人教a版普通高中數(shù)學(xué)教科書(shū)“幾何與代數(shù)”主題教材解讀公開(kāi)課一等獎(jiǎng)?wù)n件省賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件

人教A版一般高中數(shù)學(xué)教科書(shū)“幾何與代數(shù)”主題教材解讀第1頁(yè)幾何、代數(shù)都是高中數(shù)學(xué)課程傳統(tǒng)內(nèi)容，《一般高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2023年版）》（下列簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)(2023年版)》）中要求，高中數(shù)學(xué)課程中幾何與代數(shù)內(nèi)容包括：立體幾何、平面解析幾何、平面向量（包括解三角形）、空間向量、復(fù)數(shù)。無(wú)論是必修課程，還是選擇性必修課程、選修課程，幾何與代數(shù)主題都貫通始終。幾何與代數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程主線之一。在必修課程與選擇性必修課程中，突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間融合，即通過(guò)形與數(shù)結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)整體性理解。通過(guò)幾何與代數(shù)主題學(xué)習(xí)提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。第2頁(yè)一、幾何與代數(shù)主題內(nèi)容、要求及安排按照《標(biāo)準(zhǔn)（2023年版）》要求，高中數(shù)學(xué)必修、選擇性必修課程中，幾何與代數(shù)主題內(nèi)容和要求如下。3第3頁(yè)（一）立體幾何初步立體幾何研究現(xiàn)實(shí)世界中物體形狀、大小與位置關(guān)系?！傲Ⅲw幾何初步”以長(zhǎng)方體為載體，結(jié)識(shí)和理解空間點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系；用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述有關(guān)平行、垂直性質(zhì)與判定，并對(duì)某些結(jié)論進(jìn)行論證；理解某些簡(jiǎn)單幾何體表面積與體積計(jì)算辦法；利用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等結(jié)識(shí)和摸索空間圖形性質(zhì)，建立空間觀念。內(nèi)容包括：基本立體圖形、基本圖形位置關(guān)系、*幾何學(xué)發(fā)展。第4頁(yè)詳細(xì)要求為：（1）基本立體圖形①結(jié)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體構(gòu)造特性，能利用這些特性描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體構(gòu)造。②懂得球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)表面積和體積計(jì)算公式，能用公式處理簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。③能用斜二測(cè)法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組合)直觀圖。第5頁(yè)（2）基本圖形位置關(guān)系①借助長(zhǎng)方體，在直觀結(jié)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面位置關(guān)系定義，理解平面三公理、平行公理及其推論。②從上述定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面平行和垂直關(guān)系，歸納出性質(zhì)定理，并加以證明。③從上述定義和基本事實(shí)出發(fā)，借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面平行和垂直關(guān)系，歸納出判定定理。④能用已取得結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系簡(jiǎn)單命題。（3）*理解幾何學(xué)發(fā)展第6頁(yè)（二）向量向量理論具有深刻數(shù)學(xué)內(nèi)涵、豐富物理背景。向量既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通幾何與代數(shù)橋梁。向量是描述直線、曲線、平面、曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問(wèn)題基本工具，是深入學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問(wèn)題基礎(chǔ)，在處理實(shí)際問(wèn)題中發(fā)揮主要作用。高中向量?jī)?nèi)容包括：向量概念、向量運(yùn)算（包括線性運(yùn)算、數(shù)量積）、向量投影與投影向量、向量基本定理及坐標(biāo)表達(dá)、向量應(yīng)用（包括處理現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)和物理中問(wèn)題）。第7頁(yè)1.平面向量及其應(yīng)用理解平面向量幾何意義和代數(shù)意義；掌握平面向量概念、運(yùn)算、向量基本定理以及向量應(yīng)用；用向量語(yǔ)言、辦法表述和處理現(xiàn)實(shí)生活、數(shù)學(xué)和物理中問(wèn)題。內(nèi)容包括：向量概念、向量運(yùn)算、向量基本定理及坐標(biāo)表達(dá)、向量應(yīng)用。詳細(xì)要求如下。（1）向量概念理解平面向量實(shí)際背景，理解平面向量意義和兩個(gè)向量相等含義；理解平面向量幾何表達(dá)和基本要素。第8頁(yè)（2）向量運(yùn)算掌握平面向量加、減運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義；掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義。理解兩個(gè)平面向量共線含義。理解平面向量線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義。理解平面向量數(shù)量積概念及其物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量數(shù)量積。理解平面向量投影概念以及投影向量意義。會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量垂直關(guān)系。第9頁(yè)（3）向量基本定理及坐標(biāo)表達(dá)理解平面向量基本定理及其意義。掌握平面向量正交分解及坐標(biāo)表達(dá)。會(huì)用坐標(biāo)表達(dá)平面向量加、減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算。能用坐標(biāo)表達(dá)平面向量數(shù)量積，會(huì)表達(dá)兩個(gè)平面向量夾角。能用坐標(biāo)表達(dá)平面向量共線、垂直條件。（4）向量應(yīng)用與解三角形會(huì)用向量辦法處理簡(jiǎn)單平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題以及其他實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)向量在處理數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題中作用。借助向量運(yùn)算，摸索三角形邊長(zhǎng)與角度關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理。能用余弦定理、正弦定理處理簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題。第10頁(yè)2.空間向量與立體幾何在學(xué)習(xí)平面向量基礎(chǔ)上，利用類比辦法理解空間向量概念、運(yùn)算、基本定理和應(yīng)用，體會(huì)平面向量和空間向量共性和差異；利用向量辦法研究空間基本圖形位置關(guān)系和度量關(guān)系，體會(huì)向量辦法和綜合幾何辦法共性和差異；利用向量辦法處理簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，感悟向量是研究幾何問(wèn)題有效工具。內(nèi)容包括：空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運(yùn)算、向量基本定理及坐標(biāo)表達(dá)、空間向量應(yīng)用。第11頁(yè)詳細(xì)要求如下。（1）空間向量及其運(yùn)算經(jīng)歷將平面向量概念、運(yùn)算、投影概念推廣到空間向量過(guò)程，理解空間向量概念，掌握空間向量線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，理解空間向量投影概念以及投影向量意義．（2）理解空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量正交分解．（3）理解空間直角坐標(biāo)系，感受建立空間直角坐標(biāo)系必要性，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫(huà)點(diǎn)位置，摸索并得出空間兩點(diǎn)間距離公式．掌握空間向量坐標(biāo)表達(dá)，掌握空間向量線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算坐標(biāo)表達(dá)．第12頁(yè)（4）能用向量語(yǔ)言描述直線和平面，理解直線方向向量與平面法向量；能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面夾角以及垂直與平行關(guān)系．能用向量辦法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系判定定理．能用向量辦法處理點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、互相平行直線、互相平行平面距離問(wèn)題和簡(jiǎn)單夾角問(wèn)題，并能描述處理這一類問(wèn)題程序，體會(huì)向量辦法在研究幾何問(wèn)題中作用．第13頁(yè)（三）復(fù)數(shù)通過(guò)方程求解，理解引入復(fù)數(shù)必要性，理解數(shù)系擴(kuò)充，掌握復(fù)數(shù)表達(dá)、運(yùn)算及其幾何意義。內(nèi)容包括：復(fù)數(shù)概念、復(fù)數(shù)運(yùn)算、*復(fù)數(shù)三角表達(dá)。詳細(xì)要求如下。（1）通過(guò)方程解，結(jié)識(shí)復(fù)數(shù)；理解復(fù)數(shù)代數(shù)表達(dá)及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等含義。(2）掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表達(dá)式四則運(yùn)算，理解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算幾何意義。（3）*通過(guò)復(fù)數(shù)幾何意義，理解復(fù)數(shù)三角表達(dá)，理解復(fù)數(shù)代數(shù)表達(dá)與三角表達(dá)之間關(guān)系，理解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算三角表達(dá)及其幾何意義。第14頁(yè)（四）平面解析幾何在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)識(shí)直線、圓、橢圓、拋物線、雙曲線幾何特性，建立它們標(biāo)準(zhǔn)方程；利用代數(shù)辦法深入結(jié)識(shí)圓錐曲線性質(zhì)以及它們位置關(guān)系；利用平面解析幾何辦法處理簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，感悟平面解析幾何中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想。內(nèi)容包括：直線與方程、圓與方程、圓錐曲線與方程、平面解析幾何形成與發(fā)展。第15頁(yè)詳細(xì)要求如下。對(duì)于“直線和圓方程”，在平面直角坐標(biāo)系中，摸索確定直線位置和圓幾何要素；用代數(shù)辦法刻畫(huà)直線斜率、兩點(diǎn)間距離。在此基礎(chǔ)上，建立直線和圓方程；用方程研究?jī)蓷l直線位置關(guān)系、交點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)到直線距離，以及直線與圓、圓與圓位置關(guān)系；處理簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，初步感悟平面解析幾何蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想。“圓錐曲線方程”在“直線和圓方程”基礎(chǔ)上，讓學(xué)生理解圓錐曲線背景與應(yīng)用；幫助學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)識(shí)橢圓、拋物線、雙曲線幾何特性，建立它們標(biāo)準(zhǔn)方程；利用代數(shù)辦法深入結(jié)識(shí)圓錐曲線性質(zhì)以及它們位置關(guān)系；利用平面解析幾何辦法處理簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，深入感悟平面解析幾何中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)思想。第16頁(yè)對(duì)于幾何與代數(shù)主題，教科書(shū)遵循《標(biāo)準(zhǔn)（2023年版）》構(gòu)造，安排了如下6章內(nèi)容：必修第二冊(cè)：第六章平面向量及其應(yīng)用（18）第七章復(fù)數(shù)（8）第八章立體幾何初步（19）選擇性必修第一冊(cè)：第一章空間向量與立體幾何（15）第二章直線和圓方程（16）第三章圓錐曲線方程（12）第17頁(yè)二、用向量“統(tǒng)領(lǐng)”幾何與代數(shù)主題內(nèi)容充足結(jié)識(shí)向量地位，發(fā)揮向量作用平面向量：研究平面幾何問(wèn)題（包括解三角形）空間向量：研究立體幾何中位置關(guān)系、度量關(guān)系解析幾何：向量法是解析幾何返璞歸真，是不依賴坐標(biāo)系解析幾何。(盡管向量法誕生晚于坐標(biāo)法）復(fù)數(shù)：用向量理解復(fù)數(shù)表達(dá)（尤其是是三角表達(dá)）及其運(yùn)算向量具有統(tǒng)領(lǐng)作用第18頁(yè)幾何與代數(shù)主題邏輯構(gòu)造圖第19頁(yè)三、構(gòu)建幾何與代數(shù)主題研究框架，整體設(shè)計(jì)研究途徑合理研究框架和內(nèi)容邏輯構(gòu)造是教科書(shū)育人載體。對(duì)于每一種學(xué)習(xí)內(nèi)容，尤其是對(duì)于學(xué)習(xí)主題，構(gòu)建對(duì)應(yīng)研究框架，整體設(shè)計(jì)研究途徑，是教材編寫(xiě)首要考慮問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，再有邏輯地、循序漸進(jìn)地展開(kāi)詳細(xì)內(nèi)容?！皵?shù)學(xué)是自然?！瓟?shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)辦法與數(shù)學(xué)思想起源與發(fā)展都是自然?！瓟?shù)學(xué)中每一種概念，它背景、它形成過(guò)程，它應(yīng)用，以及它與其他概念聯(lián)系，事實(shí)上是水到渠成、渾然天成產(chǎn)物……”。符合數(shù)學(xué)本身發(fā)生發(fā)展過(guò)程自然邏輯構(gòu)造和學(xué)生心理特點(diǎn)研究框架和研究途徑，有助于學(xué)生明確研究問(wèn)題方向和起點(diǎn)、理解數(shù)學(xué)研究問(wèn)題方式、提升學(xué)習(xí)質(zhì)量和效益、提升學(xué)生發(fā)覺(jué)和提出問(wèn)題能力。第20頁(yè)重視立體幾幾何（直觀想象、邏輯推理）、代數(shù)（運(yùn)算）、解析幾何（坐標(biāo)法）各自特點(diǎn)跨章內(nèi)容共性設(shè)計(jì)研究途徑與框架1.向量研究途徑與框架向量實(shí)際背景及基本概念→向量運(yùn)算（線性運(yùn)算、數(shù)量積）→向量基本定理及坐標(biāo)表達(dá)→向量應(yīng)用。第21頁(yè)詳細(xì)地①借助位移、力、速度等實(shí)例，引入向量概念，并體現(xiàn)引進(jìn)向量必要性。②數(shù)學(xué)中，“引進(jìn)一種量，就要看看它運(yùn)算;引進(jìn)一種運(yùn)算，就要研究它運(yùn)算律?！鳖惐葦?shù)及其運(yùn)算，引進(jìn)向量概念后，接著要討論問(wèn)題——向量線性運(yùn)算(加、

減及數(shù)乘)。當(dāng)然，要注意向量與數(shù)不一樣，向量運(yùn)算中，除了考慮大小，還要考慮方向。為了便于學(xué)生理解，還要借助于物理中力合成來(lái)定義向量加法

③從運(yùn)算角度看，自然要研究?jī)蓚€(gè)向量是否能夠相乘，假如能夠，那么成果如何？從向量物理背景中得到啟發(fā)，定義兩個(gè)向量數(shù)量積運(yùn)算，并討論運(yùn)算律問(wèn)題。第22頁(yè)④從力分解得到啟示，提出把一種向量表達(dá)為兩個(gè)向量和，進(jìn)而以向量加法運(yùn)算為基礎(chǔ)，得出向量基本定理。⑤從向量基本定理出發(fā)，取正交基，建立直角坐標(biāo)系，引進(jìn)向量坐標(biāo)表達(dá)。⑥“向量應(yīng)用”主要是用向量法處理幾何問(wèn)題，尤其注意體現(xiàn)向量法優(yōu)越性。第23頁(yè)2.立體幾何（平面幾何）研究途徑與框架立體幾何：整體——局部；綜合幾何方法—向量方法幾何元素向量表達(dá)—向量運(yùn)算——幾何結(jié)論（研究度量關(guān)系與位置關(guān)系）3.平面解析幾何研究途徑與框架坐標(biāo)法思想方法統(tǒng)領(lǐng)直線和圓（確定圖形幾何要素、建立方程、研究位置關(guān)系）圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）（確定圖形幾何要素、建立方程、研究性質(zhì)、研究位置關(guān)系）體當(dāng)代數(shù)基本研究框架（代數(shù)對(duì)象——代數(shù)運(yùn)算，代數(shù)結(jié)構(gòu)）突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算融合第24頁(yè)四、重視研究對(duì)象取得，概念、性質(zhì)和辦法形成過(guò)程怎么想到？如何形成？第25頁(yè)研究平面與平面垂直性質(zhì)，就是在兩個(gè)平面垂直條件下，能推出哪些結(jié)論．這些結(jié)論又該從哪個(gè)角度提出呢？事實(shí)上就是要研究與這兩個(gè)互相垂直平面有關(guān)直線、平面之間關(guān)系．接下來(lái)，根據(jù)以往研究經(jīng)驗(yàn)（平面與平面關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線與平面關(guān)系），我們能夠研究其中一種平面內(nèi)直線與另一種平面位置關(guān)系．一般到特殊，一般情況是相交，考慮其中特殊情況，一種平面內(nèi)直線與交線平行時(shí)，這條直線和另一種平面平行（已研究），一種平面內(nèi)直線與交線垂直時(shí)，這條直線和另一種平面有什么位置關(guān)系？證明得到平面與平面垂直性質(zhì)定理“兩個(gè)平面垂直，假如一種平面內(nèi)有始終線垂直于這兩個(gè)平面交線，那么這條直線與另一種平面垂直”。第26頁(yè)對(duì)于兩個(gè)平面互相垂直性質(zhì)，我們探究了一種平面內(nèi)直線與另一種平面特殊位置關(guān)系。假如直線不在兩個(gè)平面內(nèi)，或者把直線換成平面，你又能得到哪些結(jié)論？例如，已知平面α⊥平面β，

直線a⊥β，a

α，判斷a與α位置關(guān)系．

βαblαβγ第27頁(yè)滲入了“位置關(guān)系性質(zhì)”研究思想辦法研究基本圖形某種位置關(guān)系性質(zhì)，就是摸索在這種位置關(guān)系下幾何圖形組成元素之間以及與其他同類幾何圖形所形成位置關(guān)系中出現(xiàn)確實(shí)定關(guān)系（不變性），詳細(xì)辦法是讓“其他幾何圖形”動(dòng)起來(lái)，看“變化中不變性”。這就是落實(shí)“四基”“四能”過(guò)程，也是直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)關(guān)鍵素養(yǎng)落地過(guò)程。最后目標(biāo)都聚焦在理性思維上，使學(xué)生逐漸養(yǎng)成有構(gòu)造地、有邏輯地思考習(xí)慣。第28頁(yè)向量法處理幾何問(wèn)題“三步曲”大量實(shí)例，歸納總結(jié)第29頁(yè)五、重視問(wèn)題引導(dǎo)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生發(fā)覺(jué)和提出問(wèn)題能力

第30頁(yè)問(wèn)題是數(shù)學(xué)心臟，問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)在知識(shí)形成過(guò)程“關(guān)鍵點(diǎn)”上，在利用數(shù)學(xué)思想辦法產(chǎn)生處理問(wèn)題策略“關(guān)節(jié)點(diǎn)”上，在數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”上，在數(shù)學(xué)問(wèn)題變式“發(fā)散點(diǎn)”上，在學(xué)生思維“近來(lái)發(fā)展區(qū)”內(nèi)，提出恰當(dāng)、對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維有適度啟發(fā)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考和摸索活動(dòng)，使他們經(jīng)歷觀測(cè)、試驗(yàn)、猜想、推理、交流、反思等理性思維基本過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)研究辦法、積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升發(fā)覺(jué)和提出問(wèn)題能力。道而弗牽、強(qiáng)而弗抑、開(kāi)而弗達(dá)第31頁(yè)在章節(jié)開(kāi)篇，提出引導(dǎo)性問(wèn)題，整體構(gòu)建研究思緒32第32頁(yè)第33頁(yè)正文通過(guò)引導(dǎo)語(yǔ)、欄目和邊空提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思維活動(dòng)，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)從知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程中提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，使學(xué)生在問(wèn)題引導(dǎo)下有條理地進(jìn)行觀測(cè)、猜想、分析、推理、論證等，有序地、符合邏輯地進(jìn)行知識(shí)概括，提升學(xué)生概括能力提醒學(xué)生采取類比、推廣、特殊化等辦法進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，為學(xué)生探究活動(dòng)提供恰當(dāng)思想辦法指導(dǎo)，使探究活動(dòng)愈加有效，從而提升了探究活動(dòng)質(zhì)量和效益通過(guò)欄目提出學(xué)后反思任務(wù)，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好思維習(xí)慣。第34頁(yè)傾斜角和斜率——直線方程關(guān)注確定圖形幾何要素——在坐標(biāo)系中用代數(shù)辦法表達(dá)幾何要素——曲線方程確定一條直線幾何要素是什么？對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中一條直線l，如何利用坐標(biāo)系確定它位置？?jī)牲c(diǎn)確定一條直線，一點(diǎn)和一種方向也能夠確定一條直線。借助向量，兩點(diǎn)確定一條直線能夠歸結(jié)為一點(diǎn)和一種方向確定一條直線.在平面直角坐標(biāo)系中，通過(guò)x軸上一點(diǎn)P有沒(méi)有數(shù)條直線，它們區(qū)分在于方向不一樣.如何表達(dá)這些直線方向？這些直線相對(duì)于x軸傾斜程度不一樣，也就是它們與x軸所成角不一樣.因此，我們能夠利用這樣角來(lái)表達(dá)這些直線方向．

傾斜角第35頁(yè)設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2）是直線l上兩點(diǎn)．由兩點(diǎn)確定一條直線可知，直線l由點(diǎn)P1，P2唯一確定。因此，能夠推斷，直線l傾斜角一定與P1，P2兩點(diǎn)坐標(biāo)有內(nèi)在聯(lián)系。在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l傾斜角為α，假如直線l通過(guò)兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，那么α與P1，P2坐標(biāo)有如何關(guān)系？利用向量推導(dǎo)tanα=，定義斜率。第36頁(yè)給定一點(diǎn)和一種方向能夠唯一確定一條直線．這樣，在平面直角坐標(biāo)系中，給定一種點(diǎn)P0（x0，y0）和斜率k（或傾斜角），就能唯一確定一條直線．也就是說(shuō)，這條直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）與點(diǎn)P0坐標(biāo)（x0，y0）和斜率k之間關(guān)系是完全確定.那么，這一關(guān)系如何表達(dá)呢？直線l通過(guò)點(diǎn)P0（x0，y0），且斜率為k．設(shè)P（x，y）是直線l上不一樣于點(diǎn)P0任意一點(diǎn)，由于直線l斜率為k，由斜率公式得

，即y-y0=k(x-x0)Ⅰ。上述推導(dǎo)說(shuō)明直線l上任意一點(diǎn)坐標(biāo)一定滿足關(guān)系式Ⅰ；再驗(yàn)證坐標(biāo)滿足關(guān)系式Ⅰ點(diǎn)一定在直線l上．我們把方程y-y0=k(x-x0)稱為過(guò)點(diǎn)P0（x0，y0），斜率為k直線l方程。第37頁(yè)小結(jié)以問(wèn)題形式總結(jié)全章內(nèi)容，深化對(duì)內(nèi)容整體理解小結(jié)是對(duì)全章內(nèi)容梳理，是對(duì)本章關(guān)鍵內(nèi)容及反應(yīng)主要思想辦法和研究辦法進(jìn)行歸納概括、去粗取精、由厚到薄提煉過(guò)程?；貞浥c思考：在回憶部分對(duì)本章進(jìn)行整體概述，論述本章內(nèi)容之間、本章內(nèi)容與其他內(nèi)容之間聯(lián)系，揭示本章內(nèi)容反應(yīng)思想辦法、研究辦法等。“思考”部分則強(qiáng)調(diào)問(wèn)題引導(dǎo)，加強(qiáng)學(xué)生積極思維，通過(guò)學(xué)生自己獨(dú)立思考回憶、總結(jié)全章內(nèi)容，深化對(duì)本章關(guān)鍵內(nèi)容及其反應(yīng)數(shù)學(xué)思想辦法理解。第38頁(yè)空間向量與立體幾何小結(jié)第39頁(yè)第40頁(yè)第41頁(yè)第42頁(yè)六、設(shè)計(jì)系列化數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，落實(shí)四基、四能以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科關(guān)鍵素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適教學(xué)情境、提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生以獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多樣化方式開(kāi)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是《標(biāo)準(zhǔn)（2023年版）》基本理念。為此，教科書(shū)強(qiáng)調(diào)構(gòu)建系列化數(shù)學(xué)活動(dòng)，重視創(chuàng)設(shè)與學(xué)生現(xiàn)實(shí)緊密關(guān)聯(lián)真實(shí)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展體驗(yàn)學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、建構(gòu)學(xué)習(xí)，通過(guò)有構(gòu)造、有邏輯系統(tǒng)學(xué)習(xí)，逐漸形成數(shù)學(xué)學(xué)科觀念、數(shù)學(xué)思維方式和探究技能，促進(jìn)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能連續(xù)構(gòu)造化，使學(xué)生理性思維不停走向成熟。系列化數(shù)學(xué)活動(dòng)涵蓋了通過(guò)數(shù)學(xué)抽象取得研究對(duì)象，構(gòu)建研究數(shù)學(xué)對(duì)象基本途徑，發(fā)覺(jué)和提出值得研究數(shù)學(xué)問(wèn)題，探尋處理問(wèn)題數(shù)學(xué)辦法，取得有價(jià)值數(shù)學(xué)結(jié)論，直至建立數(shù)學(xué)模型處理現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。第43頁(yè)設(shè)計(jì)系列化數(shù)學(xué)活動(dòng),提升關(guān)鍵素養(yǎng)系列數(shù)學(xué)活動(dòng)育人價(jià)值數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)活動(dòng)與關(guān)鍵素養(yǎng)關(guān)系：關(guān)鍵素養(yǎng)就是在多種情境中處理問(wèn)題品質(zhì)和能力。關(guān)鍵素養(yǎng)是個(gè)體在與情境連續(xù)互動(dòng)中，不停處理問(wèn)題過(guò)程中形成。數(shù)學(xué)關(guān)鍵素養(yǎng)形成是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，以數(shù)學(xué)活動(dòng)為途徑而逐漸實(shí)現(xiàn)。情境化是數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)主要途徑。設(shè)計(jì)系列數(shù)學(xué)活動(dòng)案例:復(fù)數(shù)擴(kuò)充第44頁(yè)設(shè)計(jì)了系列化數(shù)學(xué)活動(dòng)

章引言第45頁(yè)節(jié)引言第46頁(yè)第47頁(yè)第48頁(yè)第49頁(yè)第50頁(yè)第51頁(yè)第52頁(yè)例如，“橢圓”系列化數(shù)學(xué)活動(dòng)（1）章引言（略），節(jié)引言以“橢圓究竟有如何幾何特性？我們?cè)撊绾卫眠@些特性建立橢圓方程，從而為研究橢圓幾何性質(zhì)奠定基礎(chǔ)？”從宏觀上提出問(wèn)題，給出研究目標(biāo)。（2）在引入橢圓概念時(shí)，以“探究：移動(dòng)筆尖（動(dòng)點(diǎn)）滿足幾何條件是什么？”引導(dǎo)學(xué)生探究橢圓幾何特性，為抽象橢圓概念、展開(kāi)后續(xù)內(nèi)容做好必要準(zhǔn)備。（3）以“思考：觀測(cè)橢圓形狀，你以為如何建立坐標(biāo)系也許使所得橢圓方程形式簡(jiǎn)單？”引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用橢圓幾何特性合理建立坐標(biāo)系。第53頁(yè)

第54頁(yè)（6）以“先用幾何眼光觀測(cè)，再用坐標(biāo)法處理”為指導(dǎo)，以“與利用直線方程、圓方程研究它們幾何性質(zhì)同樣，我們利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓幾何性質(zhì)，包括橢圓范圍、形狀、大小、對(duì)稱性和特殊點(diǎn)等”為導(dǎo)入語(yǔ)，設(shè)置“觀測(cè)”欄目，提出問(wèn)題“觀測(cè)橢圓形狀，你能從圖上看出它范圍嗎？它具有如何對(duì)稱性？橢圓上哪些點(diǎn)比較特殊？”從整體上明確橢圓性質(zhì)主要研究?jī)?nèi)容，再以系列化欄目引導(dǎo)學(xué)生詳細(xì)探究性質(zhì)：第55頁(yè)

第56頁(yè)例如，在用空間向量研究直線、平面位置關(guān)系時(shí)，教科書(shū)圍繞空間中點(diǎn)、直線和平面向量表達(dá)，通過(guò)空間向量運(yùn)算加以處理，以欄目為載體，構(gòu)建了這樣一條問(wèn)題鏈：（1）以“思考如何用向量表達(dá)空間中一種點(diǎn)？”引導(dǎo)學(xué)生思考空間中點(diǎn)向量表達(dá)；（2）以“思考我們懂得，空間中給定一種點(diǎn)A和一種方向就能唯一確定一條直線l．如何用向量表達(dá)直線l？”引導(dǎo)學(xué)生思考空間中直線向量表達(dá)；（3）以“思考一種定點(diǎn)和兩個(gè)定方向能否確定一種平面？深入，一種定點(diǎn)和一種定方向能否確定一種平面？假如能確定，如何用向量表達(dá)這個(gè)平面？”引導(dǎo)學(xué)生思考空間中平面向量表達(dá)；（4）以“思考由直線與直線、直線與平面或平面與平面平行關(guān)系，能夠得到直線方向向量、平面法向量間什么關(guān)系？”為引導(dǎo)，研究空間中直線、平面平行；（5）以“思考類似空間中直線、平面平行向量表達(dá)，在直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直關(guān)系中，直線方向向量、平面法向量之間有什么關(guān)系？”為引導(dǎo)，研究空間中直線、平面垂直．第57頁(yè)七、重視通性通法1.幾個(gè)“三步曲”向量辦法有別于綜合幾何辦法．綜合幾何辦法是借助圖形直觀，從公理、定義和定理等出發(fā)，通過(guò)邏輯推理處理幾何問(wèn)題；而向量辦法則是用向量表達(dá)幾何元素，通過(guò)向量運(yùn)算得到幾何問(wèn)題處理．一般地，利用空間向量處理立體幾何問(wèn)題，有如下“三步曲”：第一步，建立立體圖形與空間向量聯(lián)系

，

用空間向量表達(dá)問(wèn)題中包括點(diǎn)

、

直線

、

平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；

第二步，通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；第三步，把向量運(yùn)算成果“翻譯”成對(duì)應(yīng)幾何結(jié)論

．

這種利用向量辦法處理立體幾何問(wèn)題“三步曲”，在處理幾何問(wèn)題時(shí)具有程序性、普適性．第58頁(yè)坐標(biāo)法“三步曲”：第一步：建立合適平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)和方程表達(dá)問(wèn)題中幾何元素，把平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，處理代數(shù)問(wèn)題；第三步：把代數(shù)運(yùn)算成果“翻譯”成幾何結(jié)論．第59頁(yè)2.距離問(wèn)題、夾角問(wèn)題、直線與平面平行、垂直距離是空間中主要度量.在必修和選擇性必修課程中包括距離問(wèn)題主要有：兩點(diǎn)間距離，點(diǎn)到直線距離，平行線之間距離，點(diǎn)到平面距離，直線到平面距離，平行平面之間距離等．利用向量投影研究距離問(wèn)題．第60頁(yè)

第61頁(yè)

PlA第62頁(yè)夾角問(wèn)題、直線與平面平行、垂直轉(zhuǎn)化為直線方向向量、平面法向量之間夾角、平行、垂直，統(tǒng)一用向量運(yùn)算加以處理。第63頁(yè)八、重視類比辦法類比數(shù)及其運(yùn)算研究向量及其運(yùn)算類比平面向量研究空間向量類比用平面向量研究平面幾何問(wèn)題來(lái)