測量誤差基本知識

測量誤差基本知識第1頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1測量誤差的來源及其分類

1.測量誤差的來源

（1）使用的測量儀器構(gòu)造不十分完善。

（2）觀測者感覺器官的鑒別能力有一定的局限性，所以在儀器的安置、照準(zhǔn)、讀數(shù)等方面都會產(chǎn)生誤差。

（3）觀測時所處的外界條件發(fā)生變化，例如，溫度高低、濕度大小、風(fēng)力強弱以及大氣折光的影響等方面都會產(chǎn)生誤差。

這三方面因素綜合起來，稱為觀測條件。顯然，觀測條件的好壞與觀測成果的質(zhì)量密切相關(guān)。第2頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月2.測量誤差的分類2．1．1系統(tǒng)誤差在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小、符號上表現(xiàn)出一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因很多，主要是由于使用的儀器不夠完善及外界條件所引起的。具有累積性。消除系統(tǒng)誤差的影響，可以采用改正的方法，2．1．2偶然誤差在相同的觀測條件下作一系列的觀測，如果誤差在大小和符號上都表現(xiàn)出偶然性，即誤差的大小不等，符號不同，這種誤差稱為偶然誤差。偶然誤差是由于人的感覺器官和儀器的性能受到一定的限制，以及觀測時受到外界條件的影響等原因所造成。例如，水準(zhǔn)測量估讀毫米時，每次估讀也不絕對相同，其影響可大可小，純屬偶然性，但在相同條件下重復(fù)觀測某一量，出現(xiàn)的大量偶然誤差卻具有一定的規(guī)律性。第3頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2偶然誤差的特性

在相同的觀測條件下，獨立地觀測了217個三角形的全部內(nèi)角，每個三角形內(nèi)角之和應(yīng)等于它的真值１８０?，由于觀測值存在誤差而往往不相等。三角形內(nèi)角和的真誤差應(yīng)為：

?i=(L1+L2+L3)i-180?(i=1、２、……n)

出現(xiàn)在某區(qū)間內(nèi)誤差的個數(shù)稱為頻數(shù)，用Ｋ表示，頻數(shù)除以誤差的總個數(shù)n得Ｋ／n，稱誤差在該區(qū)間的頻率。統(tǒng)計結(jié)果列于表7－１，此表稱為頻率分布表。第4頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月誤差區(qū)間d⊿（3″）+⊿-⊿

K

K/n

K

K/n0～33～66～99～1212～1515～1818～2121～2424～2727以上3021151412852100.1380.

0970.

0690.

0650.

0550.

0370.

0230.

0090.

00502920181610862000.

1340.

0920.

0830.

0730.

0460.

0370.

0280.

00900

1080.4981090.502表7-1第5頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月從表7—1中可以看出：小誤差出現(xiàn)的百分比較大誤差出現(xiàn)的百分比為大；絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的百分比相仿；絕對值最大的誤差不超過某一個定值在其它測量結(jié)果中也顯示出上述同樣的規(guī)律?？梢钥偨Y(jié)出偶然誤差具有如下的規(guī)律性：（1）在一定條件下的有限觀測值中，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度。（2）絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的可能性大。（3）絕對值相等的正誤差與負誤差出現(xiàn)的次數(shù)大致相等，或者說，它們出現(xiàn)的概率相等。（4）當(dāng)

觀測次數(shù)無限增多時，偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零，即式中為誤差總和的符號，換言之，偶然誤差的理論平均值為零。

特性一說明誤差出現(xiàn)的范圍，即誤差的有限性；特性二說明誤差呈單峰性，或稱小誤差的密集性；特性三說明誤差方向的規(guī)律，稱為對稱性；特性四是由特性三導(dǎo)出的，它說明該列誤差的抵償性。第6頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月

為了充分反映誤差分布的情況，除去上述用表格的形式(稱誤差分布表)，還可以用直觀的圖形來表示。在圖7—1中以橫坐標(biāo)表示誤差的大小，縱坐標(biāo)表示各區(qū)間誤差出現(xiàn)的相對個數(shù)除以區(qū)間的間隔值(本例是3″)。這樣，每一誤差區(qū)間上方的長方形面積，就代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的相對個數(shù)。

圖7—1第7頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月

如果繼續(xù)觀測更多的三角形，即增加誤差的個數(shù)，當(dāng)時，各誤差出現(xiàn)的頻率也就趨近于一個完全確定的值，這個數(shù)值就誤差出現(xiàn)在各區(qū)間的概率。如圖7—2所示圖7-1中各長方條頂邊所形成的折線將成為一條光滑的連續(xù)曲線，如圖7-2所示。這條曲線稱為誤差分布曲線，也稱正態(tài)分布曲線。曲線上任一點的縱坐標(biāo)y均為橫坐標(biāo)?的函數(shù)，其函數(shù)形式為：式中e為自然對數(shù)的底（e＝２．７１８３）；為觀測值的標(biāo)準(zhǔn)差（將在下節(jié)討論），其平方稱為方差．圖7—2第8頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月

7.3衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)1．中誤差中誤差即為觀測誤差的標(biāo)準(zhǔn)差上式求值要求觀測數(shù)n趨近無窮大，實際上是很難辦到的。在實際測量工作中，觀測數(shù)總是有限的，一般采用下述公式：式是m——中誤差；——一組同精度觀測誤差自乘的總和；N——觀測數(shù)

比較式（7-4）與（7-5）可以看出，標(biāo)準(zhǔn)差與中誤差m的不同在于觀測個數(shù)的區(qū)別，標(biāo)準(zhǔn)差為理論上的觀測精度指標(biāo)，而中誤差則是觀測數(shù)n為有限時的觀測精度指標(biāo)。所以，中誤差實際上是標(biāo)準(zhǔn)差的近似值，統(tǒng)計學(xué)上稱為估值，隨著n的增加，m將趨近。

（7-4）（7-5）第9頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例7－１設(shè)有甲，乙兩組觀測值，其真誤差分別為：甲組：

乙組：則兩組觀測值的中誤差分別為：

由此可以看出甲組觀測值比乙組觀測值的精度高，因為乙組觀測值中有較大的誤差，用平方能反映較大的影響，因此，測量工作中采用中誤差作為衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)。第10頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月2．相對誤差測量工作中，有時以中誤差還不能完全表達觀測結(jié)果的精度。例如，分別丈量了1000m及50m兩段距離，其中誤差均為，并不能說明丈量距離的精度，因為量距時其中誤差或相對誤差，它是中誤差的絕對值與觀測值的比值，通常用分子為１的分?jǐn)?shù)形式表示。例如上例中前者的相對誤差為，后者則為前者分母大比值小，丈量精度高。第11頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月3．極限誤差中誤差是反映誤差分布的密集或離散程度的，不是代表個別誤差的大小，因此，要衡量某一觀測值的質(zhì)量，決定其取舍，還要引入極限誤差的概念，極限誤差又稱為允許誤差，簡稱限差。偶然誤差的第一特性說明，在一定條件下，誤差的絕對值有一定的限值。根據(jù)誤差理論可知，在等精度觀測的一組誤差中，誤差落在區(qū)間的概率分別為：

(7-6)

式(7-6)說明，絕對值大于兩倍中誤差的誤差，在測量規(guī)范中，為確保觀測成果的質(zhì)量，通常規(guī)定以三倍或兩倍中誤差為偶然誤差的允許誤差或限值，即

超過上述限差的觀測值應(yīng)舍去不用，或返工重測。第12頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4觀測值函數(shù)的中誤差——誤差傳播定律

1．線性函數(shù)線性函數(shù)的一般形式為為獨立觀測值，其中誤差分別為m1、m2……mn,k1、k2……kn為常數(shù)．設(shè)函數(shù)Ｚ的中誤差為mz，下面來推導(dǎo)兩者中誤差的關(guān)系．

中誤差的定義，得中誤差的關(guān)系式：

推廣之，可得線性函數(shù)中誤差的關(guān)系式為第13頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月2．非線性函數(shù)非線性函數(shù)即一般函數(shù)，其形式為函數(shù)Ｚ的中誤差為

第14頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月3．誤差傳播律的應(yīng)用

1)按問題的要求寫出函數(shù)式

z=f(x1,x2,…xn)2）對函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測值真誤差之間的關(guān)系式

3)寫出函數(shù)中誤差與觀測值中誤差之間的關(guān)系式：

上式寫出的規(guī)律是：將偏導(dǎo)數(shù)值平方，把真誤差換成中誤差平方。在誤差傳播定律的推導(dǎo)過程中，要求觀測值必須是獨立觀測值，它們的真誤差之間須滿足：

第15頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例7-2在1:1000比例尺地形圖上，量得某壩的壩軸線長為234.5mm，其中誤差m為。求壩線的實際長度及其中誤差mD。解：壩軸線的實際長度與圖上量得長度之間是倍數(shù)函數(shù)關(guān)系，即

最后結(jié)果寫為Ｄ＝234.5第16頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例7-3自水準(zhǔn)點ＢＭ１向水準(zhǔn)點ＢＭ２進行水準(zhǔn)測量(圖7-3)，設(shè)各段所測高差分別為求ＢＭ１、ＢＭ２兩點間的高差及其中誤差。

解：ＢＭ１、ＢＭ２之間的高差h=h1+h2+h3=7.811m;高差中誤差圖7-3第17頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月例7--4△x=Dcosα，測得D=63.21±0.04m,α=20°30′00″±12″,試求的中誤差。解：△x=Dcosα在計算中，ρ"=206265"。第18頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月7.5誤差傳播律在測量中的應(yīng)用舉例

1．算術(shù)平均值的中誤差設(shè)對某量在相同條件下觀測了n次，觀測值分別為l1，l2，…ln，其中誤差m1=m2=…mn=m現(xiàn)在來推求算術(shù)平均值的中誤差M。

x=根據(jù)線性函數(shù)的中誤差式(7-10)，則x的中誤差為

或表明：算術(shù)平均值的中誤差mx比觀測值的中誤差小倍。因此，增加觀測次數(shù)可以提高算術(shù)平均值的精度。

第19頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月2.觀測值的中誤差在中誤差的定義式(7-5)中，△是觀測值的真誤差。但在一般情況下，真值X是不知道的，故△也不知道。因此，實際上不能用真誤差△來計算中誤差。

然而算術(shù)平均值是知道的，它又最接近真值，于是選用觀測值l，與算術(shù)平均值x之差v(稱為最或然誤差，)來計算觀測值的中誤差。用改正數(shù)v計算觀測值中誤差的公式為：第20頁，課件共22頁，創(chuàng)作于2023年2月3．2加權(quán)平均值及中誤差3.2.1加權(quán)平均值

不等精度觀測時，考慮各觀測值的可靠程度，采用加權(quán)平均的辦法計算觀測的最或是值。設(shè)對某量進行n次不等精度觀測，觀測值、中誤差及權(quán)各為：觀測值l1,l2,……ln

中誤差m1,m2,……mn

權(quán)P1,P2……Pn其加權(quán)平均值為

L=3.2.2加權(quán)平均值的中誤差