第二篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題4不等式微點(diǎn)1均值不等式

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第二篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題4不等式微點(diǎn)1均值不等式第二篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題4

不等式微點(diǎn)1

均值不等式【微點(diǎn)綜述】在數(shù)學(xué)研究中，有許多形式優(yōu)美而且具有重要應(yīng)用價(jià)值的不等式，一般稱其為重要不等式．本文著重探討均值不等式基本形式、變形及其應(yīng)用．【典例刨析】一、高等數(shù)學(xué)知識(shí)：1．從二元、三元到元均值不等式，，．以上不等式等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)各字母相等時(shí)取等號(hào)．2．二元和三元的幾個(gè)變形用好不等式，等不等式．以上不等式等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)各字母相等時(shí)取等號(hào)．3．幾種平均數(shù)的比較（均值不等式鏈），記，分別稱為這個(gè)正數(shù)調(diào)和平均、幾何平均、代數(shù)平均、平方平均，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．即個(gè)正數(shù)調(diào)和平均不超過(guò)它們的幾何平均，不超過(guò)它們的代數(shù)平均，不超過(guò)它們的平方平均．證明：首先證明，即要證．不妨設(shè)，于是，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立．因?yàn)?，即．?）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．顯然當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)n＝2時(shí)，也成立．假設(shè)當(dāng)且時(shí)成立，那么對(duì)，，…，和這k個(gè)數(shù)有，從而有，兩邊同乘以，得．由（*）式得，即得．所以對(duì)n＝k＋1也成立，得證．在中，將，，．．．，分別換成，，…，得不等式，即．【反思】均值不等式常常用來(lái)證明一些其他的不等式、求解函數(shù)的極值和確定函數(shù)的值域等，特別是當(dāng)n＝2時(shí)的不等式，更是隨處可見(jiàn)．4．不等式的對(duì)稱性設(shè)是一個(gè)元函數(shù)．若將中任意的兩個(gè)變?cè)ハ嘟粨Q位置，得到的與原式是恒等的，則稱是完全對(duì)稱的，如，等．設(shè)是一個(gè)元函數(shù)．若作置換，得到的與原式是恒等的，則稱是輪換對(duì)稱的，如，等．顯然，完全對(duì)稱的一定是輪換對(duì)稱的．二、應(yīng)用（一）應(yīng)用均值不等式求函數(shù)的最值（值域）1．求函數(shù)的值域．【答案】【分析】利用基本不等式計(jì)算即可得到答案.【詳解】由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以函數(shù)的值域?yàn)椋?．某加工廠有一塊三角形的鐵板余料（如圖），經(jīng)測(cè)量得知：，，．工人師傅計(jì)劃用它加工成一個(gè)無(wú)蓋直三棱柱型水箱，設(shè)計(jì)方案為：將圖中的陰影部分（含的3個(gè)角）切去，再把它沿虛線折起，請(qǐng)計(jì)算當(dāng)容器的高為多少時(shí)，容器的容積最大？最大容積是多少？【答案】當(dāng)容器的高為時(shí)，容器的容積最大，最大容積是【分析】設(shè)容器的高為x，由題意可得，，，，于是可求得，從而可得容器的容積V的表達(dá)式，通過(guò)湊“定值”，利用均值不等式求最值即可．【詳解】設(shè)容器的高為x，由，，，得．從而，，，，于是，，．又由，可得．設(shè)容器的容積為V，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，．【反思】建立目標(biāo)函數(shù)、湊“定值”是利用均值不等式求最值的關(guān)鍵．本題也可利用求導(dǎo)進(jìn)行處理．，令，由，得．當(dāng)時(shí)，．3．已知x＞0，y＞0，且+=1，求x+y的最小值.【答案】16【分析】利用“”的代換的方法化簡(jiǎn)，再結(jié)合基本不等式求得的最小值.【詳解】∵+=1，∴x+y=(x+y)·(+)=10+.

∵x＞0，y＞0，∴≥2=6.當(dāng)且僅當(dāng)，即y=3x時(shí)，取等號(hào).又+=1，∴x=4，y=12.∴當(dāng)x=4，y=12時(shí)，x+y取得最小值16.（二）應(yīng)用均值不等式研究函數(shù)的單調(diào)性4．證明：數(shù)列為嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)遞增數(shù)列的定義，取，，利用均值不等式證明即可.【詳解】證明：取，，則由均值不等式可得，即得，所以數(shù)列為嚴(yán)格單調(diào)遞增數(shù)列．（三）應(yīng)用均值不等式證明不等式5．已知a，b，c為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc.【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)已知對(duì)不等式左邊的式子進(jìn)行變形，結(jié)合基本不等式進(jìn)行證明即可.【詳解】證明：(1－a)(1－b)(1－c)＝(b＋c)(a＋c)(a＋b)，(b＋c)(a＋c)(a＋b)≥2·2·2＝8abc.當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝a＝時(shí)，等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了推理論證能力.6．設(shè)正實(shí)數(shù)a、b、c滿足：，求證：對(duì)于整數(shù)，有．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】本不等式是對(duì)稱不等式，顯然當(dāng)時(shí)取等號(hào)．從不等式局部入手，當(dāng)時(shí)，，用元均值不等式即可求解．【詳解】因?yàn)椋?同理可得.三式相加可得：【點(diǎn)睛】對(duì)于對(duì)稱型不等式,有時(shí)從整體考慮較難入手,故比較管用的手法是從局部入手,從局部導(dǎo)出一些性質(zhì)為整體服務(wù),這里的局部可以是某一單項(xiàng)也可以是其中的若干項(xiàng).【反思】對(duì)于對(duì)稱型不等式，有時(shí)從整體考慮較難入手，故比較管用的手法是從局部入手，從局部導(dǎo)出一些性質(zhì)為整體服務(wù)，這里的局部可以是某一單項(xiàng)也可以是其中的若干項(xiàng)．7．已知，，求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)式子特征，將化成，同理變形其它，即可將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明成立，利用均值不等式即可容易證出.【詳解】因?yàn)?，所以原不等式可等價(jià)于而，即成立，∴．【反思】如果沒(méi)有明顯的解題思路時(shí)，分析法是不等式的一種證明方法．8．設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，正實(shí)數(shù)滿足，求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】如果從不等式局部入手，相乘，得，而，不等式方向不能傳遞，因此考慮多項(xiàng)式展開(kāi)，再作打算．【詳解】證明：，，，，，故.【反思】注意均值不等式是“和大于等于積”，依此確定配湊方法．9．設(shè)是正實(shí)數(shù)，求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】將原不等式兩邊平方轉(zhuǎn)化為，結(jié)合換元法與均值不等式即可證明結(jié)論.【詳解】?jī)蛇吰椒?，并將所要證明的不等式改寫(xiě)為：記于是有，且由均值不等式得：【反思】本題用了數(shù)列中的裂項(xiàng)相消法，配出和為定值是關(guān)鍵．10．求最小的實(shí)數(shù)m，使得對(duì)于滿足的任意正實(shí)數(shù)a，b，c，都有．【答案】27【分析】方法一：先利用均值不等式證明得，從而得到的最大值，進(jìn)而利用恒成立問(wèn)題的解法即可得解，解析過(guò)程要注意等號(hào)成立的條件.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，所以下面只需證明不等式對(duì)于滿足a+b+c=1的任意正實(shí)數(shù)a，b，c都成立．[方法一]：因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；同理，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即；因?yàn)?，，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即；又因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，因?yàn)?，則，所以，即的最大值為，而恒成立，即恒成立，所以，即m的最小值為27.[方法二]：，，則，①由冪平均不等式，得，②①②相加得證，∴m的最小值為27．[方法三]：∵對(duì)于，構(gòu)造函數(shù)，，由題意在處取得極小值，∴解得：，故，，故，．∴，把上面三個(gè)不等式相加，得，∴m的最小值為27．【針對(duì)訓(xùn)練】11．當(dāng)時(shí)，求的最大值．【答案】【分析】利用湊項(xiàng)法使得兩式和為定值，再利用基本不等式即可得解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為．12．求出最大的正實(shí)數(shù)，使得對(duì)于滿足的任何實(shí)數(shù)成立不等式：．【答案】2【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，把變?yōu)?，利用基本不等式，根?jù)取等號(hào)的條件求出的值.【詳解】要求的最大值成立，根據(jù)式子結(jié)構(gòu)，構(gòu)造出．所以，（當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上述兩個(gè)等號(hào)可同取到）.令，且為正實(shí)數(shù)，解得：．13．是直角三角形的三邊，為斜邊，求使恒成立的的最大值．【答案】【分析】解法一：令，則，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性及取值情況，即可求得的最大值．解法二：令根據(jù)利用基本不等式求得最值即可.【詳解】解法一：令，則再令，則，，∴在上是減函數(shù)，故當(dāng)即時(shí)，，從而．解法二：猜測(cè)時(shí)，．，∵，又，，，所以，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，從而．14．設(shè)，且，求證：【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)均值不等式結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系求證即可.【詳解】令，則，且則，同理所以又，所以.15．，，求證：【答案】證明見(jiàn)解析【分析】先利用均值不等式及不等式的性質(zhì)證明，再結(jié)合分析法及均值不等式、函數(shù)的最值證明，得證.【詳解】因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；欲證明，只需證明，①設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；從而①等價(jià)于，即成立，因?yàn)椋?，所以成立，所以成立，綜上，.16．為互不相等的正數(shù)，求證：【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)時(shí)，可得，從而結(jié)合均值不等式類推得證.【詳解】當(dāng)時(shí)，所以所以.17．已知，，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【分析】由得，結(jié)合已知得①，又得②，結(jié)合①②即可得證.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)，故由得，①，又當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，②，結(jié)合①②兩式得，即．18．正數(shù)滿足，證明：【答案】證明見(jiàn)解析【分析】由已知可得，從而，結(jié)合基本不等式即可證得結(jié)論.【詳解】∵，∴，∴．19．為正數(shù)，證明：【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用分析法，結(jié)合基本不等式證明即可.【詳解】，原不等式等價(jià)于，展開(kāi)即需證明．令，則只需證明，即證，而，三式相加可得，所以原不等式得證．20．實(shí)數(shù)滿足，證明：．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】利用均值不等式證明【詳解】．21．對(duì)正數(shù)，證明【答案】證明見(jiàn)解析【分析】不妨設(shè)，由原不等式逐步尋找使不等式成立的等價(jià)條件，利用分析法證明.【詳解】不妨設(shè)，原不等式，這是顯然成立的，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)．所以原不等式成立．22．已知：，，求證：【答案】證明見(jiàn)解析【分析】注意到當(dāng)時(shí)，有，于是有，利用作差法可證得，同理有，兩式相加即可證得結(jié)論．【詳解】從不等式局部入手，注意到當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)椋谑怯?，而，故，同理有，兩式相加得，故原不等式得證．23．，，求證：【答案】證明見(jiàn)解析【分析】從不等式局部入手，由，證得，同理，兩式相乘即可證得結(jié)論．【詳解】，即同理，，兩式相乘得，原不