云南省保山市高（完）中C、D類學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月份聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

秘密★啟用前【考試時(shí)間：5月25日14：00~16：00】保山市高（完）中C?D類學(xué)校2022~2023學(xué)年下學(xué)期5月份聯(lián)考高二數(shù)學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.第I卷第1頁(yè)至第2頁(yè)，第II卷第3頁(yè)至第4頁(yè).考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.第I卷（選擇題，共60分）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校?班級(jí)?姓名?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)?準(zhǔn)考證號(hào)在答題卡上填寫(xiě)清楚2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試題卷上作答無(wú)效.一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再求.【詳解】.因，所以.故選：D2.已知，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的除法運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故選：B.3.為落實(shí)《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》達(dá)標(biāo)測(cè)試工作，全面提升學(xué)生的體質(zhì)健康水平，某校高二年級(jí)體育組教師在高二年級(jí)隨機(jī)抽取部分男生，測(cè)試了立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目，依據(jù)測(cè)試數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的頻率直方圖.已知立定跳遠(yuǎn)以上成績(jī)?yōu)榧案?，以上成?jī)?yōu)閮?yōu)秀，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)估計(jì)該校高二年級(jí)男生立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目的優(yōu)秀率和圖中的分別是是（）A.3%，0.010 B.3%，0.012 C.6%，0.010 D.6%，0.012【答案】C【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖可直接求出優(yōu)秀率，根據(jù)頻率之和為，可求出.【詳解】由頻率分布直方圖可得，優(yōu)秀率為；由，解得；故選：C.4.若直線是圓的一條對(duì)稱軸，則（）A. B. C.1 D.-1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到圓心必在直線上，列出方程，即可求解.【詳解】由圓，可圓心坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€是圓的對(duì)稱軸，所以圓心必在直線上，即，解得.故選：C.5.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A. B.1 C. D.4【答案】B【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式可求的系數(shù).【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，則，故的系數(shù)為，故選：B.6.下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于B，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于C，在為減函數(shù)，不合題意，舍.對(duì)于D，為上的增函數(shù)，符合題意，故選：D.7.意大利數(shù)學(xué)家列昂那多?斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”（斐波那契數(shù)列）：，在實(shí)際生活中，很多花朵（如梅花，飛燕草等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.已知斐波那契數(shù)列滿足：，若，則等于（）A.14 B.13 C.89 D.144【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合斐波那契數(shù)列的性質(zhì)，逐項(xiàng)迭代，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，若，即，由斐波那契數(shù)列的性質(zhì)，可得：，所以.故選：A.8.已知，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算即可結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】，故選:D.二?多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知隨機(jī)變量的分布列為1230.3則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可求解的值，然后再根據(jù)分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】由，得，則.故選：AC.10.函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸可以是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用正弦型函數(shù)圖象性質(zhì)求解.【詳解】對(duì)稱軸：，解得，當(dāng)時(shí)，，故C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，故D選項(xiàng)正確；故選：CD.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，若，則（）A. B.C. D.的坐標(biāo)為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，利用拋物線的定義，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由拋物線，可得，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，且，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得，又因?yàn)?，所以，即，則.故選：ABC.12.已知四面體是球的內(nèi)接四面體，且是球的一條直徑，，則下面結(jié)論正確的是（）A.球的表面積為B.若為的中點(diǎn)，則C.上存在一點(diǎn)，使得D.四面體體積的最大值為【答案】BD【解析】【分析】由是球的一條直徑，得到，求得球的半徑，結(jié)合球的表面積公式，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)，為的中點(diǎn)，可判定B正確；結(jié)合線面平行的判定定理和與平面相交，可判定C錯(cuò)誤；由點(diǎn)到平面的距離的最大值為球的半徑，結(jié)合錐體的體積公式，可判定D正確.【詳解】如圖所示，因?yàn)槭乔虻囊粭l直徑，所以且，所以，球的半徑為，球的表面積為，所以A錯(cuò)誤；連接，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，所以B正確；若上找到一點(diǎn)，使得，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，而與平面相交，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫孢^(guò)球心，可得點(diǎn)到平面的距離的最大值為球的半徑，所以四面體體積的最大值為，所以D正確.故選：BD.第II卷（非選擇題，共90分）注意事項(xiàng)：第II卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無(wú)效.三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，，與共線，則___________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線及向量模的坐標(biāo)計(jì)算公式求解即可.【詳解】由，，與共線，得，即，所以.故答案為：2.14.如圖所示是一個(gè)樣本容量為100的頻率分布直方圖，則由圖形中的數(shù)據(jù)，可知其分位數(shù)為_(kāi)__________.【答案】14【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，計(jì)算即可.【詳解】由圖可知第一組的頻率為，前兩組的頻率之和為，則可知其分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)為，則，解得.故答案為：1415.雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在雙曲線上，若，則______．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義求解．【詳解】由雙曲線方程得，由雙曲線定義得，故答案為：6．16.定義在上的函數(shù)滿足：有成立且，則不等式的解集為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合條件判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式即可.詳解】設(shè).又有成立，函數(shù)，即是上的增函數(shù).則，即.故答案為：四?解答題（共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.某超市為了調(diào)查顧客單次購(gòu)物金額與年齡的關(guān)系，從年齡在內(nèi)的顧客中，隨機(jī)抽取了100人，調(diào)查結(jié)果如表：年齡段類型單次購(gòu)物金額滿188元81523159單次購(gòu)物金額不滿188元235911（1）為了回饋顧客，超市準(zhǔn)備開(kāi)展對(duì)單次購(gòu)物金額滿188元的每位顧客贈(zèng)送1個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋的活動(dòng).若活動(dòng)當(dāng)日該超市預(yù)計(jì)有5000人購(gòu)物，由頻率估計(jì)概率，預(yù)計(jì)活動(dòng)當(dāng)日該超市應(yīng)準(zhǔn)備多少個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋？（2）在上面抽取的100人中，隨機(jī)依次抽取2人，已知第1次抽到的顧客單次購(gòu)物金額不滿188元，求第2次抽到的顧客單次購(gòu)物金額滿188元的概率.【答案】（1）3500（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)單次購(gòu)物金額滿188元的顧客人數(shù)，求出100人中單次購(gòu)物金額滿188元的概率，根據(jù)概率估計(jì)頻率求出5000人購(gòu)物金額滿188元的顧客人數(shù)即可；（2）根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，列出等式求出即可.【小問(wèn)1詳解】解：由表可知，單次購(gòu)物金額滿188元的有：8+15+23+15+9=70人，所以單次購(gòu)物金額滿188元頻率為：，所以5000人中，單次購(gòu)物金額滿188元大約人，故需準(zhǔn)備3500個(gè)環(huán)保購(gòu)物袋；【小問(wèn)2詳解】記事件為“第1次抽到的顧客單次購(gòu)物金額不滿188元”，記事件為“第2次抽到的顧客單次購(gòu)物金額滿188元”，所以，，所以，故第2次抽到的顧客單次購(gòu)物金額滿188元的概率為.18.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)及求和公式列方程組求解即可；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)的公比為，由題意知，，，，解得，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，.19.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且.（1）求角；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩角和的正弦公式即可化簡(jiǎn)求值；（2）根據(jù)余弦定理和面積公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】.因?yàn)?，所以，?又，所以.【小問(wèn)2詳解】由余弦定理可知：，解得或（舍去），因此的面積為.20.如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)平面的法向量，結(jié)合二面角的向量公式求解.【小問(wèn)1詳解】在直三棱柱中，平面平面，所以.又由題可知，平面，且，所以平面.【小問(wèn)2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，可得，則有.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即，令，則，所以.因?yàn)槠矫妫詾槠矫娴囊粋€(gè)法向量，所以，設(shè)二面角的大小為，則所以二面角的余弦值等于.21.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直.（1）求a的值（2）求函數(shù)的極值.【答案】（1）（2）極小值，極大值.【解析】分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)條件求出a；（2）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定極值.【小問(wèn)1詳解】易得，又函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，∴，得；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，令有或，可得x02+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增在處取得極大值，在處取得極小值；綜上，極大值，極小值.22.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓，短軸長(zhǎng)為，焦距為2.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)兩點(diǎn)都在軸上方，且.證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）