人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊第5章 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 質(zhì)量評估(含解析)

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第5章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用質(zhì)量評估(原卷版)

(時間：120分鐘，分值：150分)

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分)

1．曲線f(x)＝x3＋11在點(diǎn)P(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為()

A．－9B．－3

C．9D．15

2．下列結(jié)論正確的個數(shù)是()

①若f(x)＝ln2，則f′(x)＝；②若f(x)＝，則f′(3)＝－；③若f(x)＝2x，則f′(x)＝2xln2；④若f(x)＝log2x，則f′(x)＝.

A．0B．1

C．2D．3

3．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A．(－∞，2)B．(0,3)

C．(1,4)D．(2，＋∞)

4．函數(shù)f(x)＝g(x)＋x2，曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程y＝2x＋1，則曲線y＝f(x)在(1，f(1))處切線的斜率為()

A．－B．2

C．4D．－

5．如果函數(shù)f(x)＝2x3＋ax2＋1(a為常數(shù))在區(qū)間(－∞，0)和(2，＋∞)上單調(diào)遞增，且在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，則a的值為()

A．1B．2

C．－6D．－12

6．若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于()

A．2B．3

C．6D．9

7．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，若△ABC為銳角三角形，則一定成立的是()

A．f(sinA)>f(cosB)

B．f(sinA)f(sinB)

D．f(cosA)0)．若將A，B兩家化工廠作為污染源，且已知A，B兩廠的污染強(qiáng)度分別是8p和p.連線上任意一點(diǎn)處的污染指數(shù)y等于A，B兩家化工廠污染指數(shù)的和，若設(shè)MA＝xkm.

(1)試將y表示為x的函數(shù)；

(2)求當(dāng)M點(diǎn)處的污染指數(shù)y取得最小值時x的值．

22.(12分)已知函數(shù)f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2.

(1)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)≥x2＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值．

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第5章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用質(zhì)量評估(解析版)

(時間：120分鐘，分值：150分)

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分)

1．曲線f(x)＝x3＋11在點(diǎn)P(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為()

A．－9B．－3

C．9D．15

C解析：由已知得切線的斜率k＝f′(1)＝3，所以切線方程為y－12＝3(x－1)，即3x－y＋9＝0.

令x＝0，得y＝9，所以切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為9.

2．下列結(jié)論正確的個數(shù)是()

①若f(x)＝ln2，則f′(x)＝；②若f(x)＝，則f′(3)＝－；③若f(x)＝2x，則f′(x)＝2xln2；④若f(x)＝log2x，則f′(x)＝.

A．0B．1

C．2D．3

D解析：①y＝ln2為常數(shù)，所以y′＝0，①錯；②③④均正確，直接利用求導(dǎo)公式即可驗證．

3．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A．(－∞，2)B．(0,3)

C．(1,4)D．(2，＋∞)

D解析：f′(x)＝(x－2)ex.由f′(x)>0得x>2.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)．

4．函數(shù)f(x)＝g(x)＋x2，曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程y＝2x＋1，則曲線y＝f(x)在(1，f(1))處切線的斜率為()

A．－B．2

C．4D．－

C解析：∵y＝g(x)在x＝1處的切線方程為y＝2x＋1.∴g′(1)＝k＝2，

又f′(x)＝g′(x)＋2x，∴f′(1)＝g′(1)＋2＝4，故曲線y＝f(x)在(1，f(1))處切線的斜率為4.

5．如果函數(shù)f(x)＝2x3＋ax2＋1(a為常數(shù))在區(qū)間(－∞，0)和(2，＋∞)上單調(diào)遞增，且在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，則a的值為()

A．1B．2

C．－6D．－12

C解析：令f′(x)＝6x2＋2ax＝0，得x＝0或x＝－，由題意，知f′(x)＝0的兩根為0,2，所以2＝－，所以a＝－6.

6．若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等于()

A．2B．3

C．6D．9

D解析：∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴a＋b≥2，∴2≤6，∴ab≤9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時等號成立．

7．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，若△ABC為銳角三角形，則一定成立的是()

A．f(sinA)>f(cosB)

B．f(sinA)f(sinB)

D．f(cosA)0時，f′(x)>0，即f(x)單調(diào)遞增．

又△ABC為銳角三角形，則A＋B>，即>A>－B>0，故sinA>sin>0，即sinA>cosB>0.故f(sinA)>f(cosB)．

8．若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直，則稱y＝f(x)具有T性質(zhì)．下列函數(shù)具有T性質(zhì)的是()

A．y＝sinxB．y＝lnx

C．y＝exD．y＝x3

A解析：∵(lnx)′＝>0，(ex)′＝ex>0，(x3)′＝3x2≥0.

∴選項B，C，D中的曲線不存在兩點(diǎn)，其切線的斜率之積為－1，只有A項符合．

二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

9．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a可取的范圍有()

A．(－∞，－3]

B．(－∞，－3)

C．[6，＋∞)

D．(6，＋∞)

BD解析：依題意f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，對應(yīng)的判別式Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＝4a2－12a－72>0，即a2－3a－18>0，即(a－6)(a＋3)>0，解得a6.故選BD．

10．如圖是函數(shù)y＝f(x)導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象，下列選項中正確的是()

A．在x2處導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)有極大值

B．在x1，x4處導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)有極小值

C．在x3處函數(shù)y＝f(x)有極大值

D．在x5處函數(shù)y＝f(x)有極小值

ABCD解析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象可知：x1，x4的兩側(cè)f′(x)左減右增，所以在x1，x4處導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)有極小值；x2的兩側(cè)f′(x)左增右減，所以在x2處導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)有極大值．

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象可知：x3的左側(cè)導(dǎo)數(shù)大于零，右側(cè)導(dǎo)數(shù)小于零，所以在x3處函數(shù)y＝f(x)有極大值.x5的左側(cè)導(dǎo)數(shù)小于零，右側(cè)導(dǎo)數(shù)大于零，所以在x5處函數(shù)y＝f(x)有極小值．故選ABCD．

11．對于函數(shù)f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列正確的是()

A．x＝3是函數(shù)f(x)的一個極值點(diǎn)

B．f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1,1)，(2，＋∞)

C．f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減

D．直線y＝16ln3－16與函數(shù)y＝f(x)的圖象有3個交點(diǎn)

ACD解析：由題得f′(x)＝＋2x－10＝，x>－1.令2x2－8x＋6＝0，可得x＝1或3，則f(x)在(－1,1)，(3，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減，所以x＝3是函數(shù)f(x)的一個極值點(diǎn)，故AC正確，B錯誤．

因為f(1)＝16ln(1＋1)＋12－10＝16ln2－9，f(3)＝16ln(1＋3)＋32－10×3＝16ln4－21，又y＝16ln3－16＝f(2)，根據(jù)f(x)在(1,3)上單調(diào)遞減得f(1)>f(2)>f(3)，得16ln3－1616ln4－21，

所以直線y＝16ln3－16與函數(shù)y＝f(x)的圖象有3個交點(diǎn)，故D正確．故選ACD．

12．已知函數(shù)f(x)＝x2－3x＋m－2lnx，()

A．m＝3時，f(x)有兩個零點(diǎn)

B．m＝3時，f(x)的極小值點(diǎn)為2

C．m＝3時，f(x)≥0恒成立

D．若f(x)只有一個零點(diǎn)，則m＝2＋2ln2

ABD解析：對于選項A，當(dāng)m＝3時，f(x)＝x2－3x＋3－2lnx，其定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝2x－3－＝＝.

令f′(x)＝0，得x＝2，當(dāng)02時，f′(x)>0，

∴f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，

∴f(x)min＝f(2)＝1－2ln2＝1－ln40，f(3)＝3－2ln3>0，∴f(x)在定義域內(nèi)有兩個零點(diǎn)，故選項A正確．對于選項B，由上面的推導(dǎo)過程可知，當(dāng)m＝3時，f(x)的極小值點(diǎn)為2，故選項B正確．對于選項C，由上面的推導(dǎo)過程可知，f(2)0，則函數(shù)g(x)的圖象與直線y＝－m只有一個交點(diǎn)．g′(x)＝，

令g′(x)＝0,∴x＝2，當(dāng)02時，g′(x)>0，

∴g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，

∴g(x)min＝g(2)＝－2－2ln2，且當(dāng)x→0時，

g(x)→＋∞；當(dāng)x→＋∞時，g(x)→＋∞.

∴函數(shù)g(x)的圖象與直線y＝－m只有一個交點(diǎn)時，－m＝－2－2ln2，∴m＝2＋2ln2，故選項D正確．故選ABD．

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝1和x＝－1處均有極值，且f(－1)＝－1，則a＋b＋c＝________.

1解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由題意知f′(1)＝3a＋2b＋c＝0，f′(－1)＝3a－2b＋c＝0，又f(－1)＝－a＋b－c＝－1，可解得a＝－，b＝0，c＝，所以a＋b＋c＝1.

14.已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax2－bx，其中a，b為實數(shù)．若f(x)在區(qū)間[－1,2]上為減函數(shù)，且b＝9a，則a的取值范圍是________．

[1，＋∞)解析：由題意知f′(x)＝3x2－6ax－b≤0對x∈[－1，2]恒成立，b＝9a，所以f′(x)＝3x2－6ax－9a≤0，即x2－2ax－3a≤0對x∈[－1,2]恒成立．因為2x＋3>0，所以a≥對x∈[－1,2]恒成立，容易求得a≥1.

15.已知曲線f(x)＝ax3＋lnx，若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線斜率為4，則a＝________；若曲線y＝f(x)存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________．

1(－∞，0)解析：f′(x)＝3ax2＋.

令f′(1)＝3a＋1＝4，得a＝1.

∵f(x)存在垂直于y軸的切線，

∴f′(x)＝0有解，

即3ax2＋＝0有解，

∴3a＝－，而x>0，

∴a∈(－∞，0).

16.已知矩形的兩個頂點(diǎn)A，D位于x軸上，另兩個頂點(diǎn)B，C位于拋物線y＝4－x2在x軸上方的曲線上，則這個矩形的面積最大時的邊長為________．

，解析：由題意，設(shè)矩形邊長AD＝2x，則AB＝4－x2，

∴矩形面積為S＝2x(4－x2)＝8x－2x3(00；

當(dāng)0，故f(x)在區(qū)間(－∞，－2)內(nèi)為增函數(shù)；

當(dāng)x∈(－2,1)時，f′(x)0，

故f(x)在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)；

從而函數(shù)f(x)在x1＝－2處取得極大值f(－2)＝21，在x2＝1處取得極小值f(1)＝－6.

19.(12分)已知函數(shù)f(x)＝x2＋xsinx＋cosx.

(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(a，f(a))處與直線y＝b相切，求a與b的值；

(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝b有兩個不同交點(diǎn)，求b的取值范圍．

解：由f(x)＝x2＋xsinx＋cosx，得f′(x)＝x(2＋cosx)．

(1)因為曲線y＝f(x)在點(diǎn)(a，f(a))處與直線y＝b相切，所以f′(a)＝a(2＋cosa)＝0，b＝f(a)．

解得a＝0，b＝f(0)＝1.

(2)令f′(x)＝0，得x＝0.

f(x)與f′(x)的變化情況如下：

x(－∞，0)0(0，＋∞)

f′(x)－0＋

f(x)單調(diào)遞減1單調(diào)遞增

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f(0)＝1是f(x)的最小值．

因此b的取值范圍是(1，＋∞).

20.(12分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－與x＝1處都取得極值．

(1)求a，b的值與函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對x∈[－1,2]，不等式f(x)f(2)＝2＋c，解得c2.

∴c的取值范圍是(－∞，－1)∪(2，＋∞).

21.(12分)有A，B兩家化工廠，相距48km，現(xiàn)在要在兩家化工廠連線上一點(diǎn)M處建造居民小區(qū)，考慮點(diǎn)M處的污染指數(shù)，據(jù)環(huán)保部門測定，連線上任意一點(diǎn)處的污染指數(shù)與污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源的距離的平方成反比，比例系數(shù)分別為k1，k2(k1，k2>0)．若將A，B兩家化工廠作為污染源，且已知A，B兩廠的污染強(qiáng)度分別是8p和p.連線上任意一點(diǎn)處的污染指數(shù)y等于A，B兩家化工廠污染指數(shù)的和，若設(shè)MA＝xkm.

(1)試將y表示為x的函數(shù)；

(2)求當(dāng)M點(diǎn)處的污染指數(shù)y取得最小值時x的值．