線性變換總結復習計劃練試題

線性變換總結復習計劃練試題線性變換總結復習計劃練試題/線性變換總結復習計劃練試題線性變換習題一、填空題1.設是P3的線性變換，(a,b,c)(2bc,a4b,3a)，a,b,cP，1(1,0,0),2(0,1,0),3(0,0,1)是P3的一組基，則在基1,2,3下的矩陣為_______________，又123P3,則()_________。2.設A為數(shù)域P上秩為r的n階矩陣，定義n維列向量空間Pn的線性變換：()A，Pn，則dim1(0)＝，dim(Pn)＝。1123.設P上三維列向量空間V的線性變換在基1,2,3下的矩陣是201，則121在基2,1,3下的矩陣是。4.若是矩陣A的特色值等于，則行列式|AE|=。15.設A=211，(X)AX是P3上的線性變換，那么的零度=。1211126.若APnn，且A2E，則A的特色值為。7.在P[x]n中，線性變換D(f(x))f'(x)，則D在基1,x,x2,L,xn1下的矩陣為。在P22中，線性變換10A在基E110018.:A00,E20,200E300001,E40下的矩陣是。013219.設A502的三個特色值為1，2，3，則1+2+3=，114123=。10.數(shù)域P上n維線性空間V的全體線性變換所成的線性空間L(V)為維線性空間，它與同構。11.已知n階方陣A滿足A2A，則A的特色值為。12.已知3階矩陣A的特色值為1,2,3,則|A|。13.設為數(shù)域P上的線性空間V的線性變換,若是單射,則1(0)=。14.設三階方陣A的特色值為1,2,-2,則|2A|=。15.在[]中，線性變換Df(x))f'(x)，則D在基2,L,nxn1下的矩陣Pxn(1,2x,3x為。a11a12a1316.已知線性變換在基1,2,3下的矩陣為a21a22a23，則在基2,3,1下的矩a31a32a33陣為。11217.設P上三維列向量空間V的線性變換在基1,2,3下的矩陣是201，則121在基2,1,3下的矩陣是。18.1,112,設線性變換在基2的矩陣為，線性變換在基1下的矩陣為01101,1，那么在基2下的矩陣為.119.已知n階方陣A滿足A2A，則A的特色值為。a11a12a1320.已知線性變換在基1,2,3下的矩陣為a21a22a23，則在基3,2,1下的a31a32a33矩陣為。21.在R3中，若向量組1(1,t1,0)，2(1,2,0)，3(0,0,t21)線性相關，則t。21122.若線性變換在基1,2,3下的矩陣為011，則在基3,2,1下的矩陣為121矩陣為。23.若APnn，且A2E，則A的特色值為。二、選擇題1.以下哪一種變換必然是向量空間Fxn的線性變換（）。A．fxfxxB．fxfxdxC．fxfxD．fxf2xfx2.當n階矩陣A適合條件（）時，它必相似于對角陣。A．A有n個不一樣樣的特色向量B．A是三角矩陣C．A有n個不一樣樣的特色值D．A是可逆矩陣3.設是向量空間V上的線性變換，且22，則的全部特色值為（）。A．2B．0，2C．0D．0，2，14.設是3維向量空間上的變換，以下中是線性變換的是（）。A．x1,x2,x3=x13,x23,x33B．x1,x2,x3=2x1x2,x2x3,x3C．x1,x2,x3=cosx1,sinx2,0D．x1,x2,x3=x12,0,05.設1,2,L,r是向量空間V的線性相關的向量組，是V的一個線性變換，則向量組1,2,L,r在下的像(1),(2),L,(r)（）。A．線性沒關B．線性相關C．線性相關性不確定D．全部是零向量6.n階方陣A有n個不一樣樣的特色值是A能夠?qū)腔模ǎ?。A．充要條件B．充分而非必要條件C．必要而非充分條件D．既非充分也非必要條件7.設是向量空間V的線性變換且2，則的特色值（）。A．只有1B．只有1C．有1和1D．有0和118.若是方陣A與對角陣D1相似，則A10=（）。1A.E

B.

A

C.

E

D.

10E9.

設A、B為n階矩陣，且

A與B相似，E為n階單位矩陣，則（

）。A．

E

A

EB

B

．A與B有相同的特色向量和特色值C．

A與B相似于同一個對角矩陣

D．

A

B10.設4級矩陣

A與B相似，

B的特色值是

1，2，3，4，則

A的行列式是（

）。A．-24

B

．10C．24D．不能夠確定11.設是n維線性空間V的線性變換,那么以下說法錯誤的選項是（）。A.是單射Ker(){0}B.是滿射Im()VC.是雙射Ker(){0}D.是雙射是單位照射12.設A為3階矩陣,且AE,AE,A2E均不能夠逆,則錯誤的選項是（）。A.A不相似于對角陣B.A可逆C.|AE|0D.|AE|013.設A為3階矩陣,且其特色多項式為f()(1)(1)(2),則錯誤的選項是（）。A.A相似于對角陣B.A不能夠逆C.|AE|0D.|AE|014.n維線性空間V的線性變換能夠?qū)腔某湟獥l件是（）。A．有n個互不一樣樣的特色向量B．有n個互不一樣樣的特色根C．有n個線性沒關的特色向量D.不存在n個互不一樣樣的特色根15.設是3維向量空間上的變換，以下中是線性變換的是（）。A．x1,x2,x3=x3,x3,x3B．x1,x2,x3=2xx,x25x,6x1231233C．x1,x2,x3=cosx,x,0D．x,x,x3=x2,0,x212121316.設是向量空間V上的線性變換，且2E，則的全部特色值為（）。A．2B．-1，1C．0D．0，2，117.n維線性空間V的線性變換能夠?qū)腔某湟獥l件是（）。A.有n個互不一樣樣的特色向量B.有n個互不一樣樣的特色根C.有n個線性沒關的特色向量D．是可逆線性變換18.2.設矩陣A的每行元素之和均為1，則()必然是A23A2E的特色值。A.0B.1C.2D.319.設是3維向量空間上的變換，以下中是線性變換的是（）。A．x1,x2,x3=x1,x22,x33B．x1,x2,x3=2x1,x2x3,x3x2C．x1,x2,x3=cosx1,sinx2,sinx3D．x1,x2,x3=x12,x2,020.設L(V)，則以下各式成立的是（）。A.dimImdimKernB.ImKerVC.ImKerVD.ImIKer{0}三、計算題設R[x]3表示實數(shù)域上的次數(shù)小于3的多項式，再添上零多項式構成的線性空間，而f1(x)1x，f2(x)1x2，f3(x)x2x2是R[x]3的一組基，線性變換滿足f1(x)2x2，f2(x)x，f3(x)1xx2（）求在已知基下的矩陣；（2）設f(x)12x3x2，求f(x)。2.設是二維列向量空間P2的線性變換：設xx1P211x2，定義xx。11（1）求值域P2的基與維數(shù)；（2）求核1(0)的基與維數(shù)。1113.設線性變換在基1,2,3下的矩陣是A222111（1）求矩陣A以及線性變換的特色值與特色向量；（2）判斷可否能夠?qū)腔淳€性變換可否在某組基下的矩陣為對角形），若不能夠?qū)腔?，說明原由；若能夠?qū)腔?，求可逆陣T，使T1AT為對角形。1114.令R3表示實數(shù)域R上的三元列向量空間，令A111，若R3，作變換222()A。（1）證明為R3上的線性變換；（2）求ker()及其維數(shù)；（3）求Im()及其維數(shù)。1215.設矩陣A000，000（1）求A的特色值和特色向量；（2）求可逆矩陣P，使P1AP為對角矩陣。110106.令R3表示實數(shù)域R上的三元列向量空間，A011，10，21，12100130。0（1）若112,223,331，證明1,2,3為R3的一組基；（2）求1,2,3到1,2,3的過渡矩陣；（3）若R3，作變換()A，證明為R3上的線性變換；4）求ker()及其維數(shù)；5）求Im()及其維數(shù)。7.設是R3的線性變換,(x1,x2,x3)(x12x2x3,x2x3,x1x22x3)。（1）求ker()及其維數(shù)；（2）求Im()及其維數(shù)。1118.設線性變換在基1,2,3下的矩陣是A222。111（1）求矩陣A以及線性變換的特色值與特色向量；（2）判斷可否能夠?qū)腔淳€性變換可否在某組基下的矩陣為對角形），若不能夠?qū)腔?，說明原由；若能夠?qū)腔罂赡骊嘥，使T1AT為對角形矩陣。1119.令R3表示實數(shù)域R上的三元列向量空間，令A012，若R3，作變換123()A。（1）證明為R3上的線性變換；（2）求ker()及其維數(shù)；（3）求Im()及其維數(shù)。10010.設1,2,3為V的基，且線性變換在此基下的矩陣為A350。361（1）求的特色值與特色向量；（2）求可逆矩陣T，使T1AT是對角矩陣。11211.設三維線性空間V的線性變換在基1,2,3下的矩陣為A011。101（1）求的值域及其維數(shù)；（2）求的核及其維數(shù)。設R[x]3表示實數(shù)域上的次數(shù)小于3的多項式，再添上零多項式構成的線性空間，而f1(x)1x，f2(x)1x2，f3(x)x2x2是R[x]3的一組基，線性變換滿足f1(x)2x2，f2(x)x，f3(x)1xx2（1）求在已知基下的矩陣；（2）設f(x)12x3x2，求f(x)。13.給定P3的兩組基1(1,0,1),2(2,1,0),3(1,1,1)；1(1,2,1),2(2,2,1),3(2,11)。定義線性變換：ii,i1,2,3。（1）寫出由基1,2,3到基1,2,3的過渡矩陣；（2）寫出在基1,2,3下的矩陣；（3）寫出在基1,2,3下的矩陣。32114.設線性變換在基1,2,3下的矩陣是A222,求可逆矩陣T,使得361T1AT為對角形矩陣。10115.設A020。101（1）求A的全部特色值；（2）求A的屬于每個特色值的特色向量；（3）求一個可逆矩陣X，使X1AX為對角形。12216.設L(V)，且在V的基1,2,3下的矩陣A=224。問242可否能夠?qū)腔?(2)若能對角化，求出V的一個基，使在此基下的矩陣為對角矩陣。17.設數(shù)域P上三維線性空間V的線性變換在基1,2,3下的矩陣A

460350。361（1）求在基1212,22123，3123下的矩陣；（2）設1223，求在基1,2,3下的坐標。四、證明題1.設是數(shù)域F上的n維向量空間V的線性變換，又1,2,,n是V的一個基，證明VL1,2,Ln。2.設，都是向量空間V的線性變換，S是，的不變子空間，證明S也是的不變子空間。3.設是數(shù)域P上線性空間V的線性變換且2。證明：（1）的特色值為1或0；（2）1(0){()|V}；（3）V1(0)(V)。4.設W1,W2是向量空間V的兩個子空間，是V的一個線性變換，證明：若W1,W2都是的不變子空間，則W1W2也是的不變子空間。5.設是向量空間V的一個線性變換，W1,W2都是的不變