鄭州輕工業(yè)大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件-第5-7章

第5講

概率的定義徐雅靜主講鄭州輕工業(yè)大學(xué)微課堂所謂隨機事件的概率,簡單的說就是用來衡量隨機事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標,它是概率論中最基本的概念之一.如何定義概率?先從事件發(fā)生的頻率與頻率的性質(zhì)出發(fā)引出概率的定義.概率的定義前言1.頻率的定義與性質(zhì)【定義1】設(shè)E

為任一隨機試驗,A

為其中任一事件,在相同條件下,把E獨立地重復(fù)做n次,nA表示事件A在這n次試驗中發(fā)生的次數(shù),稱為頻數(shù).比值fn(A)=nA/n稱為事件A在該試驗中發(fā)生的頻率.易知頻率有如下性質(zhì):(2)對于必然事件,有fn((1)

對于任一事件A,

有0

fn(A)

1;)

=

1;概率的定義義及性質(zhì)1.頻率的定義與性質(zhì)【定義1】設(shè)E

為任一隨機試驗,A

為其中任一事件,在相同條件下,把E獨立地重復(fù)做n次,nA表示事件A在這n次試驗中發(fā)生的次數(shù),稱為頻數(shù).比值fn(A)=nA/n稱為事件A在該試驗中發(fā)生的頻率.易知頻率有如下性質(zhì):(3)對于互不相容事件A,B,有fn(A∪B)

=

fn(A)

+

fn(B).概率的定義義及性質(zhì)1.頻率的定義與性質(zhì)概率的定義【例1】將一枚硬幣拋擲5次,50次,500次,各做7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.試驗

n

=

5

n

=

50

n

=

500序號n

f

(H

)n

f(H

)nf

(H

)H

nHnH12

2225124

55162740.412.500.20.40.80n

.440.50247

0

.500.360.5418272622580.5020

.4940.5020.5240.516在3

0.5處0波.6

動較2大2大5波動更小隨n3

的增1大,頻02.12率f256呈6呈現(xiàn)0.4出2249

0.498穩(wěn)定性0.512在204

.5處0.波48

動較25小11.頻率的定義與性質(zhì)·

頻率具有一定的“穩(wěn)定性”!歷史上許多統(tǒng)計學(xué)家用拋硬幣的方法對頻率的穩(wěn)定性進行驗證.概率的定義試驗者擲幣次數(shù)n正面次數(shù)nAnA

/

nDe

Morgan204810610

.

5180Buffon404020480

.

5069J.

Kerrich700035160

.

5022J.

Kerrich800040350

.

5042J.

Kerrich900045380

.

5042J.

Kerrich1000050670

.

5067Feller1000049790

.

4979K.

Pearson1200060190

.

5016K.

Pearson24000120120

.

5005K.

Pearson80640401730

.

49822.概率的統(tǒng)計定義【定義2】設(shè)有隨機試驗E,若當(dāng)試驗的次數(shù)n充分大時,事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某數(shù)p附近波動,則稱數(shù)p為事件A的概率,記為:P(A)

=

p.·

值得注意的是,雖然概率的統(tǒng)計定義是以試驗為基礎(chǔ)的,但這并不是說概率取決于試驗.概率的定義性質(zhì)2.概率的統(tǒng)計定義【定義2】設(shè)有隨機試驗E,若當(dāng)試驗的次數(shù)n充分大時,事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某數(shù)p附近波動,則稱數(shù)p為事件A的概率,記為:P(A)

=

p.·

事件A

出現(xiàn)的概率是事件A

的一種屬性,也就是說它完全取決于事件A本身,是先于試驗客觀存在的.概率的定義性質(zhì)2.概率的統(tǒng)計定義【定義2】設(shè)有隨機試驗E,若當(dāng)試驗的次數(shù)n充分大時,事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某數(shù)p附近波動,則稱數(shù)p為事件A的概率,記為:P(A)

=

p.概率的統(tǒng)計定義只是描述性的,一般不能用來計算事件的概率.但是當(dāng)試驗次數(shù)n充分大時,我們常常以事件出現(xiàn)的頻率作為事件概率的近似值.概率的定義2.概率的統(tǒng)計定義【例2】有人對各類各類典型的英語書刊中的字母出現(xiàn)的頻率進行了統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)各字母出現(xiàn)的頻率相當(dāng)穩(wěn)定.下表是Dewey

G.統(tǒng)計了約438023個英語單詞中各字母出現(xiàn)的頻率:A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:

0.0202 Z:

0.0006·

各字母出現(xiàn)的頻率可以作為出現(xiàn)的概率的近似值.這項研究對鍵盤的設(shè)計,信息編碼等方面都是十分有用的.概率的定義2.概率的統(tǒng)計定義【例3】統(tǒng)計近百年世界重大地震14次（震級7級左右,死亡5000人以上）……………..·

世界每年發(fā)生大地震概率約為14%.時間地點級別死亡1976.07.28中國河北省唐山7.824.2萬1978.09.16伊朗塔巴斯鎮(zhèn)地區(qū)7.91.5萬1995.01.17日本阪神工業(yè)區(qū)7.20.6萬1999.08.17土耳其伊茲米特市7.41.7萬2003.12.26伊朗克爾曼省6.83萬2004.12.26印尼蘇門答臘島附近海域9.015萬概率的定義3.概率的公理化定義概率的統(tǒng)計定義只是描述性的,一般不能用來計算事件的概率.

1933年俄國數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫給出了概率的公理化定義.概率的定義安德列·柯爾莫哥洛夫（1903.4－1987.10）,

20世紀蘇聯(lián)最杰出的數(shù)學(xué)家,也是20世紀世界上為數(shù)極少的幾個最有影響的數(shù)學(xué)家之一.他的研究幾乎遍及數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域,做出許多開創(chuàng)性的貢獻.3.概率的公理化定義【定義4】設(shè)

是一隨機試驗的樣本空間,對于該隨機試驗的每一個事件A賦予一個實數(shù),記為P(A),

稱為事件A的概率,如果集合函數(shù)P(

)滿足下列公理:(1)

非負性:

對于每一個事件A,

有P(A)

0;(2)

規(guī)范性:

對于必然事件 ,

有P()

=

1;(3)

可列可加性:

設(shè)A1,

A2,

…是兩兩互不相容的事件,

即對于i

j,AiAj

= ,

i,

j

=

1,

2,

…,

則有P(A1∪A2

∪…)

=

P(A1)

+

P(A2)

+…概率的定義3.概率的公理化定義取得了與·概率的公理化定義使概率論成為一門嚴格的演繹科學(xué),其他數(shù)學(xué)學(xué)科同等的地位.·在公理化的基礎(chǔ)上, 現(xiàn)代概率論不僅在理論上取得了一系列的突

破,也在應(yīng)用上取得了巨大的成就.概率的定義微課堂了解下列幾點:1.事件發(fā)生的頻率和具體的試驗有關(guān),試驗次數(shù)相同,頻率不一定相同.2.試驗次數(shù)充分大時頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性;概率的定義小結(jié)微課堂了解下列幾點:3.頻率的統(tǒng)計定義是描述性的,通常將試驗次數(shù)很大時事件的頻率作為事件發(fā)生的概率的估計值;4.公理化定義便于概率的研究和計算,可以導(dǎo)出概率的更多性質(zhì).概率的定義小結(jié)微課堂概率的統(tǒng)計定義有什么不足之處?現(xiàn)實當(dāng)中是如何應(yīng)用它來解決問題的?2000年悉尼奧運會開幕前,氣象學(xué)家對兩個開幕候選日“9月10日”和“9月15日”的100年氣象學(xué)資料分析發(fā)現(xiàn),“9月10日”的下雨天數(shù)為86天,“9月15日”的下雨天數(shù)為22天.因此最后決定開幕日定為“9月15日”,這有什么道理?請你再舉出一、兩個現(xiàn)實

中利用頻率近似概率的例子.概率的定義思考題2021年5月教學(xué)設(shè)計:主講老師:徐雅靜

汪遠征

徐雅靜

徐姍

鄭州輕工業(yè)大學(xué)藝術(shù)設(shè)計:制作單位:制作時間:概率的定義第6講

概率的性質(zhì)徐雅靜主講微課堂概率的公理化定義設(shè)

是一隨機試驗的樣本空間,

A

為任一事件,定義概率是一個函數(shù)P(

),

滿足下列公理:非負性:

P(A)

0;規(guī)范性:

P( )

=

1;可列可加性:設(shè)A1,A2,…是兩兩互不相容的事件,則有P(A1∪A2

∪…)

=

P(A1)

+

P(A2)

+…概率的性質(zhì)回顧2.概率的性質(zhì)性質(zhì)1不可能事件的概率為0,即P()

=

0.證:

=

∪

∪

∪…∪

∪…因為不可能事件與任何事件是互不相容的,故由概率的可列可加性得P( )

=

P( )

+

P( )

+…+

P( )

+…根據(jù)概率的規(guī)范性P()=1,得P( )

+

P( )

+…+

P(再由概率的非負性

P( )

≥

0,

必有P()

+…

=

0.)

=

0.概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)2.概率的性質(zhì)性質(zhì)1不可能事件的概率為0,即P()

=

0.概率為0的事件是否一定為不可能事件？概率為1的事件是否一定為必然事件？答案將在后面的微課中逐步揭曉！2.概率的性質(zhì)性質(zhì)2（有限可加性）若A1,A2,…,An是兩兩互不相容的事件,則有

P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).證:

P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1∪A2∪…∪An∪

∪

∪…)=

P(A1)

+

P(A2)

+…+

P(An)

+

P(

)+

P( )

+…=

P(A1)

+

P(A2)

+…+

P(An).概率的性質(zhì)由可列可加性得到P(

A)

P(

A

)1,P

(

A

)

1

P

(

A).AA概率的性質(zhì)2.概率的性質(zhì)性質(zhì)3（對立事件的概率）對任一事件A,

有

P(

A)

1

P(

A).證:

因為

AA

=

,且A

A=由有限可加性和P(所以)=1得2.概率的性質(zhì)性質(zhì)4（差事件的概率）對任意兩個事件A,B,有P(A–B)=P(A)–

P(AB).證:因為A

=(A

–B)∪(AB),且(A

–

B)∩(AB)

=

,由有限可加性知P(A)=P(A

–B)+P(AB),所以

P(A

–

B)

=

P(A)

–

P(AB).概率的性質(zhì)BABA-BA2.概率的性質(zhì)性質(zhì)4（差事件的概率）對任意兩個事件A,B,有P(A

–

B)

=

P(A)

–

P(AB).特別地,若B由于P(A

–B)A,則P(A

–B)=P(A)–P(B).0,所以

P(A)

P(B).概率的性質(zhì)BA2.概率的性質(zhì)性質(zhì)5（加法公式）對于任意兩事件A,B,有P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB).證:因A∪B

=A∪(B

–AB),且A∩(B

–

AB)

=

,由有限可加性得概率的性質(zhì)BABAP(

A

B)P(

A)P(

BAB

)由于AB B,

由性質(zhì)4得P(B

AB)P(B)P

(

A)P(

AB)P

(B

)P

(

AB

).2.概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)性質(zhì)5（加法公式）對于任意兩事件A,B,有P(A∪B)

=

P(A)

+

P(B)

–

P(AB).加法公式的推廣:P(A∪B

∪C)=來推一推:P

(

A

B

C

)P[(

A

B

)

C

]

P(

A

B)

P(C

)

P[(

A

B)CP(

A

B)

P(C

)

P(

AC BC

)P

(

A)

P

(B

)P

(

AB

)P

(C

)[

P

(

AC

)P

(BC

)2.概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)性質(zhì)5（加法公式）對于任意兩事件A,B,有P(A∪B)

=

P(A)

+

P(B)

–

P(AB).加法公式的推廣:P(A∪B

∪C)=來推一推:P(

A)

P(B)

P(

AB)P(BC

)P

(

A

B

C

)P

(

A)P(C

)

[

P

(

AC

)P

(

B

)

P

(

C

)

P

(

AB

)

P

(

AC

)

-

P

(

BC

)P

(

ABC

)概率的性質(zhì)2.概率的性質(zhì)性質(zhì)5（加法公式）對于任意兩事件A,B,有P(A∪B)

=

P(A)

+

P(B)

–

P(AB).加法公式的推廣:P(A∪B

∪C)=來看結(jié)果:P

(

A

B

C

)P

(

A)P

(

AB

)P

(

AC

)

-

P

(

BCAP

(

B

)

P

(

C

)BABCC可用歸納法證得概率的性質(zhì)2.概率的性質(zhì)性質(zhì)5（加法公式）對于任意兩事件A,B,有P(A∪B)

=

P(A)

+

P(B)

–

P(AB).加法公式的推廣:P(A∪B

∪C)=來看結(jié)果:P

(

A

B

C

)P

(

A)

P

(

B

)

P

(

C

)

P

(

AB

)

P

(

AC

)

-

P

(

BCnP

(

A

A1

2A

)nP

(

A

)iP

(

A

A

)i

jP

(

Ai

A

j

Ak

)i

j

k

ni

1(

1n)1

1Pi

(

jA

nA A

).11

2

n2.概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)【例】設(shè)甲、乙兩人向同一目標進行射擊,已知甲擊中的概率為0.7,乙擊中目標的概率為0.6,兩人同時擊中目標的概率為0.4,求至少有一人擊中目標的概率;甲擊中目標而乙未擊中目標的概率;目標不被擊中的概率.解設(shè)A

=“甲擊中目標”,B

=“乙擊中目標”,則

P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(AB)=0.4,(1)

P(

A

B)P

(

A)

P

(B

)

P

(

AB

)

0.7

0.6

0.4

0.9.2.概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)【例】設(shè)甲、乙兩人向同一目標進行射擊,已知甲擊中的概率為0.7,乙擊中目標的概率為0.6,兩人同時擊中目標的概率為0.4,求至少有一人擊中目標的概率;甲擊中目標而乙未擊中目標的概率;目標不被擊中的概率.解設(shè)A

=“甲擊中目標”,B

=“乙擊中目標”,則

P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(AB)=0.4,P

(

A

B

)(2)

P(

AB

)

P(

A)

P(

AB)0.7

0.4

0.3.2.概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)【例】至少有一人擊中目標的概率;甲擊中目標而乙未擊中目標的概率;目標不被擊中的概率.解設(shè)A

=“甲擊中目標”,B

=“乙擊中目標”,則

P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(AB)=0.4,(3)

P(

AB

)

P(

A

B)11P(

AB)P(

A

B)P(

A)

P(B)1

0.7

0.6

0.4

0.1.微課堂概率主要的性質(zhì):(1)

不可能事件的概率

P( )

=

0概率的性質(zhì)小結(jié)有限可加性:若A1,A2,…,An是兩兩互不相容的事件,則P(A1∪A2∪…∪An)

=

P(A1)

+

P(A2)

+…+

P(An)對立事件（逆事件）的概率P

(

A)

1

P

(

A)微課堂概率主要的性質(zhì):(4)差事件概率概率的性質(zhì)小結(jié)P(A

–

B)

=

P(A)

–

P(AB)若B A,

P(A

–

B)

=

P(A)

–

P(B)(5)和事件概率（加法公式）P(A∪B)

=

P(A)

+

P(B)

–

P(AB)若A,B互不相容,P(A

∪B)=P(A)+P(B)微課堂1.

某同學(xué)參加智力競賽,

他能答出甲、乙二類問題的概率分

別為0.7和0.3,

兩類問題都能答出的概率為0.2.求該同學(xué)答出甲類而答不出乙類問題的概率;至少有一類問題能答出的概率;概率的性質(zhì)練習(xí)題3

22.(設(shè)3)事兩件類A,問B題的都概答率不分出別的為的為概1、1、率1

.在(下(下1)列)列A二與種B互情不況相下容分;別(求2)PA(BA)B.2021年5月教學(xué)設(shè)計:主講老師:徐雅靜

汪遠征

徐雅靜

徐姍

鄭州輕工業(yè)大學(xué)藝術(shù)設(shè)計:制作單位:制作時間:概率的性質(zhì)課堂練習(xí)【例】為了研究父輩的文化程度對子女文化程度的影響,某大學(xué)統(tǒng)計出全校學(xué)生父親具有大學(xué)以上文化程度的占30%,母親具有大學(xué)以上文化程度的占20%,父母雙方都具有大學(xué)以上文化程度的占

10%,從中任意抽取一名同學(xué),試考慮:父母雙方不全具有大學(xué)以上文化程度的概率是多少？僅父親或母親一方具有大學(xué)以上文化程度的概率是多少？解:設(shè)A=“父親有大學(xué)以上文化程度”,B=“母親有大學(xué)以上文化程度則

P(A)=0.3,P(B)=0.2,P(AB)=0.1.概率的性質(zhì)2.概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)【例】父母雙方不全具有大學(xué)以上文化程度的概率是多少？僅父親或母親一方具有大學(xué)以上文化程度的概率是多少？解:設(shè)A=“父親有大學(xué)以上文化程度”,B=“母親有大學(xué)以上文化程度則

P(A)=0.3,P(B)=0.2,P(AB)=0.1.(1)

P(

AB)

1

P(

AB)1

0.1

0.9.(2)

P(

AB

AB

)P(

AB

)P(

AB)P

(

A)P

(B

)2

P

(

AB

)P(

A

AB)

P

(

B

AB)0.3

0.2

2

0.1概率的性質(zhì)【機動】設(shè)A,B滿足P(A)=0.6,P(B)=0.7,在何條件下,P(AB)取得最大(小)值?最大(小)值是多少？解由于P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB).所以

P(AB)

=

P(A)

+

P(B)

–

P(A∪B)P(A)

+

P(B)

–

1

≤

P(AB)

≤

P(A)當(dāng)P(A∪B)=1時P(AB)取到最小值0.3,當(dāng)P(B)=P(A∪B)時P(AB)達到最大值0.6.概率的性質(zhì)第7講

排列與組合徐雅靜主講微課堂根據(jù)概率計算的需要,復(fù)習(xí)如下內(nèi)容:加法原理、乘法原理、排列、組合的概念、排列數(shù)、組合數(shù)的計算.排列與組合前言1.加法原理與乘法原理排列與組合(1)加法原理如果從A地到B地共有m條路公路、n條水路,那么,A地到B地共有多少條路可走n條水路Am條公路B答案:共有m+n條路可走.1.加法原理與乘法原理(1)加法原理從A地到B地共有m條路公路、n條水路,那么,A地到B地共有多少條路可走?加·

法答原案理:共有m+n條路可走.完成一件事情有m

類方法,第i

類方法中有ni

(i

=1,2,…,m)種具體的方法,則完成這件事情共有

n1+n2+…+nm

種具體的方法.排列與組合1.加法原理與乘法原理(2)乘法原理如果從A地到B地有m條路可走,從B地到C地有n條路可走,那么,排列與組合AB答案:A地到C地有mn條路可走.CA地到C地有多少條不同m的條路路路路可走?n條路1.加法原理與乘法原理(2)乘法原理乘法原理做一件事,完成它需要分成m個步驟,第i

個步驟中有ni

(i

=1,2,…,m)種方法,那么,完成這件事共有n1n2…nm種不同的方法.加法原理和乘法原理是數(shù)學(xué)中的基本原理,概率論中計算概率經(jīng)常用到.排列與組合若r

=n,則稱為全排列,全排列的總數(shù)為

An

=n!.排列與組合2.排列從n個不同元素中,

任取r

(r

n)個不同元素,

按照一定的順序排成一列,

稱為從n個不同元素中,

任取r

個元素的一個排列.能夠得到多少個這種不同的排列?A

n.r

)!Ar用

nr

表示排列數(shù),

則n!n(n

1)

(n

r

(n1)2.排列【例1】從9個同學(xué)中任意抽出4名同學(xué)排隊,一共能排成多少個不同的隊形?解:這是一個求排列數(shù)問題,排列與組合9A

4Arnn