0.066第4章不確定性推理方法華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院46經(jīng)典推理和非經(jīng)典推理不確定性推理可信度方法證據(jù)理論模糊推理方法4.5模糊推理方法華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院47模糊邏輯的提出與發(fā)展模糊集合模糊集合的運(yùn)算模糊關(guān)系與模糊關(guān)系的合成模糊推理模糊決策4.5.1

模糊邏輯的提出與發(fā)展華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院481965年，美國(guó)L.

A.Zadeh發(fā)表了“fuzzyset”的論文，首先提出了模糊理論。4.5.1

模糊邏輯的提出與發(fā)展華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院49

從1965年到20世紀(jì)80年代，在美國(guó)、歐洲、中國(guó)和日本，只有少數(shù)科學(xué)家研究模糊理論。

1974年，英國(guó)Mamdani首次將模糊理論應(yīng)用于熱電廠的蒸汽機(jī)控制。

1976年，Mamdani又將模糊理論應(yīng)用于水泥旋轉(zhuǎn)爐的控制。4.5.1

模糊邏輯的提出與發(fā)展華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院501983年日本FujiElectric公司實(shí)現(xiàn)了飲水處理裝置的 模糊控制。1987年日本Hitachi公司研制出地鐵的模糊控制系統(tǒng)。1987年－1990年在日本申報(bào)的模糊產(chǎn)品專利就達(dá)319種。目前，各種模糊產(chǎn)品充滿日本、西歐和美國(guó)市場(chǎng)， 如模糊洗衣機(jī)、模糊吸塵器、模糊電冰箱和模糊攝 像機(jī)等。4.5.2

模糊集合華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院51模糊集合的定義論域：所討論的全體對(duì)象，用U

等表示。元素：論域中的每個(gè)對(duì)象，常用a,b,c,x,y,z表示。集合：論域中具有某種相同屬性的確定的、可以彼此區(qū)別的元素的全體，常用A，B等表示。元素a和集合A的關(guān)系：a屬于A或a不屬于A，即只有兩個(gè)真值“真”和“假”。模糊邏輯給集合中每一個(gè)元素賦予一個(gè)介于0和1之間的實(shí)數(shù)，描述其屬于一個(gè)集合的強(qiáng)度，該實(shí)數(shù)稱為元素屬于一個(gè)集合的隸屬度。集合中所有元素的隸屬度全體構(gòu)成集合的隸屬函數(shù)。華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院524.5.2

模糊集合1.

模糊集合的定義

x

?18

0

x

<18(x)

=

1成年人例如，“成年人”集合：m“成年人”隸屬度函數(shù)圖“成年人”特征函數(shù)圖mA

(x)：元素的論域。華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院53x

屬于模糊集

A

的隸屬度，X

是元素

x4.5.2

模糊集合模糊集合的表示方法當(dāng)論域中元素?cái)?shù)目有限時(shí)，模糊集合A的數(shù)學(xué)描述為A

=

{(x

,

m

A

(

x

) ,

x

?

X

}4.5.2

模糊集合2．模糊集合的表示方法（1）Zadeh表示法（1）論域是離散且元素?cái)?shù)目有限:或nA

=

m

A

(x1

)

x1

+

m

A

(x2

)

x2

+

+

m

A

(xn

)

xn

=

m

A

(xi

)

xii=1A

={m

A

(x1

)

x1

,

m

A

(x2

)

x2

,

,

m

A

(xn

)

xn

}（2）論域是連續(xù)的，或者元素?cái)?shù)目無(wú)限：A

=

m

A

(

x

)

xx?U華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院544.5.2

模糊集合華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院552．模糊集合的表示方法（2）序偶表示法A

={(m

A

(x1

),

x1

),

(m

A

(x2

),

x2

),

,

(m

A

(xn

),

xn)}（3）向量表示法A

={m

A

(x1

),

m

A

(x2

),

,

m

A

(xn

)}3.

隸屬函數(shù)常見的隸屬函數(shù)有正態(tài)分布、三角分布、梯形分布等。隸屬函數(shù)確定方法：模糊統(tǒng)計(jì)法專家經(jīng)驗(yàn)法二元對(duì)比排序法基本概念擴(kuò)充法華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院564.5.2

模糊集合4.5.2

模糊集合

5

1+

(-1)2

50

<

u

￡

200u

-50O

0 0

￡

u

￡

50m

(u)

=

5-125

<

u

￡

200

1

+

(u

-

25)2

Y

1 0

￡

u

￡

25m

(u)

=

3．隸屬函數(shù)例如：以年齡作論域，取

U=

0,200]，扎德給出了“年老”O(jiān)

與“年青”Y

兩個(gè)模糊集合的隸屬函數(shù)為5

50<m￡200[1

+

(u

-

50)-2

]-1

uO

=5華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院57

25<m￡200[1

+

(u

-

25)2

]-1

uY

=

1

u

+0<m￡25采用Zadeh表示法:（1）模糊集合的包含關(guān)系若

m

(

x)

?

m

(

x)

，則A

BA

?

B（2）模糊集合的相等關(guān)系A(chǔ)

B若

m

(

x)

=

m

(

x)，則

A

=Bm

B

(

x

)華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院58（3）模糊集合的交并補(bǔ)運(yùn)算① 交運(yùn)算(intersection)

A

Bm

A

˙

B

(

x

)

=

min

{m

A

(

x

),

m

B

(

x

)}=

m

A

(

x

)4.5.3

模糊集合的運(yùn)算②

并m③

補(bǔ)4.5.3

模糊集合的運(yùn)算兩個(gè)模 例4.4糊集4運(yùn)算(union)

A

BA

¨

B

(

x

)

=

m

ax

{m

A

(

x

),

m

B

(

x

)}=

mA

(x)

mB

(x)運(yùn)算(complement)

A

或者

ACm

A

(

x

)

=

1

-

m

A

(

x

)設(shè)論域U

={x1

,x2

,x3

,x4

}，A及B是論域上的合，已知：A

=

0.3

x1

+

0.5

x

2

+

0.7

x

3

+

0.4

xB

=

0.5

x1

+

1

x

2

+

0.8

x

3A、B

、

A

˙

B

、

A

¨

B求無(wú)法顯示該圖片。華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院594.5.3

模糊集合的運(yùn)算x

4華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院60x1

x

2

x3x1

x

2

x3

x

4=

0.5

x1

+

1

x

2

+

0.8

x3

+

0.4

x

40.8

+

0.4

00.5

+

0.5+

0.7

x31

+

0.7=

0.3

x1

+

0.5

x

20.5

+

0.5 1

+

0.7

0.8

+

0.4

0解：A

=

0.7

x1

+

0.5

x

2

+

0.3

x3

+

0.6

x

4B

=

0.5

x1

+

0.2

x3

+

1

x

4A

B

=

0.3A

B

=

0.3（4）模糊集合的代數(shù)運(yùn)算華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院61AB①代數(shù)積：m(

x

)

=

m

A

(

x

)

m

B

(

x

)②代數(shù)和：m

A+B

(x)=m

A

(x)+mB

(x)-m

AB

(x)③有界和：mAˉ

B

(

x)

=

min{1,

mA

(

x)

+

mB

(

x)

}=

1[mA

(

x)

+

mB

(

x)]④有界積：mA?

B

(

x)

=

max{0,

mA

(

x)

+

mB

(

x)

-1}

=

0[mA

(

x)

+

mB

(

x)

-1]4.5.3

模糊集合的運(yùn)算例4.5

，A

及

B

是論域上4.5.3

模糊集合的運(yùn)算設(shè)論域U

={x1

,x2

,x3

,x4

,x5

}的兩個(gè)模糊集合，已知：A

=

0

.2

x1

+

0

.4

x

2

+

0

.9

x

3

+

0

.5

x

5B

=

0

.1

x1

+

0

.7

x

3

+

1

.0

x

4

+

0

.3

x

5求A

B、A

+

B、A

ˉ

B、A

?

B。華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院62A B

=

0.02

/

x1

+

0.63

/

x3

+

0.15

/

x5A

+

B

=

0.28/

x1

+

0.4

/

x2

+

0.97/

x3

+1.0

/

x4

+

0.65/

x5Aˉ

B

=0.3/

x1

+0.4/

x2

+1.0/

x3

+1.0/

x4

+0.8/

x5A

?

B

=

0.6

/

x3解：4.5.4

模糊關(guān)系與模糊關(guān)系的合成身高與體重的模糊關(guān)系表

1

00.8

0.10.1

0.8

1

0.8

0.2

0.1

0

1

0.8

0.2

R

=

0.2

0.8

1

0.8

0.2

0.2

0.8

10.1

0.2

0.8 從X到Y(jié)的一個(gè)模糊關(guān)系R，用模糊矩陣表示：普通關(guān)系:兩個(gè)集合中的元素之間是否有關(guān)聯(lián)，模糊關(guān)系:兩個(gè)模糊集合中的元素之間關(guān)聯(lián)程度的多少。1．模糊關(guān)系例4.6

某地區(qū)人的身高論域X={140,150,160,170,180}（單位：cm），體重論域Y={40,50,60,70,80}。華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院63華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院644.5.4

模糊關(guān)系與模糊關(guān)系的合成模糊關(guān)系模糊關(guān)系的定義：A、B：模糊集合，模糊關(guān)系用叉積(cartesian

product)表示：則其叉積運(yùn)算：R

:

A

·

B

fi

0

,1叉積常用最小算子運(yùn)算：m

A

·

B

(

a

,

b

)

=

min

{m

A

(

a

),

m

B

(b

)}A、B：離散模糊集，其隸屬函數(shù)分別為：m

A

=

m

A

(

a1

),

m

A

(

a

2

),

,

m

A

(

a

n

)

,mB

=

mB

(b1

),

mB

(b2

),

,

mB

(bn

)]BTm

=

m

mA·B

A(a,

b)解：華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院654.5.4

模糊關(guān)系與模糊關(guān)系的合成

0.8

0.2

0.0

1.

模糊關(guān)系例4.7

已知輸入的模糊集合A和輸出的模糊集合B：A

=

1.0

/

a1

+

0.8

/

a2

+

0.5

/

a3

+

0.2

/

a4

+

0.0

/

a5B

=

0.7

/

b1

+1.0

/

b2

+

0.6

/

b3

+

0.0

/

b4求A到B的模糊關(guān)系R。

1.0

BAR

=

A′

B

=

mT

m=

0.5

[0.7

1.0

0.6

0.0]

1.0華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院66

0.8

R

=

0.5

0.2

0.00.7

0.5

1.0

0.5

0.6

0.50.7

0.2

1.0

0.2

0.6

0.2

0.0

0.7

0.0

1.0

0.0

0.6

0.0

0.0

0.0

0.71.01.01.00.61.00.0

0.71.00.60.70.81.00.80.60.80.0

0.70.80.60.0

0.0

=

0.5

0.5

0.5

0.0

0.2

0.2

0.2

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

4.5.4

模糊關(guān)系與模糊關(guān)系的合成1.

模糊關(guān)系4.5.4

模糊關(guān)系與模糊關(guān)系的合成2.模糊關(guān)系的合成例8

設(shè)模糊集合X

=

{x1

,

x2

x3

,

x4

},

Y

=

{

y1

,

y2

,

y3

},

Z

=

{z1

,

z2

}華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院67Q

?

X

·

Y

,R

?

Y

·

Z

,S

?

X

·

Z

,求S。

0.

9

0

0

11

0.3

0.5

0.6

0.7

0.40.80.2Q

=

0.4

0.3

0.2 1

R

=

0.8

0.54.5.4

模糊關(guān)系與模糊關(guān)系的合成華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院682.模糊關(guān)系的合成

=

=

1

0.8

0.4

0.50.7

0.3)

(1

0.2)

(0.2

0.8)

(0.9

0.6

0.5

0.50.3)0.3)

(0.7

1)

(0.4

0.4)

(1(0

1)

(0.8

0.4)

(0(1

1)

(0.2

0.4)

(0.90.5)0.5)0.5)0.8)

(10.8)

(00.2)

(0.4(0

0.2)

(0.8

(0.7

0.5

0.7S

=

Q

R

=

0

10.60.40.80.20.3

1

0

0.9

0.2 1

0.8

0.4

0.5

0.3

(0.50.2)(0.60.8)(0.30.5)(0.51)(0.60.4)(0.3

0.3)

4.5.5

模糊推理華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院69模糊知識(shí)表示人類思維判斷的基本形式：如果

（條件）

→

則

（結(jié)論）例如：如果 壓力較高且溫度在慢慢上升則 閥門略開模糊規(guī)則：從條件論域到結(jié)論論域的模糊關(guān)系矩陣R。通過(guò)條件模糊向量與模糊關(guān)系R的合成進(jìn)行模糊推理，得到結(jié)論的模糊向量，然后采用“清晰化”方法將模糊結(jié)論轉(zhuǎn)換為精確量。4.5.5

模糊推理對(duì)

IF

A

THEN

B

類型的模糊規(guī)則的推理若已知輸入為

A，則輸出為

B

；若現(xiàn)在已知輸入為A，'

則華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院70輸出

B

'用合成規(guī)則求取B

'

=

A

'

R其中模糊關(guān)系R:mR

(x,y)=min[mA

(x),mB

(y)]控制規(guī)則庫(kù)的N

條規(guī)則有N

個(gè)模糊關(guān)系：

R1

,

R

2

,

,

Rn對(duì)于整個(gè)系統(tǒng)的全部控制規(guī)則所對(duì)應(yīng)的模糊關(guān)系R：nR

=

R1

R2

Rn

=

Rii=14.5.5

模糊推理華中科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院712.

對(duì)

IF

A

THEN

B

類型的模糊規(guī)則的推理A

=

1.0

/

a1

+

0.8

/

a2

+

0.5

/

a3

+

0.2/

a4

+

0.0

/

a5B

=

0.7

/

b1

+1.0

/

b2

+

0.6

/

b3

+

0.0

/

b4前面已經(jīng)求得模糊關(guān)系為：

0.7

0.8

0.6

0.0

0.7

1.0

0.6

0.0

R=

0.5

0.5

0.5

0.0

0.2

0.2

0.2

0.0

0.0

0.0

0.0

0.0

4.5.5

模糊推理T華中科技大學(xué)自