人教版高中數(shù)學(xué)必修五全冊教學(xué)課件全冊公開課一等獎(jiǎng)?wù)n件省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

1.1

正弦定理和余弦定理1.1.1

正弦定理第一章解三角形第1頁.C.B.A

為了測定河岸A點(diǎn)到對岸C點(diǎn)距離，在岸邊選定1公里長基線AB，并測得∠ABC=120o，∠BAC=45o，如何求A,C兩點(diǎn)距離呢？第2頁1.通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系摸索，掌握正弦定理內(nèi)容及其證明辦法.2.會利用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形兩類基本問題.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）第3頁探究點(diǎn)1正弦定理CAB

在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面首先來探討直角三角形中角與邊等式關(guān)系.第4頁提醒：(1)銳角三角形思考：對于任意三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？CabABD第5頁(2)鈍角三角形如圖，類比銳角三角形，請同窗們自己推導(dǎo).ACabBD提醒:第6頁其他推導(dǎo)辦法（1）由于包括邊長問題，從而能夠考慮用向量來研究此問題.CabAB提醒:第7頁第8頁（2）外接圓法B`ABCbOCABbOA`aaccABCC′abcO·提醒:第9頁正弦定理概述：

在一種三角形中，各邊和它所對角正弦比相等，即注意：(1)正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應(yīng)角正弦之間一種關(guān)系式.由正弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角一種數(shù)量關(guān)系.第10頁C【即時(shí)練習(xí)】第11頁第12頁探究點(diǎn)2正弦定理基本作用第13頁第14頁A【即時(shí)練習(xí)】第15頁2.已知三角形幾個(gè)元素,求其他元素過程叫做解三角形.探究點(diǎn)3解三角形1.一般地，把三角形三個(gè)角A，B，C和它們對邊a，b，c叫做三角形元素.第16頁3.已知邊a,b和角Ａ，求其他邊和角討論．(1)Ａ為銳角a<bsinA無解a=bsinA一解bsinA<a<b兩解一解a≥bＡＢＣabＡＣabＡＢＣabB1ＡB2Ｃab第17頁(2)Ａ為鈍角a>b一解a≤b無解ＡＢＣbaＡＣbaＡ為直角時(shí)，與Ａ為鈍角相同，a>b時(shí)，一解；a≤b時(shí)，無解.第18頁【即時(shí)練習(xí)】第19頁第20頁第21頁例1在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a＝42.9cm，解三角形.解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，第22頁A【變式練習(xí)】第23頁例2在△ABC中，已知a＝20cm，b＝28cm，A＝40°，解三角形(角度精確到1°,邊長精確到1cm).注意精確度第24頁第25頁A.一解B.兩解C.無解D.不確定在△ABC中，b=，B=60°，c=1，則此三角形有（）A【變式練習(xí)】第26頁D第27頁第28頁D第29頁第30頁B第31頁第32頁第33頁1.正弦定理2.應(yīng)用正弦定理能夠解下列兩種類型三角形：它是解三角形工具之一.（1）已知兩角及任意一邊.（2）已知兩邊及其中一邊對角.第34頁0°＜A＜90°A≥90°條件圖形解個(gè)數(shù)a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba≤ba>b無解一解兩解一解無解一解AC3.解個(gè)數(shù)問題ACBBCACADB2B1CADa≥bABCD第35頁

飯能夠一日不吃，覺能夠一日不睡，書不能夠一日不讀?！珴蓶|第36頁1.1.2

余弦定理第37頁1.掌握余弦定理及余弦定理推導(dǎo)過程.2.理解余弦定理幾個(gè)變形公式.3.能純熟應(yīng)用余弦定理解三角形及處理現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際問題.第38頁余弦定理平方平方夾角兩倍c2+a2-2ac·cosB第39頁1.已知a2+b2-c2=ab，則C=(

)A.30°

B.60°

C.120°

D.150°【解析】選A.由于cosC=，0°<C<180°，因此C=30°.第40頁2.在△ABC中，已知b=2，c=3，A=60°，則a=(

)【解析】選D.由于a2=b2+c2-2bccosA=22+32-2×2×3×cos60°=7，因此a=第41頁3.在△ABC中，a=3，b=4，c=，則此三角形最大角為

.【解析】由c>b>a知C最大，由于cosC=因此C=120°.答案：120°第42頁4.在△ABC中，已知a2+b2=c2，A=30°，a=1，則S△ABC=

.【解析】由于a2+b2=c2，因此△ABC是以C為直角直角三角形，又由于A=30°，a=1，因此c=2，b=因此S△ABC=答案：第43頁一、余弦定理及其證明探究1：如圖，設(shè)那么向量c平方是什么？表達(dá)為對應(yīng)邊能夠得到什么式子？提醒：c=b-a，|c|2=(b-a)·(b-a)=b·b+a·a-2a·b=a2+b2-2abcosC，因此c2=a2+b2-2abcosC.第44頁探究2：利用探究1結(jié)論思考下面問題：(1)已知三角形三邊a，b，c，如何表達(dá)cosC.提醒：由探究1知c2=a2+b2-2abcosC，故cosC=(2)若C=90°，探究1結(jié)論還成立嗎？假如成立寫出該結(jié)論，若不成立說明理由.提醒：若C=90°，探究1結(jié)論仍成立，即c2=a2+b2.第45頁探究3：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間關(guān)系，請問兩定理之間有何聯(lián)系？提醒：余弦定理是勾股定理推廣，勾股定理是余弦定理特殊情況.第46頁【拓展延伸】利用平面圖形幾何性質(zhì)和勾股定理證明余弦定理①當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖，作CD⊥AB，D為垂足，則CD=bsinA，DB=c-bcosA，則a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，其他兩個(gè)式子同理可證；第47頁②當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖，作CD⊥AB，交BA延長線于點(diǎn)D，則CD=bsinA，DB=bcos(π-A)+c=c-bcosA，則a2=DB2+CD2=(c-bcosA)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA，其他兩個(gè)式子同理可證；③當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，易證余弦定理仍然成立.第48頁【探究總結(jié)】對余弦定理及其推論兩點(diǎn)說明(1)余弦定理適用于任意三角形，反應(yīng)了三角形中三條邊與一種內(nèi)角余弦之間嚴(yán)格確定量化關(guān)系.(2)余弦定理a2=b2+c2-2bccosA還可改寫為sin2A=sin2B+sin2C-2sinB·sinCcosA，有時(shí)應(yīng)用它求三角函數(shù)值會很方便.第49頁二、余弦定理在解三角形中應(yīng)用探究1：根據(jù)余弦定理及其推論形式，能夠解哪兩類三角形問題？提醒：余弦定理及其推論能夠處理下列兩類三角形問題：(1)已知三角形任意兩邊及它們夾角就能夠求出第三邊.(2)已知三角形三條邊就能夠求出其角.第50頁探究2：根據(jù)下面提醒，寫出角A范圍①在△ABC中，若a2<b2+c2?

.②在△ABC中，若a2=b2+c2?

.③在△ABC中，若a2>b2+c2?

.第51頁提醒：由余弦定理可知cosA=顯然當(dāng)a2<b2+c2時(shí)，cosA>0，即0°<A<90°，當(dāng)a2=b2+c2時(shí)，A=90°，當(dāng)a2>b2+c2時(shí)，90°<A<180°.答案：①0°<A<90°②A=90°③90°<A<180°第52頁【探究總結(jié)】對余弦定理解三角形兩點(diǎn)說明(1)余弦定理每個(gè)等式中包括四個(gè)不一樣量，它們分別是三角形三邊和一種角，可“知三求一”.(2)當(dāng)已知兩邊和其中一邊對角時(shí)，一般采取正弦定理，但根據(jù)需要也可用余弦定理，解三角形時(shí)，要注意靈活應(yīng)用.第53頁類型一利用余弦定理解三角形1.(2023·成都高二檢測)在△ABC中，若(a+c)(a-c)=b(b+c)，則∠A=(

)A.60°或120°

B.60°

C.120°

D.150°2.(2023·福建高考)在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，則AB等于

.第54頁【解題指南】1.先利用等式變形，再利用余弦定理求出角A余弦值，再求角A.2.直接應(yīng)用余弦定理求解.第55頁【自主解答】1.選C.由于(a+c)(a-c)=b(b+c)，因此a2-c2=b2+bc，即b2+c2-a2=-bc，因此cosA=故A=120°.2.由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA，得3=AB2+4-2×2AB·cos60°，即AB2-2AB+1=0，解得AB=1.答案：1第56頁【規(guī)律總結(jié)】利用余弦定理解三角形兩種類型及解法技巧(1)已知三角形兩邊及夾角解三角形，能夠先由余弦定理求出第三條邊，再由正弦定理求出一角，最后由A+B+C=180°，求出第三個(gè)角.(2)已知三角形三邊，可由余弦定理求三角形兩個(gè)內(nèi)角，再由A+B+C=180°求出第三個(gè)角.上述兩種情況，利用余弦定理時(shí)，由于是已知三邊求角，或已知兩邊及夾角求另一邊，由三角形全等判定定理可知，三角形是確定，因而解唯一.第57頁【拓展延伸】解斜三角形常見類型及解法已知條件應(yīng)用定理一般解法一邊和兩角(如a，B，C)正弦定理由A+B+C=180°，求角A；由正弦定理求出b與c.在有解時(shí)只有一解.兩邊和夾角(如a，b，C)余弦定理、正弦定理由余弦定理求第三邊c；由正弦定理求出小邊所正確角；再由A+B+C=180°求出另一角.在有解時(shí)只有一解.第58頁已知條件應(yīng)用定理一般解法三邊(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用A+B+C=180°，求出角C.在有解時(shí)只有一解.兩邊和其中一邊對角(如a，b，A)正弦定理、余弦定理由正弦定理求出角B；由A+B+C=180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有兩解、一解或無解.第59頁【變式訓(xùn)練】在△ABC中，a=2，b=-1，C=30°，求c及A，B值.【解析】由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC=22+(-1)2-2×2×(-1)cos30°=2，因此c=因此cosA=由于0°<A<180°，因此A=135°，因此B=180°-A-C=15°.第60頁類型二判斷三角形形狀1.在△ABC中，若a=2bcosC，則△ABC形狀是(

)A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形2.在△ABC中，已知acosA+bcosB=ccosC，試判斷△ABC形狀.第61頁【解題指南】1.將cosC=代入已知條件，轉(zhuǎn)化為邊關(guān)系，化簡變形即可判斷△ABC形狀.2.將余弦定理變形式代入，轉(zhuǎn)化成邊關(guān)系，化簡變形后判斷三角形形狀.第62頁【自主解答】1.選B.由于a=2bcosC=2b·

因此a2=a2+b2-c2，即b2=c2，因此b=c，因此△ABC為等腰三角形.2.由余弦定理，得

因此a2(b2+c2-a2)+b2(c2+a2-b2)=c2(a2+b2-c2)，a2(b2-a2)+a2c2+b2(a2-b2)+b2c2=c2a2+b2c2-c4，即(a2-b2)2=c4，因此a2-b2=c2或a2-b2=-c2，即b2+c2=a2或a2+c2=b2.因此△ABC是直角三角形.第63頁【延伸探究】本例2中條件“acosA+bcosB=ccosC”若換為“asinA+bsinB=csinC”，其結(jié)論又如何呢？【解析】由正弦定理得

因此

因此

即a2+b2=c2，因此△ABC為直角三角形.第64頁【規(guī)律總結(jié)】利用正、余弦定理判斷三角形形狀技巧判斷三角形形狀特性，必須從研究三角形邊與邊關(guān)系，或角與角關(guān)系入手，充足利用正弦定理與余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，由三角形邊或角代數(shù)運(yùn)算或三角運(yùn)算，找出邊與邊或角與角關(guān)系，從而作出正確判斷.第65頁【變式訓(xùn)練】在△ABC中，已知b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，試判斷△ABC形狀.【解析】將已知等式變形得b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosB·cosC，由余弦定理得即b2+c2=因此△ABC為直角三角形.第66頁類型三正弦定理、余弦定理綜合應(yīng)用1.(2023·安徽高考)設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C所對邊長分別為a，b，c.若b+c=2a，且3sinA=5sinB，則角C=

.2.(2023·鹽城高二檢測)如圖，在△ABC中，B=45°，D是BC邊上一點(diǎn)，AD=5，AC=7，DC=3，則AB長為

.第67頁【解題指南】1.先由正弦定理找出a與b關(guān)系，然后再結(jié)合已知條件b+c=2a，利用余弦定理即可求出角C.2.先根據(jù)余弦定理求出∠ADC值，即可得到∠ADB值，最后根據(jù)正弦定理可得答案.第68頁【自主解答】1.由題設(shè)條件可得由余弦定理得因此C=答案：第69頁2.在△ADC中，AD=5，AC=7，DC=3，由余弦定理得cos∠ADC=因此∠ADC=120°，∠ADB=60°.在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，由正弦定理得因此AB=答案：第70頁【規(guī)律總結(jié)】利用正、余弦定理處理三角形中綜合問題常用思想辦法(1)正弦定理和余弦定理從不一樣側(cè)面反應(yīng)了三角形中邊角關(guān)系，揭示了三角形中元素間內(nèi)在聯(lián)系，解題時(shí)一定要注意正、余弦定理結(jié)合，可互相滲入，互相促進(jìn)，它們是處理三角形問題主要根據(jù).(2)處理正弦定理與余弦定理綜合應(yīng)用問題，應(yīng)注意根據(jù)詳細(xì)情況引入未知數(shù)，利用方程思想來處理問題.第71頁【變式訓(xùn)練】在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C對邊，已知b2=ac，且a2-c2=ac-bc.(1)求角A值.(2)求值.第72頁【解析】(1)由于b2=ac，a2-c2=ac-bc，因此b2+c2-a2=bc，在△ABC中，由余弦定理，得：cosA=因此A=60°.(2)在△ABC中，由正弦定理，得：sinB=由于b2=ac，A=60°，因此第73頁【拓展類型】利用正、余弦定理證明三角恒等式1.在△ABC中，求證：2.在△ABC中，求證：a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).【解題指南】1.從要證明等式左端出發(fā)，將切化弦，然后利用正、余弦定理即可證明該等式成立.2.從要證明等式右端出發(fā)，利用余弦定理即可證明.第74頁【證明】1.左邊==右邊，等式得證.2.右邊==b2+c2-a2+a2+c2-b2+a2+b2-c2=a2+b2+c2=左邊.第75頁【規(guī)律總結(jié)】利用正、余弦定理證明三角恒等式關(guān)鍵證明三角恒等式關(guān)鍵是消除等號兩端三角函數(shù)式差異.形式上一般有左?右；右?左或左?中?右三種.第76頁第77頁第78頁第79頁第80頁ACB51o55m75o測量距離第81頁解三角形公式、定理正弦定理：余弦定理：三角形邊與角關(guān)系：2.大角對大邊，小角對小邊。第82頁余弦定理作用（1）已知三邊，求三個(gè)角；（2）已知兩邊和它們夾角，求第三邊和其他兩角；

（3）判斷三角形形狀。三角形面積公式。第83頁斜三角形解法已知條件定理選用一般解法用正弦定理求出另一對角,再由A+B+C=180?，得出第三角,然后用正弦定理求出第三邊。正弦定理余弦定理正弦定理余弦定理由A+B+C=180?,求出另一角，再用正弦定理求出兩邊。用余弦定理求第三邊，再用余弦定理求出一角，再由A+B+C=180?得出第三角。用余弦定理求出兩角，再由A+B+C=180?得出第三角。一邊和兩角(ASA或AAS)兩邊和夾角(SAS)三邊(SSS)兩邊和其中一邊對角(SSA)第84頁實(shí)際應(yīng)用問題中有關(guān)名稱、術(shù)語1.仰角、俯角、視角。（1）當(dāng)視線在水平線上方時(shí)，視線與水平線所成角叫仰角。（2）當(dāng)視線在水平線下方時(shí)，視線與水平線所成角叫俯角。（3）由一點(diǎn)出發(fā)兩條視線所夾角叫視角。（一般這兩條視線過被觀測物兩端點(diǎn)）水平線視線視線仰角俯角第85頁2.方向角、方位角。（1）方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成不大于90°水平角叫方向角。（2）方位角：指北方向線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成角叫方位角。東西北南60°30°45°20°ABCD點(diǎn)A在北偏東60°,方位角60°.點(diǎn)B在北偏西30°,方位角330°.點(diǎn)C在南偏西45°,方位角225°.點(diǎn)D在南偏東20°,方位角160°.第86頁3.水平距離、垂直距離、坡面距離。水平距離垂直距離坡面距離坡度（坡度比）i:垂直距離/水平距離坡角α:tanα=垂直距離/水平距離α第87頁例1.設(shè)A、B兩點(diǎn)在河兩岸，要測量兩點(diǎn)之間距離。測量者在A同測，在所在河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC距離是55

m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°，求A、B兩點(diǎn)間距離（精確到0.1m）.分析：已知兩角一邊，能夠用正弦定理解三角形第88頁解：根據(jù)正弦定理，得答：A,B兩點(diǎn)間距離為65.7米。第89頁ABCD第90頁ABCDαβγδa分析：用例1辦法，能夠計(jì)算出河這一岸一點(diǎn)C到對岸兩點(diǎn)距離，再測出∠BCA大小，借助于余弦定理能夠計(jì)算出A、B兩點(diǎn)間距離。第91頁解：測量者能夠在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測得CD=a,并且在C、D兩點(diǎn)分別測得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ.在△ADC和△BDC中，應(yīng)用正弦定理得計(jì)算出AC和BC后，再在△ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間距離第92頁變式訓(xùn)練：若在河岸選用相距40米C、D兩點(diǎn)，測得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=求A、B兩點(diǎn)間距離.注：閱讀教材P12，理解基線概念第93頁練習(xí)1.一艘船以32.2nmile/h速度向正北航行。在A處看燈塔S在船北偏東20o方向，30min后航行到B處，在B處看燈塔在船北偏東65o方向，已知距離此燈塔6.5nmile以外海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船能夠繼續(xù)始終沿正北方向航行嗎？第94頁變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀測站C距離都等于akm,燈塔A在觀測站C北偏東30o，燈塔B在觀測站C南偏東60o，則A、B之間距離為多少？第95頁練習(xí)2．自動卸貨汽車車廂采取液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿BC長度．已知車廂最大仰角是60°，油泵頂點(diǎn)B與車廂支點(diǎn)A之間距離為1.95m，AB與水平線之間夾角為6°20’，AC長為1.40m，計(jì)算BC長（精確到0.01m）．

（1）什么是最大仰角？

最大角度最大角度最大角度最大角度（2）例題中包括一種如何三角形？在△ABC中已知什么，要求什么？CAB第96頁最大角度最大角度最大角度最大角度

已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，夾角∠CAB＝66°20′，求BC．解：由余弦定理，得答：頂桿BC約長1.89m。

CAB第97頁第98頁總結(jié)實(shí)際問題抽象概括示意圖數(shù)學(xué)模型推理演算數(shù)學(xué)模型解實(shí)際問題解還原說明第99頁練習(xí)：

P19

習(xí)題1.2A組1，4，5作業(yè)：

P19習(xí)題1.2A組2，3作業(yè)與練習(xí)第100頁第2學(xué)時(shí)解三角形實(shí)際應(yīng)用舉例——高度、角度問題第101頁【知識提煉】1.仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)水平線和目標(biāo)視線夾角，目標(biāo)視線在水平線_____時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平線_____時(shí)叫俯角，如圖所示.上方下方第102頁2.方位角和方向角(1)方位角：從_____方向_______轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成角.如圖(1)目標(biāo)A方位角為135°.正北順時(shí)針第103頁(2)方向角：從_____方向線到目標(biāo)方向線所成不大于90°水平角.如圖(2)，北偏東30°，南偏東45°.指定第104頁3.視角從眼睛中心向物體兩端所引兩條直線_____，如圖所示，視角50°指是觀測該物體兩端視線張開角度.夾角第105頁【即時(shí)小測】1.思考下列問題:(1)仰角和俯角都是與鉛垂線所成角嗎？提醒：不是.仰角和俯角都是與水平線所成角.第106頁(2)方位角范圍是(0，π)嗎？提醒：不是.方位角概念表白，“從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成角”，顯然方位角范圍應(yīng)當(dāng)是(0，2π).第107頁2.從A處望B處仰角為α，從B處望A處俯角為β，則α，β關(guān)系為(

)A.α>βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°第108頁【解析】選B.根據(jù)題意和仰角、俯角概念畫出草圖，如圖，由于兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，因此α=β.第109頁3.從高出海平面h米小島看正東方向有一只船俯角為30°，看正南方向有一只船俯角為45°，則此時(shí)兩船間距離為(

)A.2h米B.h米C.h米

D.2h米第110頁【解析】選A.如圖所示，BC=h，AC=h，因此AB==2h(米).第111頁4.如圖所示，D，C，B在地平面同始終線上，DC=10m，從D，C兩地測得A點(diǎn)仰角分別為30°和45°，則A點(diǎn)離地面高AB等于(

)A.10mB.5mC.5(-1)mD.5(+1)m第112頁【解析】選D.在△ACD中，由正弦定理得AD==10(+1).在Rt△ABD中，AB=ADsin30°=5(+1)(m).第113頁5.身高為1.70米李明站在離旗桿20米地方，目測該旗桿高度，若李明此時(shí)仰望角為30°，則該旗桿高度約為________米.(精確到0.1米)【解析】h=+1.70≈13.2(米).答案：13.2第114頁【知識探究】知識點(diǎn)高度和角度測量問題觀測圖形，回答下列問題：第115頁問題1：如圖1，求高度時(shí)，底可達(dá)到時(shí)，如何求解？問題2：如圖2，圖3，求高度時(shí)，底不可達(dá)到時(shí)，如何求解？第116頁【總結(jié)提升】測量高度問題時(shí)常見三種數(shù)學(xué)模型及其特性(1)三種模型.底部可達(dá)到底部不可達(dá)到解直角三角形解直角三角形解一般三角形第117頁(2)特性.①底部可達(dá)到，此類問題可直接構(gòu)造直角三角形.②底部不可達(dá)到，但仍在同一與地面垂直平面內(nèi)，此類問題中兩次觀測點(diǎn)和所測垂線段垂足在同一條直線上，觀測者始終向“目標(biāo)物”前進(jìn).③底部不可達(dá)到，且包括與地面垂直平面.此類問題中觀測者兩次觀測點(diǎn)所在直線不通過“目標(biāo)物”.第118頁【題型探究】類型一高度問題【典例】1.(2023·湖北高考)如圖，一輛汽車在一條水平馬路上向正西行駛，到A處時(shí)測得馬路北側(cè)一山頂D在西偏北30°方向上，行駛600m后達(dá)到B處，測得此山頂在西偏北75°方向上，仰角為30°，則此山高度CD=__________m.第119頁第120頁2.如圖，為了測量河對岸塔高AB，有不同方案，其中之一是選用與塔底B在同一水平面內(nèi)兩個(gè)觀測點(diǎn)C和D，測得CD=200米，在C點(diǎn)和D點(diǎn)測得塔頂A仰角分別是45°和30°，且∠CBD=30°，求塔高AB.第121頁【解題探究】1.典例1中，圖中西偏北30°及西偏北75°分別是哪個(gè)角？仰角為30°指是哪個(gè)角？提醒：圖中西偏北30°即∠CAB=30°，西偏北75°即∠ABC補(bǔ)角.仰角為30°即∠DBC=30°.第122頁2.典例2中，在△BCD中，已知CD，∠CBD，如何建立有關(guān)塔高方程？提醒：設(shè)AB=h，將BC與BD分別用h表達(dá)，在△BCD中，利用余弦定理建立有關(guān)塔高h(yuǎn)方程求解.第123頁【解析】1.在△ABC中，∠CAB=30°，∠ACB=75°-30°=45°，根據(jù)正弦定理知，即BC=×sin∠BAC=(m)，因此CD=BC×tan∠DBC=(m).答案：第124頁2.在Rt△ABC中，∠ACB=45°，設(shè)AB=h，則BC=h；在Rt△ABD中，∠ADB=30°，則BD=h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2·BC·BD·cos∠CBD，即2023=h2+(h)2-2·h·h·，因此h2=2023，解得h=200(h=-200舍去).即塔高AB為200米.第125頁【辦法技巧】測量高度一般步驟(1)根據(jù)已知條件畫出示意圖.(2)分析與問題有關(guān)三角形.(3)利用正、余弦定理，有序地解有關(guān)三角形，逐漸求解.(4)把解出答案還原到實(shí)際問題中.第126頁【變式訓(xùn)練】(2023·濰坊高二檢測)如圖，為測量山高M(jìn)N，選擇A和另一座山山頂C為測量觀測點(diǎn).從A點(diǎn)測得M點(diǎn)仰角∠MAN=60°，C點(diǎn)仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；從C點(diǎn)測得∠MCA=60°.已知山高BC=100m，則山高M(jìn)N=__________m.第127頁【解析】如圖，第128頁在Rt△ABC中，BC=100，∠CAB=45°，因此AC=100.在△AMC中，∠CAM=75°，∠ACM=60°，因此∠AMC=45°.由正弦定理知因此AM=100.第129頁在Rt△AMN中，∠NAM=60°，因此MN=AM·sin60°=100×=150(m).答案：150第130頁【賠償訓(xùn)練】某人從塔AB正東C處沿著南偏西60°方向前進(jìn)40米后達(dá)到D處，望見塔在東北方向，若沿途測得塔最大仰角為30°，求塔高.【解題指南】解答時(shí)能夠先根據(jù)題意畫出圖形，著重思考何時(shí)仰角最大，要突破這一難點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為沿途觀測點(diǎn)何處距塔底B距離最小.第131頁【解析】根據(jù)題意畫出示意圖，且BE⊥CD.在△BDC中，CD=40，∠BCD=30°，∠DBC=135°.由正弦定理，得因此BD=第132頁在Rt△BED中，∠BDE=180°-135°-30°=15°，因此BE=DBsin15°第133頁在Rt△ABE中，∠AEB=30°，因此AB=BEtan30°=(米).故塔高為米.第134頁類型二角度問題【典例】1.已知兩座燈塔A和B與海洋觀測站C距離相等，燈塔A在觀測站C北偏東40°，燈塔B在觀測站C南偏東60°，則燈塔A在燈塔B(

)A.北偏東10°

B.北偏西10°C.南偏東10°D.南偏西10°第135頁2.如圖，甲船在A處，乙船在A處南偏東45°方向，距A有9海里B處，并以20海里每小時(shí)速度沿南偏西15°方向行駛，若甲船沿南偏東θ度方向，并以28海里每小時(shí)速度行駛，恰能在C處追上乙船.問用多少小時(shí)追上乙船，并求sinθ值.(成果保存根號，無需求近似值)第136頁【解題探究】1.典例1中，分析題中角關(guān)系關(guān)鍵是什么？提醒：確定角關(guān)系關(guān)鍵是畫出圖形，并結(jié)合方向角有關(guān)概念求解.2.典例2中，如何求∠ABC？提醒：∠ABC=180°-15°-45°=120°.第137頁【解析】1.選B.如圖，由題意，知AC=BC，∠ACB=80°，因此∠CBA=50°，α+∠CBA=60°.因此α=10°，即燈塔A在燈塔B北偏西10°.第138頁2.設(shè)用t小時(shí)，甲船追上乙船，且在C處相遇，那么在△ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，∠ABC=180°-15°-45°=120°，由余弦定理得：(28t)2=81+(20t)2-2×9×20t×()，128t2-60t-27=0，解得t=或t=-(舍去)，第139頁因此AC=21(海里)，BC=15(海里)，根據(jù)正弦定理，得sin∠BAC=cos∠BAC=又∠ABC=120°，∠BAC為銳角，因此θ=45°-∠BAC，第140頁sinθ=sin(45°-∠BAC)=sin45°cos∠BAC-cos45°sin∠BAC=第141頁【延伸探究】典例2中若乙船向正南方向行駛，速度未知，而甲船沿南偏東15°方向行駛恰能與乙船相遇，其他條件不變，試求乙船速度.第142頁【解析】設(shè)乙船速度為x海里每小時(shí)，用t小時(shí)甲船追上乙船，且在C處相遇(如圖所示)，則在△ABC中，AC=28t，BC=xt，∠CAB=30°，∠ABC=135°.由正弦定理得第143頁即因此(海里每小時(shí)).答：乙船速度為14海里每小時(shí).第144頁【辦法技巧】測量角度問題基本思緒(1)測量角度問題關(guān)鍵是在弄清題意基礎(chǔ)上，畫出表達(dá)實(shí)際問題圖形，在圖形中標(biāo)出有關(guān)角和距離.(2)根據(jù)實(shí)際選擇正弦定理或余弦定理解三角形，然后將解得成果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題解.第145頁【拓展延伸】處理追及問題步驟(1)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.(2)畫出表達(dá)實(shí)際問題圖形，并在圖中標(biāo)出有關(guān)角和距離，借助正弦定理或余弦定理處理問題.(3)把數(shù)學(xué)問題還原到實(shí)際問題中去.第146頁【變式訓(xùn)練】如圖所示，位于A處信息中心得悉：在其正東方向相距40海里B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等候營救.信息中心立即把消息通知在其南偏西30°、相距20海里C處乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ方向沿直線CB前往B處救援，則cosθ值為_______.第147頁【解析】在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800，因此BC=由正弦定理得，因此sin∠ACB=第148頁由∠BAC=120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB=由θ=∠ACB+30°，cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=故cosθ值為.答案：第149頁【賠償訓(xùn)練】某漁船在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處得悉后，立即測出該漁船在方位角為45°，距離A為10海里C處，并測得漁船正沿方位角為105°方向，以10海里/時(shí)速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以10海里/時(shí)速度前往營救，并在小島B處與漁船相靠，求艦艇航向和接近漁船所需時(shí)間.第150頁【解析】如圖所示，設(shè)所需時(shí)間為t小時(shí)，則AB=10t，BC=10t，在△ABC中，由余弦定理得，AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos120°，即(10t)2=102+(10t)2-2×10×10tcos120°.整頓得：2t2-t-1=0，解得t=1或t=-(舍去)，第151頁因此艦艇需1小時(shí)接近漁船，此時(shí)AB=10，BC=10.第152頁在△ABC中，由正弦定理得：因此sin∠CAB=因此∠CAB=30°.因此艦艇航行方位角為75°.第153頁易錯(cuò)案例正、余弦定理綜合應(yīng)用【典例】某觀測站C在城A南偏西20°方向，由城A出發(fā)一條馬路，走向是南偏東40°，在C處測得馬路上B處有一人，距C為31千米，正沿馬路向A城走去，走了20千米后達(dá)到D處，此時(shí)CD間距離為21千米，則這人能達(dá)到A城還要走_(dá)______千米第154頁【失誤案例】第155頁【錯(cuò)解分析】分析解題過程，你懂得錯(cuò)在哪里嗎？提醒：本題在解△ACD時(shí)，利用余弦定理求AD，產(chǎn)生了增解，應(yīng)用正弦定理來求解.第156頁【自我矯正】如圖，令∠ACD=α，∠CDB=β，在△CBD中，由余弦定理得cosβ=因此sinβ=又sinα=sin(β-60°)=sinβcos60°-sin60°cosβ第157頁在△ACD中，由正弦定理得因此AD==15(千米).答案：15第158頁【防備措施】處理應(yīng)用舉例問題兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)審題作圖：認(rèn)真閱讀題目，根據(jù)題目中給出角(注意明確有關(guān)角概念)及給出對應(yīng)長度，正確畫出對應(yīng)圖形，在圖形中標(biāo)出對應(yīng)角度或長度.(2)根據(jù)圖形中數(shù)據(jù)，合理選擇公式及定理.注意在利用余弦定理時(shí)，有時(shí)會出現(xiàn)兩個(gè)解，解題時(shí)要注意根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行取舍，避免出現(xiàn)增解.第159頁第160頁第161頁第162頁【思考】第163頁【點(diǎn)撥】第164頁第165頁

三角形面積計(jì)算問題【名師指津】利用三角形面積公式時(shí)注意點(diǎn)：(1)利用三角形面積公式解題時(shí)，經(jīng)常要結(jié)合三角函數(shù)有關(guān)公式；(2)解與三角形面積有關(guān)問題，常需要利用正弦定理、余弦定理，解題時(shí)要注意發(fā)覺各元素之間關(guān)系，靈活利用公式；(3)對于求多邊形面積問題可通過度割轉(zhuǎn)化為幾個(gè)三角形面積和.第166頁【尤其提醒】尤其要注意三個(gè)內(nèi)角取值范圍，以避免由三角函數(shù)求角時(shí)出現(xiàn)增根錯(cuò)誤.第167頁【例1】在△ABC中，角A、B、C對邊分別為a,b,c，已知（1）求sinC值；（2）求△ABC面積S.【審題指導(dǎo)】(1)由三角形內(nèi)角和定理可知再利用兩角差正弦公式解得；(2)△ABC面積可由面積公式求得.第168頁【規(guī)范解答】(1)∵∴A＜B,∴由A+B+C=π，(2)據(jù)正弦定理得第169頁【變式訓(xùn)練】在△ABC中，BC=5，AC=4，cos∠CAD=且AD=BD，求△ABC面積.【解題提醒】由∠CAD余弦，我們想到在△CAD中利用余弦定理，求出CD長，然后再利用正弦定理求出角C正弦值，根據(jù)三角形面積公式求出即可.第170頁【解析】設(shè)CD=x，則AD=BD=5-x,在△CAD中，由余弦定理可知，解得x=1.∴CD=1，AD=BD=4.在△CAD中，由正弦定理可知第171頁即△ABC面積為第172頁【誤區(qū)警示】在計(jì)算CD和sinC值時(shí)，很容易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤.第173頁

證明三角恒等式【名師指津】證明三角恒等式需要注意問題：處理本類問題，既要用到三角形中特有恒等變形公式，又要用到任意角三角函數(shù)恒等變形公式，二者要結(jié)合，靈活利用.三角形邊和角互相轉(zhuǎn)換公式，主要是正弦定理、余弦定理這兩個(gè)定理，因此此類題型都可用不一樣途徑求解.【尤其提醒】證明三角恒等式一定要正確利用變形公式，不能隨便臆造.第174頁【例2】在△ABC中，求證：【審題指導(dǎo)】從左邊證右邊，化角為邊.【規(guī)范解答】左邊===右邊，其中R為△ABC外接圓半徑.第175頁【互動探究】上述證明辦法是化角為邊，若證明辦法改為化邊為角該怎么證明？【證明】左邊=第176頁

三角形中綜合問題【名師指津】處理三角形中綜合問題需要注意：解三角形與三角函數(shù)結(jié)合題目是近來幾年高考一種趨勢，處理此類問題常以三角形為載體，以正、余弦定理和三角函數(shù)公式為工具來綜合考查，因此掌握正、余弦定理、三角函數(shù)公式和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.【尤其提醒】利用正弦定理求角時(shí)，要注意角取值范圍；要正確利用三角函數(shù)公式和性質(zhì).第177頁【例3】在△ABC中，AC=3，sinC=2sinA，（1）求AB長；（2）求sin(2A-)值.【審題指導(dǎo)】在△ABC中，利用正弦定理可直接求得AB長；再利用余弦定理求得cosA，進(jìn)而求得sinA，sin2A，cos2A，最后利用兩角差正弦公式求得第178頁【規(guī)范解答】（1）在△ABC中，根據(jù)正弦定理，得（2）在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得于是從而cos2A=cos2A-sin2A=第179頁【變式訓(xùn)練】（2023·天津高考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊分別為a,b,c，已知B=C，（1）求cosA值；（2）求值.【解題提醒】利用余弦定理求得cosA，進(jìn)而求得sinA，sin2A，cos2A，最后利用兩角和余弦公式求得第180頁【解析】（1）由B=C，可得因此，由余弦定理，可得，（2）∵cosA=A∈(0,π)，∴cos2A=2cos2A-1=第181頁第182頁【例】在△ABC中，AB=5，AC=4，D為BC中點(diǎn)，且AD=4，求BC邊長.【審題指導(dǎo)】此題所給題設(shè)條件只有邊長，應(yīng)考慮在假設(shè)BC長為x后，建立有關(guān)x方程.第183頁【規(guī)范解答】設(shè)BC=x，則由D為BC中點(diǎn)，可得在△ADB中，在△ADC中，第184頁又∠ADB+∠ADC=180°，因此cos∠ADB=cos(180°-∠ADC)=-cos∠ADC，解得即BC邊長為第185頁【變式備選】在△ABC中，若c=4，b=7,BC邊上中線AD長為求邊長a.【解析】∵AD是BC邊上中線，∴可設(shè)CD=DB=x，則CB=a=2x，∵c=4，b=7，AD=∴在△ACD中，第186頁在△ABC中，解得x=∴a=2x=9.

第187頁【典例】（12分）在△ABC中，若B=30°，AC=2,求△ABC面積.【審題指導(dǎo)】先由正弦定理求得C度數(shù)，從而得到A度數(shù)，利用三角形面積公式求得三角形面積.第188頁【規(guī)范解答】∵AC=2，B=30°，∴根據(jù)正弦定理，有……2分又∵AB＞AC，∴C＞B，則C有兩解，……3分（1）當(dāng)C為銳角時(shí)，C=60°，A=90°

…………7分（2）當(dāng)C為鈍角時(shí)，C=120°，A=30°

……………11分綜上可知，△ABC面積為…12分第189頁【誤區(qū)警示】對解答本題時(shí)易犯錯(cuò)誤詳細(xì)分析如下：第190頁【即時(shí)訓(xùn)練】設(shè)在△ABC中，b=1，A=60°，求角B，邊c及△ABC面積S△ABC.【解析】在△ABC中，b=1，A=60°，由正弦定理，得∵0°＜B＜180°，且b<a，∴B=30°,∴C=90°.由正弦定理，得△ABC面積第191頁1.在△ABC中，A=45°，則△ABC外接圓半徑R等于（）(A)1(B)2(C)4(D)無法確定【解析】選A.∵∴R=1.第192頁2.在△ABC中，若C=60°，則BC邊上高等于()(A)(B)(C)(D)6【解析】選D.BC邊上高等于bsinC=6.第193頁3.△ABC周長為20，面積為A=60°，則BC邊長等于（）(A)5(B)6(C)7(D)8【解析】選C.由題知a+b+c=20，∴bc=40，a2=b2+c2-2bccos60°=(b+c)2-3bc=(20-a)2-120,解得a=7.第194頁4.在△ABC中，a=4，b=2，C=45°，則S△ABC=_______.【解析】S△ABC==答案：第195頁5.若△ABC面積為c=2，A=60°，求a，b值.【解析】∵∴b=1，由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=12+22-2×1×2×=3，第196頁第197頁第198頁第二章數(shù)列2.1

數(shù)列概念與簡單表達(dá)法第1學(xué)時(shí)數(shù)列概念與簡單表達(dá)法第199頁1.“一尺之棰,日取其半,萬世不竭.”含義是什么？…第200頁2.三角形數(shù)13610第201頁3.正方形數(shù)14916第202頁1.通過實(shí)例，理解數(shù)列概念和簡單表達(dá)法.（重點(diǎn)）2.理解數(shù)列是一種特殊函數(shù)，體會數(shù)列是反應(yīng)自然規(guī)律數(shù)學(xué)模型.第203頁（2）三角形數(shù)：1，3，6，10，…探究點(diǎn)1數(shù)列概念這些數(shù)有什么共同特點(diǎn)？（5）無窮多種1排列成一列數(shù)：1，1，1，1，…（3）正方形數(shù)：1，4，9，16，…（4）1，2，3，4，…倒數(shù)排列成一列數(shù)提醒：1.都是一列數(shù)；2.都有一定次序第204頁按照一定次序排列一列數(shù)稱為數(shù)列.1.數(shù)列概念:思考：(1)“1,2,3,4,5”與“5,4,3,2,1”是同一種數(shù)列嗎？與“1,3,2,4,5”呢？

沒有按照一定次序排列，不符合數(shù)列有序性不是同一種數(shù)列提醒:第205頁(2)數(shù)列中數(shù)能夠反復(fù)嗎？(3)數(shù)列與集合有什么區(qū)分？能夠數(shù)列講究：有序性、可反復(fù)性、確定性.集合講究：無序性、互異性、確定性；提醒:第206頁數(shù)列中每一種數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列項(xiàng).2.數(shù)列項(xiàng):數(shù)列中每一項(xiàng)都和它序號有關(guān)，排在第一位數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列第1項(xiàng)(一般也叫做首項(xiàng))，排在第二位數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列第2項(xiàng)……排在第n位數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列第n項(xiàng).第207頁3.數(shù)列一般記法:數(shù)列a1,a2,a3,a4,…,an,…可簡記為{an}.思考：數(shù)列{an}是集合嗎？{an}與an有何區(qū)分？

集合中元素具有沒有序性、互異性，而數(shù)列不具有這些特性，數(shù)列{an}不是集合,它是數(shù)列一種整體符號.{an}表達(dá)數(shù)列a1,

a2,a3,a4,…,

an,…，而an表達(dá)數(shù)列第n項(xiàng).提醒:第208頁4.數(shù)列分類:(1)按項(xiàng)數(shù)分：有窮數(shù)列與無窮數(shù)列；(2)按項(xiàng)之間大小關(guān)系分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列與擺動數(shù)列.有窮數(shù)列遞增數(shù)列無窮數(shù)列遞減數(shù)列有窮數(shù)列遞增數(shù)列無窮數(shù)列無窮數(shù)列擺動數(shù)列常數(shù)列第209頁例觀測下面數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列？（1）全體自然數(shù)組成數(shù)列0,1,2,3,….（2）2008～2023年某市一般高中生人數(shù)（單位：萬人）組成數(shù)列82,93,105,119,129,130,132.（3）無窮多種3組成數(shù)列3,3,3,3,….第210頁（4）目前通用人民幣面額按從大到小次序組成數(shù)列（單位：元）100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01.（5）-11次冪，2次冪，3次冪，4次冪……組成數(shù)列-1，1，-1，1，….第211頁解：遞增數(shù)列有：（1）、（2）、（6)中不足近似值組成數(shù)列;遞減數(shù)列有：（4）、（6)中過剩近似值組成數(shù)列;常數(shù)列有：（3）;擺動數(shù)列有：（5）.思考:上面數(shù)列中哪些是無窮數(shù)列,哪些是有窮數(shù)列?有窮數(shù)列有：（2）、（4）；無窮數(shù)列有：（1）、（3）、（5）、（6）.提醒:第212頁（1）2，4，

，16,32，

，128（2）

，4,9,16,25，

，49觀測下面數(shù)列特點(diǎn)，用合適數(shù)填空：864136【即時(shí)練習(xí)】第213頁（1）你能說出256是否是下面數(shù)列中項(xiàng)嗎？是話,是這個(gè)數(shù)列第幾項(xiàng)?（2）同窗們觀測數(shù)列中項(xiàng)與序號之間關(guān)系,你能從中得到什么啟示?你能否寫出它第n項(xiàng)?項(xiàng):序號:探究點(diǎn)2數(shù)列中項(xiàng)與序號之間關(guān)系是第9項(xiàng)256是數(shù)列中一項(xiàng)，1234…，9第214頁（3)你能把上述數(shù)列按照（n,an)形式畫在下面坐標(biāo)系中嗎?O1234567

248163264nan圖象是某些離散點(diǎn)第215頁5.數(shù)列實(shí)質(zhì):從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列項(xiàng)是序號n函數(shù).即數(shù)列能夠當(dāng)作以正整數(shù)集（或它有限子集{1,2，…，n}）為定義域函數(shù)當(dāng)自變量按照從小到大次序依次取值時(shí)所對應(yīng)一列函數(shù)值.反過來，對于函數(shù)y=f（x）,假如f（i）（i=1,2,3，…）故意義，那么我們能夠得到一種數(shù)列f（1），f（2），f（3），…，f（n），…第216頁R或R子集N*或它有限子集{1,2,3，…，n}an＝f(n)y＝f(x)點(diǎn)集合某些離散點(diǎn)集合數(shù)列與函數(shù)對比表【總結(jié)提升】第217頁

下列四個(gè)數(shù)中是數(shù)列{n（n+1）}中一項(xiàng)是（）A.380B.39C.32D.23A【即時(shí)練習(xí)】第218頁1.觀測下面數(shù)列特點(diǎn)，用合適數(shù)填空：第219頁2.下面數(shù)列是有窮數(shù)列是（）A.1,0,1,0，…B.1，1，1，1，1C.2,22,222，…D.0,0,0,0，…B第220頁A.第9項(xiàng)B.第10項(xiàng)C.第11項(xiàng)D.第12項(xiàng)C第221頁4.下列說法正確是()A.數(shù)列1,3,5,7可表達(dá)為{1,3,5,7}B.數(shù)列1,0,-1,-2與數(shù)列-2,-1,0,1是相同數(shù)列C.數(shù)列第k項(xiàng)為D.數(shù)列0,2,4,6,…可記為{2n}C第222頁【解析】根據(jù)數(shù)列定義與集合定義不一樣可知A,B不正確;D項(xiàng){2n}中n∈N*,故不正確;C中an=∴ak=第223頁本節(jié)課學(xué)習(xí)主要內(nèi)容有：1.數(shù)列有關(guān)概念；2.數(shù)列通項(xiàng)公式；3.數(shù)列實(shí)質(zhì)；4.本節(jié)課能力要求是：(1)會由通項(xiàng)公式求數(shù)列任一項(xiàng)；(2)會用觀測法由數(shù)列前幾項(xiàng)求數(shù)列通項(xiàng)公式.第224頁5.數(shù)列分類數(shù)列分類從單調(diào)性角度從項(xiàng)數(shù)角度遞增數(shù)列遞減數(shù)列常數(shù)列擺動數(shù)列有窮數(shù)列無窮數(shù)列

從第2項(xiàng)起項(xiàng)與項(xiàng)大小關(guān)系不確定項(xiàng)數(shù)有限項(xiàng)數(shù)無限第225頁

追趕時(shí)間人，生活就會溺愛他；放棄時(shí)間人，生活就會冷落他。第226頁第2學(xué)時(shí)數(shù)列性質(zhì)和遞推關(guān)系第227頁自主學(xué)習(xí)新知突破第228頁1．理解遞推公式是給出數(shù)列一種辦法．2．理解遞推公式含義，能夠根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列前幾項(xiàng)．3．掌握由某些簡單遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)公式辦法．第229頁某劇場有30排座位，第一排有20個(gè)座位，從第二排起，后一排都比前一排多2個(gè)座位(如圖)．第230頁[問題1]

寫出前五排座位數(shù)．[提醒]

20,22,24,26,28.[問題2]

第n排與第n＋1排座位數(shù)有何關(guān)系？[提醒]

第n＋1排比第n排多2個(gè)座位．[問題3]

第n排座位數(shù)an與第n＋1排座位數(shù)an＋1能用等式表達(dá)嗎？[提醒]

能．a(chǎn)n＋1＝an＋2.第231頁假如已知數(shù)列{an}第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始任一項(xiàng)an與它前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))(n≥2，n∈N*)間關(guān)系能夠用一種公式來表達(dá)，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列遞推公式．?dāng)?shù)列遞推公式第232頁數(shù)列通項(xiàng)公式和遞推公式各有什么作用？(1)數(shù)列通項(xiàng)公式是給出數(shù)列主要形式，假如已知數(shù)列{an}通項(xiàng)公式an＝f(n)，可求出數(shù)列中各項(xiàng)與指定項(xiàng)，還能夠根據(jù)函數(shù)性質(zhì)，深入探討數(shù)列增減性，數(shù)列中項(xiàng)最大值或最小值．(2)數(shù)列遞推公式是給出數(shù)列另一主要形式．一般地，只要給出數(shù)列首項(xiàng)或前幾項(xiàng)以及數(shù)列相鄰兩項(xiàng)或幾項(xiàng)之間運(yùn)算關(guān)系，就能夠依次求出數(shù)列各項(xiàng)．第233頁拓展：通項(xiàng)公式與遞推公式關(guān)系示意圖第234頁1．?dāng)?shù)列1,3,6,10,15，…遞推公式是(

)A．a(chǎn)n＋1＝an＋n，n∈N*B．a(chǎn)n＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C．a(chǎn)n＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D．a(chǎn)n＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2解析：a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，a4＝a3＋4，a5＝a4＋5，….∴an＝an－1＋n(n≥2)．答案：B第235頁2．已知數(shù)列{an}中，an＋1－an－3＝0，則數(shù)列{an}是(

)A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列C．?dāng)[動數(shù)列 D．常數(shù)列解析：an＋1＝an＋3>an(n∈N*)，∴數(shù)列為遞增數(shù)列．答案：A第236頁3．?dāng)?shù)列{an}通項(xiàng)公式為an＝n2－6n，則它最小項(xiàng)值是________．解析：∵an＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴當(dāng)n＝3時(shí)，an有最小值－9.答案：－9第237頁第238頁合作探究課堂互動第239頁由遞推公式寫數(shù)列項(xiàng)并求通項(xiàng)公式

已知數(shù)列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，寫出數(shù)列前4項(xiàng)，猜想an，并加以證明．第240頁第241頁第242頁

(1)根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列前幾項(xiàng)，此類問題要弄清公式中各部分關(guān)系，依次代入計(jì)算．(2)由形如an＝f(n)·an－1(n≥2)數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，一般用累乘法或迭代法，形成函數(shù)運(yùn)動變化觀點(diǎn)，不停地變換遞推公式中“下標(biāo)”，直到能夠利用首項(xiàng)或前幾項(xiàng)是解題關(guān)鍵．

第243頁第244頁第245頁第246頁數(shù)列單調(diào)性問題[思緒點(diǎn)撥]

用序號替代通項(xiàng)公式中n，就可求出對應(yīng)項(xiàng)，比較an＋1與an大小來判斷數(shù)列單調(diào)性．第247頁第248頁

單調(diào)性是數(shù)列一種主要性質(zhì)．判斷數(shù)列單調(diào)性，一般是利用作差或作商辦法判斷an＋1與an(n∈N*)大小，若an＋1>an恒成立，則{an}為遞增數(shù)列；若an＋1<an恒成立，則{an}為遞減數(shù)列．用作差法判斷數(shù)列增減性步驟為：①作差；②變形；③定號；④結(jié)論．

第249頁第250頁第251頁第252頁第253頁

數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)問題第254頁第255頁第256頁

(1)由于數(shù)列是特殊函數(shù)，因此能夠用研究函數(shù)思想辦法來研究數(shù)列有關(guān)性質(zhì)，如單調(diào)性、最大值、最小值等；此時(shí)要注意數(shù)列定義域?yàn)檎麛?shù)集(或其子集)這一條件．第257頁3．已知數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an＝n2－5n＋4.(1)數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？(2)n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值．解析：(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)．第258頁第259頁第260頁◎設(shè)數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an＝n2＋λn，且{an}滿足a1<a2<a3<…<an<an＋1<…，則實(shí)數(shù)λ取值范圍是________．第261頁【錯(cuò)因】

錯(cuò)解僅考慮了數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列時(shí)一種情形，事實(shí)上，n值是離散，當(dāng)對稱軸在(1,2)之間，且滿足a1<a2時(shí)，也成立．第262頁第263頁辦法二：直接根據(jù)定義來處理．∵數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，∴an＋1－an>0，又an＝n2＋λn，∴(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn>0，∴2n＋1＋λ>0，λ>－(2n＋1)，又n∈N*，∴λ>－3，即實(shí)數(shù)λ取值范圍是(－3，＋∞)．答案：(－3，＋∞)第264頁高效測評知能提升第265頁謝謝觀看！第266頁2.2

等差數(shù)列第1學(xué)時(shí)等差數(shù)列第267頁姚明剛進(jìn)NBA一周訓(xùn)練罰球個(gè)數(shù)：第一天：6000，第二天：6500，第三天：7000，第四天：7500，第五天：8000，第六天：8500，第七天：9000.得到數(shù)列：6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000.情境1：第268頁情境2：某名牌運(yùn)動鞋（女）尺碼（鞋底長，單位是cm）得到數(shù)列：第269頁6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000.數(shù)列1數(shù)列2第270頁問題1：請你說出這兩個(gè)數(shù)列背面一項(xiàng)是多少？你根據(jù)是什么？問題2：這兩個(gè)數(shù)列共同特征是什么？觀測，分析，交流，討論學(xué)生活動：提醒：9500，等差。提醒：都是等差數(shù)列。第271頁1.理解等差數(shù)列概念.(重點(diǎn)）2.掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式.（重點(diǎn)）3.理解等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)過程及思想辦法.（難點(diǎn)）第272頁學(xué)生活動1等差數(shù)列定義【課堂探究1】第273頁探究性問題1：以上數(shù)列是否是等差數(shù)列？若是，公差是多少？

問題1

6，4，2，0，-2，-4，…問題24，7，10，13，16，19,…問題30，1，0，1，0，1,…問題4常數(shù)列第274頁公差能夠是正數(shù),負(fù)數(shù)，也能夠是0.每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)差必須是同一種常數(shù)(由于同一種常數(shù)體現(xiàn)了等差數(shù)列基本特性）.公差d是每一項(xiàng)（從第2項(xiàng)起）與它前一項(xiàng)差，不要把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒.“從第2項(xiàng)起”探究性問題1第275頁

一般地，假如一種數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)差等于同一種常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列公差，公差一般用字母d表達(dá).第276頁等差數(shù)列的公差d

1.數(shù)學(xué)體現(xiàn)式:an-an-1=d(n≥2).3.取值范圍：d∈R.2.d為同一種常數(shù)，如2，3，5，9，11就不是等差數(shù)列.第277頁下列數(shù)列是不是等差數(shù)列？假如是，求出公差d。（1）1，4，7,10；（2）1,1.5,2,2.5,3,3.5；解析：（1）是等差數(shù)列，公差d=3；（2）是等差數(shù)列，公差d=0.5.【即時(shí)練習(xí)】第278頁

探究性問題2：在如下兩個(gè)數(shù)之間，插入一種什么數(shù)后這三個(gè)數(shù)就會成為一種等