微積分-經(jīng)管類-上冊4.5 多元函數(shù)求導(dǎo)法則

第5節(jié)一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、隱函數(shù)求導(dǎo)法則微分法則多元函數(shù)求導(dǎo)法則

第4章一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理1.

若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù),在點(diǎn)t可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)證:設(shè)t

取增量△t,則相應(yīng)中間變量且有鏈?zhǔn)椒▌t有增量△u,△v,(全導(dǎo)數(shù)公式)(△t＜0時(shí),根式前加“–”號(hào))推廣:1)中間變量多于兩個(gè)的情形.設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.2)中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,例如,又如,當(dāng)它們都具有可微條件時(shí),有注意:這里表示f(x,

(x,y))固定y

對x

求導(dǎo)表示f(x,v)固定v

對x

求導(dǎo)口訣:與不同,分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)例1.設(shè)解:例2.解:例3.設(shè)

求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗(yàn)證解的問題中經(jīng)常遇到,下列這個(gè)例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號(hào).為簡便起見,引入記號(hào)例4.設(shè)

f

具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求解:令則全微分的形式不變性設(shè)函數(shù)的全微分為可見無論

u,v是自變量還是中間變量,

則復(fù)合函數(shù)都可微,其全微分表達(dá)形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.例1.例5.利用全微分形式不變性再解例1.解:所以二、隱函數(shù)求導(dǎo)法則定理2.

設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導(dǎo)數(shù)兩邊對x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則若F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則還可求隱函數(shù)的例6.驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù)解:

令連續(xù);由定理1可知,①導(dǎo)的隱函數(shù)則②③在x=0

的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且并求兩邊對x求導(dǎo)兩邊再對x求導(dǎo)令x=0,注意此時(shí)導(dǎo)數(shù)的另一求法—利用隱函數(shù)求導(dǎo)定理3.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足①在點(diǎn)滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確兩邊對x求偏導(dǎo)同樣可得則例7.設(shè)解法1利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對x

求導(dǎo)解法2

利用公式設(shè)則兩邊對x求偏導(dǎo)例8.設(shè)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解法1利用偏導(dǎo)數(shù)公式.確定的隱函數(shù),則已知方程故對方程兩邊求微分:解法2微分法.內(nèi)容小結(jié)1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈