【解析】2023年浙教版數(shù)學九年級上冊第四章 相似三角形 章末檢測（A卷）

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2023年浙教版數(shù)學九年級上冊第四章相似三角形章末檢測（A卷）

一、選擇題

1．（2023九上·東陽期末）若2a＝3b，則的值為（）

A．B．C．D．

2．（2023九上·余姚期末）已知線段a=3，b=12，則a，b的比例中項線段等于（）

A．2B．4C．6D．9

3．（2022九上·平陰期中）一本書的寬與長之比為黃金比，書的寬為14cm，則它的長為（）cm

A．B．C．D．

4．（2022九上·晉中期末）如圖，與相交于點G，且，則＝（）

A．5：3B．1：3C．3：5D．2：3

5．（2022九上·晉江期末）若，相似比為1：2，則與的面積的比為（）

A．1：2B．2：1C．1：4D．4：1

6．（2022九上·咸陽月考）若兩個三角形相似，且相似比為1：3，則這兩個三角形對應角平分線的比為（）

A．B．1：3C．1：6D．1：9

7．（2022九上·南海月考）如圖，點P在的邊上，添加如下一個條件后，仍不能得到的是（）

A．B．C．D．

8．（2022九上·義烏期中）如圖，已知AD為△ABC中BC邊上的中線，過重心G作GE∥AC，交BC于點E，DE＝2，則BC的長為（）

A．12B．8C．6D．4

9．（2023九上·諸暨期末）如圖，某同學利用鏡面反射的原理巧妙地測出了樹的高度，已知人的站位點，鏡子，樹底三點在同一水平線上，眼睛與地面的高度為1.6米，米，米，則樹高為（）米

A．4B．5C．6D．7

10．（2022九上·代縣期末）在如圖所示的人眼成像的示意圖中，可能沒有蘊含的初中數(shù)學知識是（）

A．位似圖形B．相似三角形的判定

C．旋轉D．平行線的性質

二、填空題（每空4分，共24分）

11．（2023九上·臨渭期末）已知點C是線段的黃金分割點，且，，則的長度是

12．如圖，已知，若，，，則的長為.

13．（2022九上·鄭州開學考）已知△MBC∽△A'B'C'，AD和A'D是對應的角平分線，若AD：AD'=4：3，△ABC的周長為16，則△AB'C的周長是.

14．（2022九上·門頭溝期末）如圖，在中，點D在上，連接．請?zhí)砑右粋€條件，使得，然后再加以證明．

15．（2023九上·寧波期末）如圖，小明借助太陽光線測量樹高.在早上8時小明測得樹的影長為，下午3時又測得該樹的影長為，且這兩次太陽光線剛好互相垂直，則樹高為.

16．（2023九上·榆林期末）如圖，四邊形四邊形，若，，，則FG的長為．

三、作圖題（共2題，共16分）

17．（2022九上·淮北月考）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為，，．

⑴作出與關于軸對稱的；

⑵以原點為位似中心，在第三象限內作一個，使它與的相似比為．

18．（2023九上·杭州期末）如圖，△ABC的頂點均為網格中的格點.

（1）選擇合適的格點（包括邊界）為點D和點E，請畫出一個△ADE，使△ADE∽△ABC（相似比不為1）.

（2）證明：△ADE∽△ABC.

四、解答題（共7題，共50分）

19．（2022九上·舟山期中）已知，求：

（1）

（2）

20．（2023九上·金臺期末）公園中的兒童游樂場是兩個相似三角形地塊，相似比為，面積的差為，它們的面積之和為多少？

21．（2023九上·漣水月考）已知△ABC∽△DEF，且DE＝2cm，AB＝4cm，BC＝5cm，CA＝6cm，求△DEF的周長.

22．（2023九上·霍邱期末）如圖，在△ABC中，D、E、F分別是AB、BC上的點，且DE//AC、AE//DF，BD：AD=3：2，BF=6，求EF和FC的長．

23．（2022九上·槐蔭期中）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP＝3PC，Q是CD的中點，求證：△ADQ∽△QCP．

24．（2023九上·西安期末）如圖，點是菱形對角線上的一點，，求的長.

25．（2022九上·龍崗期末）小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高．如圖所示，在某一時刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物的影長為16米，的影長為20米，小明的影長為2.4米，其中O、C、D、F、G五點在同一直線上，A、B、O三點在同一直線上，且，．已知小明的身高為1.8米．

（1）求建筑物OB的高度；

（2）求旗桿的高AB．

答案解析部分

1．【答案】D

【知識點】比例的性質

【解析】【解答】解：∵2a＝3b，

∴.

故答案為：D.

【分析】根據比例的基本性質：兩內項之積等于兩外項之積將等積式改寫成比例式即可.

2．【答案】C

【知識點】比例線段

【解析】【解答】解：設a、b的比例中項為c（c＞0），則c2=ab，

∵a=3，b=12，

∴c2=36，

∴c=6.

故答案為：C.

【分析】設a、b的比例中項為c（c＞0），則c2=ab，進而代值計算即可.

3．【答案】A

【知識點】黃金分割

【解析】【解答】解：一本書的寬與長之比為黃金比，

這本書的長，

故答案為：A．

【分析】根據黃金分割的性質求出這本書的長即可。

4．【答案】A

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵，

∴．

故答案為：A．

【分析】利用平行線分線段成比例的性質可得。

5．【答案】C

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：∵，相似比為1：2，

∴與的面積的比為1：4.

故答案為：C.

【分析】直接根據相似三角形面積比等于相似比平方的性質得出結論.

6．【答案】B

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】兩個相似三角形的邊長的比為1：3，

兩個相似三角形的周長比為1：3.

故答案為：B.

【分析】根據相似三角形的性質“相似三角形對應角平分線的比等于相似比”可求解.

7．【答案】A

【知識點】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：根據題意得∶，

A、無法得到，故此選項符合題意；

B、當時，

又∵，

∴，故此選項不符合題意；

C、當時，

又∵，

∴，故此選項不符合題意；

D、當時，

又∵，

∴，故此選項不符合題意．

故答案為：A．

【分析】根據題意得，可根據兩角對應相等的兩個三角形相似，兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似進行逐一判斷即可.

8．【答案】A

【知識點】平行線分線段成比例；三角形的重心及應用

【解析】【解答】解：∵G是重心，

∴DG：DA＝1：3，

∵GE∥AC，

∴DE：DC＝DG：DA＝1：3，

∵DE＝2，

∴CD＝6，

∴BC＝2CD＝12，

故答案為：A.

【分析】根據重心定義可得DG：DA＝1：3，根據平行線分線段成比例定理得DE：DC＝DG：DA，進而代入數(shù)據即可算出CD，最后根據中點定義可得BC的長.

9．【答案】A

【知識點】相似三角形的應用

【解析】【解答】解：由題意得

∠COF=∠DOF，∠ACO=90°-∠COF，∠BOD=90°-∠DOF，

∴∠ACO=∠BOD，

∵∠OAC=∠OBD=90°，

∴△ACO∽△BDO，

∴即

解之：BD=4.

故答案為：A

【分析】利用已知條件和余角的性質可證得∠ACO=∠BOD，利用有兩組對應角分別相等的兩三角形相似，可證得△ACO∽△BDO，利用相似三角形的對應邊成比例，可求出BD的長.

10．【答案】C

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：兩棵樹是相似圖形，而且對應點的連線相交一點，對應邊互相平行，

這兩個圖形是位似圖形，

本題蘊含的初中數(shù)學知識有位似圖形，相似三角形的判定，平行線的性質，

故答案為：C．

【分析】根據位似圖形的定義即可判斷.

11．【答案】

【知識點】黃金分割

【解析】【解答】解：∵點C是線段的黃金分制點，且，，

∴.

故答案為：.

【分析】根據黃金分割的特點可得AC=AB，然后將AB=20代入進行計算.

12．【答案】4

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵，，

∴，

∵，

∴，即：，

∴；

故答案為：4

【分析】由線段的和差關系可得AE=AC+CE=8，根據平行線分線段成比例的性質可得，代入數(shù)據計算即可.

13．【答案】12

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，

∴，

∴C△A'B'C'=16×=12.

故答案為：12.

【分析】根據相似三角形的性質：對應角平分線的比等于相似比，周長的比等于相似比，列出比例式求解即可.

14．【答案】∠ACD=∠B（答案不唯一），證明見解析

【知識點】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：添加，

又∵，

∴，

故答案為：∠ACD=∠B（答案不唯一）．

【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。

15．【答案】4

【知識點】相似三角形的判定與性質

【解析】【解答】解：根據題意作圖，，，，，

，，

，

，

，

，

，

故答案為：4.

【分析】根據同角的余角相等得∠CAD=∠B，結合∠ADB=∠CDA=90°，判斷出△ADB∽△CDA，根據相似三角形對應邊成比例建立方程可求出AD的長.

16．【答案】6

【知識點】相似多邊形的性質

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD∽四邊形EFGH，

∴即

解之：FG=6.

故答案為：6

【分析】利用相似多邊形的對應邊成比例，可得到，代入計算求出FG的長.

17．【答案】解：⑴如圖即為所作；

⑵如圖即為所作．

【知識點】作圖﹣軸對稱；作圖﹣位似變換

【解析】【分析】（1）根據軸對稱的性質分別確定點A、B、C關于y軸對稱的對應點A1、B1、C1，然后順次連接即可；

（2）根據位似變換的性質先計算出A2、B2、C2的坐標，然后描點、連線即可.

18．【答案】（1）解：如圖，△ADE就是所求的三角形，答案不唯一，

（2）證明：∵AD=2AB，AE=2AC，

∴，

又∵∠BAC=∠DAE，

∴△△ADE∽△ABC.

【知識點】相似三角形的判定；作圖﹣相似變換

【解析】【分析】（1）延長AB至點D使AD=2AB，延長AC至點E，使AE=2AC，再連接ED，△ADE就是所求的三角形；

（2）由作圖過程易得，∠BAC=∠DAE，根據兩組邊成比例，且夾角相等的兩個三角形相似得△ADE∽△ABC.

19．【答案】（1）解：

（2）解：

【知識點】比例的性質

【解析】【分析】（1）將原式轉化為，代入計算求出結果.

（2）先將原式轉化為，代入計算求出結果.

20．【答案】解：∵兩三角形的相似比為，

∴它們的面積比為，

設較小三角形的面積為，則較大三角形的面積為，

則，

解得，

∴面積和為，

答：它們的面積和為.

【知識點】一元一次方程的其他應用；相似三角形的性質

【解析】【分析】根據相似三角形的相似比可得面積比為4：9，設較小三角形的面積為4k，則較大三角形的面積為9k，結合面積的差為30可求出k的值，進而可得面積之和.

21．【答案】解：△ABC的周長=AB+BC+CA=4+5+6=15（cm），

∵△ABC∽△DEF，

∴，

∴△DEF的周長=×15=7.5（cm）.

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【分析】先求出△ABC的周長，再根據相似三角形的周長比等于相似比列式計算，即可解答.

22．【答案】解：，

，即，

，

，

，

，即，

，

．

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【分析】根據平行線分線段成比例的性質可得，即，求出，求出BE的長，再根據，即，求出，最后利用線段的和差求出CF的長即可。

23．【答案】證明：∵四邊形是正方形

∴，

∵

∴

∵是的中點

∴

∵，

∴

∵

∴．

【知識點】正方形的性質；相似三角形的判定

【解析】【分析】先證明，再結合，可得。

24．【答案】解：∵四邊形是菱形，

∴.

∴.

∵，

∴，

∴.

∴.

∴，

∵.

∴，

∴.

【知識點】等腰三角形的性質；菱形的性質；相似三角形的判定與性質

【解析】【分析】根據菱形的性質可得BC=CD，由等腰三角形的性質可得∠BDC=∠CBD，∠ODC=∠OCD，則∠OCD=∠DBC，證明△CDO∽△BDC，然后根據相似三角形的性質進行計算.

25．【答案】（1）解：根據題意得：，

∴，

，

∴，

∴，即，

∴米

（2）解：根據題意得：，

∴，

，

∴，

∴，即，

∴米，

由（1）得米，

∴（米），

∴旗桿的高是米．

【知識點】相似三角形的應用

【解析】【分析】（1）證明，利用相似三角形的對應邊成比例即可求解；

（2）證明，可得，據此求出AO的長，利用AB=AO-BO即可求解.

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2023年浙教版數(shù)學九年級上冊第四章相似三角形章末檢測（A卷）

一、選擇題

1．（2023九上·東陽期末）若2a＝3b，則的值為（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】比例的性質

【解析】【解答】解：∵2a＝3b，

∴.

故答案為：D.

【分析】根據比例的基本性質：兩內項之積等于兩外項之積將等積式改寫成比例式即可.

2．（2023九上·余姚期末）已知線段a=3，b=12，則a，b的比例中項線段等于（）

A．2B．4C．6D．9

【答案】C

【知識點】比例線段

【解析】【解答】解：設a、b的比例中項為c（c＞0），則c2=ab，

∵a=3，b=12，

∴c2=36，

∴c=6.

故答案為：C.

【分析】設a、b的比例中項為c（c＞0），則c2=ab，進而代值計算即可.

3．（2022九上·平陰期中）一本書的寬與長之比為黃金比，書的寬為14cm，則它的長為（）cm

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】黃金分割

【解析】【解答】解：一本書的寬與長之比為黃金比，

這本書的長，

故答案為：A．

【分析】根據黃金分割的性質求出這本書的長即可。

4．（2022九上·晉中期末）如圖，與相交于點G，且，則＝（）

A．5：3B．1：3C．3：5D．2：3

【答案】A

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵，

∴．

故答案為：A．

【分析】利用平行線分線段成比例的性質可得。

5．（2022九上·晉江期末）若，相似比為1：2，則與的面積的比為（）

A．1：2B．2：1C．1：4D．4：1

【答案】C

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：∵，相似比為1：2，

∴與的面積的比為1：4.

故答案為：C.

【分析】直接根據相似三角形面積比等于相似比平方的性質得出結論.

6．（2022九上·咸陽月考）若兩個三角形相似，且相似比為1：3，則這兩個三角形對應角平分線的比為（）

A．B．1：3C．1：6D．1：9

【答案】B

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】兩個相似三角形的邊長的比為1：3，

兩個相似三角形的周長比為1：3.

故答案為：B.

【分析】根據相似三角形的性質“相似三角形對應角平分線的比等于相似比”可求解.

7．（2022九上·南海月考）如圖，點P在的邊上，添加如下一個條件后，仍不能得到的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知識點】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：根據題意得∶，

A、無法得到，故此選項符合題意；

B、當時，

又∵，

∴，故此選項不符合題意；

C、當時，

又∵，

∴，故此選項不符合題意；

D、當時，

又∵，

∴，故此選項不符合題意．

故答案為：A．

【分析】根據題意得，可根據兩角對應相等的兩個三角形相似，兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似進行逐一判斷即可.

8．（2022九上·義烏期中）如圖，已知AD為△ABC中BC邊上的中線，過重心G作GE∥AC，交BC于點E，DE＝2，則BC的長為（）

A．12B．8C．6D．4

【答案】A

【知識點】平行線分線段成比例；三角形的重心及應用

【解析】【解答】解：∵G是重心，

∴DG：DA＝1：3，

∵GE∥AC，

∴DE：DC＝DG：DA＝1：3，

∵DE＝2，

∴CD＝6，

∴BC＝2CD＝12，

故答案為：A.

【分析】根據重心定義可得DG：DA＝1：3，根據平行線分線段成比例定理得DE：DC＝DG：DA，進而代入數(shù)據即可算出CD，最后根據中點定義可得BC的長.

9．（2023九上·諸暨期末）如圖，某同學利用鏡面反射的原理巧妙地測出了樹的高度，已知人的站位點，鏡子，樹底三點在同一水平線上，眼睛與地面的高度為1.6米，米，米，則樹高為（）米

A．4B．5C．6D．7

【答案】A

【知識點】相似三角形的應用

【解析】【解答】解：由題意得

∠COF=∠DOF，∠ACO=90°-∠COF，∠BOD=90°-∠DOF，

∴∠ACO=∠BOD，

∵∠OAC=∠OBD=90°，

∴△ACO∽△BDO，

∴即

解之：BD=4.

故答案為：A

【分析】利用已知條件和余角的性質可證得∠ACO=∠BOD，利用有兩組對應角分別相等的兩三角形相似，可證得△ACO∽△BDO，利用相似三角形的對應邊成比例，可求出BD的長.

10．（2022九上·代縣期末）在如圖所示的人眼成像的示意圖中，可能沒有蘊含的初中數(shù)學知識是（）

A．位似圖形B．相似三角形的判定

C．旋轉D．平行線的性質

【答案】C

【知識點】位似變換

【解析】【解答】解：兩棵樹是相似圖形，而且對應點的連線相交一點，對應邊互相平行，

這兩個圖形是位似圖形，

本題蘊含的初中數(shù)學知識有位似圖形，相似三角形的判定，平行線的性質，

故答案為：C．

【分析】根據位似圖形的定義即可判斷.

二、填空題（每空4分，共24分）

11．（2023九上·臨渭期末）已知點C是線段的黃金分割點，且，，則的長度是

【答案】

【知識點】黃金分割

【解析】【解答】解：∵點C是線段的黃金分制點，且，，

∴.

故答案為：.

【分析】根據黃金分割的特點可得AC=AB，然后將AB=20代入進行計算.

12．如圖，已知，若，，，則的長為.

【答案】4

【知識點】平行線分線段成比例

【解析】【解答】解：∵，，

∴，

∵，

∴，即：，

∴；

故答案為：4

【分析】由線段的和差關系可得AE=AC+CE=8，根據平行線分線段成比例的性質可得，代入數(shù)據計算即可.

13．（2022九上·鄭州開學考）已知△MBC∽△A'B'C'，AD和A'D是對應的角平分線，若AD：AD'=4：3，△ABC的周長為16，則△AB'C的周長是.

【答案】12

【知識點】相似三角形的性質

【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，

∴，

∴C△A'B'C'=16×=12.

故答案為：12.

【分析】根據相似三角形的性質：對應角平分線的比等于相似比，周長的比等于相似比，列出比例式求解即可.

14．（2022九上·門頭溝期末）如圖，在中，點D在上，連接．請?zhí)砑右粋€條件，使得，然后再加以證明．

【答案】∠ACD=∠B（答案不唯一），證明見解析

【知識點】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：添加，

又∵，

∴，

故答案為：∠ACD=∠B（答案不唯一）．

【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。

15．（2023九上·寧波期末）如圖，小明借助太陽光線測量樹高.在早上8時小明測得樹的影長為，下午3時又測得該樹的影長為，且這兩次太陽光線剛好互相垂直，則樹高為.

【答案】4

【知識點】相似三角形的判定與性質

【解析】【解答】解：根據題意作圖，，，，，

，，

，

，

，

，

，

故答案為：4.

【分析】根據同角的余角相等得∠CAD=∠B，結合∠ADB=∠CDA=90°，判斷出△ADB∽△CDA，根據相似三角形對應邊成比例建立方程可求出AD的長.

16．（2023九上·榆林期末）如圖，四邊形四邊形，若，，，則FG的長為．

【答案】6

【知識點】相似多邊形的性質

【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD∽四邊形EFGH，

∴即

解之：FG=6.

故答案為：6

【分析】利用相似多邊形的對應邊成比例，可得到，代入計算求出FG的長.

三、作圖題（共2題，共16分）

17．（2022九上·淮北月考）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點的坐標分別為，，．

⑴作出與關于軸對稱的；

⑵以原點為位似中心，在第三象限內作一個，使它與的相似比為．

【答案】解：⑴如圖即為所作；

⑵如圖即為所作．

【知識點】作圖﹣軸對稱；作圖﹣位似變換

【解析】【分析】（1）根據軸對稱的性質分別確定點A、B、C關于y軸對稱的對應點A1、B1、C1，然后順次連接即可；

（2）根據位似變換的性質先計算出A2、B2、C2的坐標，然后描點、連線即可.

18．（2023九上·杭州期末）如圖，△ABC的頂點均為網格中的格點.

（1）選擇合適的格點（包括邊界）為點D和點E，請畫出一個△ADE，使△ADE∽△ABC（相似比不為1）.

（2）證明：△ADE∽△ABC.

【答案】（1）解：如圖，△ADE就是所求的三角形，答案不唯一，

（2）證明：∵AD=2AB，AE=2AC，

∴，

又∵∠BAC=∠DAE，

∴△△ADE∽△ABC.

【知識點】相似三角形的判定；作圖﹣相似變換

【解析】【分析】（1）延長AB至點D使AD=2AB，延長AC至點E，使AE=2AC，再連接ED，△ADE就是所求的三角形；

（2）由作圖過程易得，∠BAC=∠DAE，根據兩組邊成比例，且夾角相等的兩個三角形相似得△ADE∽△ABC.

四、解答題（共7題，共50分）

19．（2022九上·舟山期中）已知，求：

（1）

（2）

【答案】（1）解：

（2）解：

【知識點】比例的性質

【解析】【分析】（1）將原式轉化為，代入計算求出結果.

（2）先將原式轉化為，代入計算求出結果.

20．（2023九上·金臺期末）公園中的兒童游樂場是兩個相似三角形地塊，相似比為，面積的差為，它們的面積之和為多少？

【答案】解：∵兩三角形的相似比為，

∴它們的面積比為，

設較小三角形的面積為，則較大三角形的面積為，

則，

解得，

∴面積和為，

答：它們的面積和為.

【知識點】一元一次方程的其他應用；相似三角形的性質

【解析】【分析】根據相似三角形的相似比可得面積比為4：9，設較小三角形的面積為4k，則較大三角形的面積為9k，結合面積的差為30可求出k的值，進而可得面積之和.

21．（2023九上·漣水月考）已知△ABC∽△DEF，且DE＝2cm，AB＝4cm，BC＝5cm，CA＝6cm，求△DEF的周長