第14章整式的乘法與因式分解單元綜合(練習(xí))（含答案）

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第14章整式的乘法與因式分解單元綜合(練習(xí))

一、單選題

1．下列運(yùn)算正確的是（）

A．a(chǎn)3+a4＝a7B．a(chǎn)3a4＝a12

C．（a3）4＝a7D．（﹣2a3）4＝16a12

2．下列多項(xiàng)式相乘，能用平方差公式計(jì)算的是（）

A．B．

C．D．

3．下列分解因式正確的是（）

A．B．

C．D．

4．分解因式的結(jié)果是（）

A．B．C．D．

5．聰聰計(jì)算一道整式乘法的題：，由于聰聰將第一個(gè)多項(xiàng)式中的“”抄成“”，得到的結(jié)果為．這道題的正確結(jié)果是（）

A．B．

C．D．

6．已知，則的值（）

A．10B．6C．5D．3

7．若（且），則，已知，，，那么，，三者之間的關(guān)系正確的有（）

①；②；③；④．

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

8．比較與的大?。阂?yàn)?，，而，所以，即．?jù)此可知、、的大小關(guān)系是（）

A．B．C．D．

9．計(jì)算：的結(jié)果是（）

A．B．C．D．

10．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用“三角形”解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個(gè)“三角形”給出了的展開式的系數(shù)規(guī)律（按的次數(shù)由大到小的順序）

11

121

1331

14641

……

請(qǐng)依據(jù)上述規(guī)律，寫出展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是（）

A．-2023B．2023C．4042D．-4042

二、填空題

11．已知，則．

12．若是一個(gè)完全平方式，則．

13．計(jì)算：．

14．將下列各式因式分解：

（1）；（2）；

（3）；（4）；

（5）；（6）．

15．右圖中四邊形均為長方形，根據(jù)圖形，寫出一個(gè)正確的等式：．

16．?dāng)?shù)學(xué)講究記憶方法．如計(jì)算時(shí)若忘記了法則，可以借助，得到正確答案．你計(jì)算的結(jié)果是．

17．如圖，將兩個(gè)邊長分別為a和b的正方形拼在一起，B，C，G三點(diǎn)在同一直線上，連接BD和BF，若這兩個(gè)正方形的邊長滿足a+b=10，ab=20，則陰影部分的面積為．

18．已知代數(shù)式可以利用完全平方公式變形為，進(jìn)而可知的最小值是．依此方法，代數(shù)式的最小值是．

三、解答題

19．計(jì)算

(1)﹣12023﹣（π﹣3）0

(2)a5a4+（﹣2a3）3

(3)2x（x﹣3y）2

(4)（x﹣y﹣3）（x+y﹣3）

20．計(jì)算：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)(2x＋y-2)(2x＋y＋2)

21．因式分解：

（1）2a2b﹣8ab2+8b3．

（2）a2（m﹣n）+9（n﹣m）．

（3）81x4﹣16．

（4）（m2+5）2﹣12（m2+5）+36．

22．因式分解

（1）

（2）

23．先化簡，再求值：，其中x＝－1，y＝1．

24．亮亮計(jì)算一道整式乘法的題（3x﹣m）（2x﹣5），由于亮亮在解題過程中，抄錯(cuò)了第一個(gè)多項(xiàng)式中m前面的符號(hào)，把“﹣”寫成了“＋”，得到的結(jié)果為6x2﹣5x﹣25．

（1）求m的值；

（2）計(jì)算這道整式乘法的正確結(jié)果．

25．計(jì)算如圖所示的十字形草坪的面積時(shí)，小明和小麗都運(yùn)用了割補(bǔ)的方法，但小明是“做加法”，小麗是“做減法”．

（1）用含有a、b的代數(shù)式表示：小明的列式是；小麗的列式是；

（2）若a＝63.5m，b＝18.25m，求這塊草坪的面積．

26．閱讀下列材料，解答問題：

在的積中，項(xiàng)的系數(shù)為，的系數(shù)為，求a，b的值．

解：

①

②

根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等有，解得，③

（1）上述解答過程是否正確？

（2）若不正確，從第幾步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤其它步驟是否還有錯(cuò)誤

（3）請(qǐng)你寫出正確的解答過程．

27．下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過程．

解：設(shè)m2-4m=n，

原式=n（n+8）+16（第一步）

=n2+8n+16（第二步）

=（n+4）2（第三步）

=（m2-4m+4）2（第四步）

（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解______．

A．提取公因式

B．平方差公式

C．完全平方公式

（2）該同學(xué)是否完成了將該多項(xiàng)式因式分解？______（填“是”或“否”）．若沒有完成，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果．

（3）請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．

28．觀察：已知．

…

（1）猜想：；

（2）應(yīng)用：根據(jù)你的猜想請(qǐng)你計(jì)算下列式子的值：

①；

②；

（3）拓廣：①；

②判斷的值的個(gè)位數(shù)是幾？并說明你的理由．

29．用幾個(gè)小的長方形、正方形拼成一個(gè)大的正方形，然后利用兩種不同的方法計(jì)算這個(gè)大的正方形的面積，可以得到一個(gè)等式，利用這些等式也可以求一些不規(guī)則圖形的面積．

(1)由圖1可得等式：_________．

(2)如圖2，由幾個(gè)面積不等的小正方形和幾個(gè)小長方形拼成一個(gè)邊長為（a+b+c）的正方形，從中你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？該結(jié)論用等式表示為___________．

(3)利用（2）中的結(jié)論解決以下問題：已知a+b+c=5，ab+bc+ac=2，求a2+b2+c2的值；

(4)如圖3，由兩個(gè)邊長分別為m，n的正方形拼在一起，點(diǎn)B，C，E在同一直線上，連接BD、BF，若m+n=12，mn=24，則圖3中陰影部分的面積為．

30．（畫圖痕跡用黑色簽字筆加粗加黑）

如圖，正方形紙片A類，B類和長方形紙片C類若干張，

（1）①請(qǐng)你選取適當(dāng)數(shù)量的三種紙片，拼成一個(gè)長為、寬為的長方形，畫出拼好后的圖形．

②觀察拼圖共用__________張A類紙片，__________張B類紙片，__________張C類紙片，通過面積計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)=__________．

（2）①請(qǐng)你用這三類卡片拼出面積為的長方形，畫出拼好后的圖形．

②觀察拼圖共用__________張A類紙片，__________張B類紙片，__________張C類紙片，通過面積計(jì)算可以發(fā)現(xiàn)__________．

③利用拼圖，把下列多項(xiàng)式因式分解

=__________；__________．

參考答案：

1．D

【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，積的乘方的法則計(jì)算即可．

【詳解】解：A、a3與a4不是同類項(xiàng)不能合并，故錯(cuò)誤，不符合題意；

B、a3a4=a7，故錯(cuò)誤，不符合題意；

C、（a3）4=a12，故錯(cuò)誤，不符合題意；

D、（-2a3）4=16a12，故正確，符合題意；

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)，冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，熟記法則是解題的關(guān)鍵．

2．C

【分析】根據(jù)平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和乘兩個(gè)數(shù)的差，等于兩個(gè)數(shù)的平方差，字母表示為：（a＋b）（ab）＝，找出整式中的a和b，進(jìn)行判定即可．

【詳解】解：A、（x＋2）（x＋2）＝，不符合平方差公式的特點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

B、（x＋y）（xy）＝，不符合平方差公式的特點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

C、（2xy）（2x＋y）＝，符合平方差公式的特點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；

D、（xy）（x＋y）＝不符合平方差公式的特點(diǎn)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

故選：C．

【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式，注意抓住整式的特點(diǎn)，靈活變形是解題關(guān)鍵．

3．D

【分析】本題考查的是提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，根據(jù)分解因式的定義，以及完全平方公式即可作出解答．

【詳解】A．m2+n2，不能因式分解；

B．16m24n2=4(4m2n)(4m+2n)，原因式分解錯(cuò)誤；

C．a(chǎn)33a2+a=a（a23a+1），原因式分解錯(cuò)誤；

D．4a24ab+b2=(2ab)2，原因式分解正確．

故選：D．

【點(diǎn)睛】此題考查了運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，熟練掌握公式法因式分解是解本題的關(guān)鍵．

4．C

【分析】直接提公因式分解因式即可．

【詳解】解：

故選C．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確提取公因式是解題關(guān)鍵．

5．A

【分析】直接利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算法則計(jì)算得出m的值，代入原式求出答案．

【詳解】解：∵，

∴，

∴，

解得：；

把代入原式得：

．

故選：A．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．

6．C

【分析】根據(jù)完全平方公式得到a2-2ab+b2=6①，a2+2ab+b2=4②，然后把兩個(gè)等式相加即可得出結(jié)論．

【詳解】解：∵(a-b)2=6，

∴a2-2ab+b2=6①

∵(a+b)2=4，

∴a2+2ab+b2=4②

①＋②得，2a2+2b2=10，

∴a2+b2=5

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，熟知(a±b)2=a2±2ab+b2是解題的關(guān)鍵．

7．C

【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法公式即可求出m、n、p的關(guān)系．

【詳解】解：∵4n=12=4×3=4×4m=41+m，

∴n=1+m，即n-m=1，故②錯(cuò)誤；

∵4p=48=12×4=4n×4=41+n，

∴p=1+n，即p=n-m+n=2n-m，

∴m+p=2n，故①正確；

∵4p=48=3×16=4m×42=42+m，

∴p=2+m，

∴m+n=p-2+p-1=2p-3，故③錯(cuò)誤；

，故④正確；

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法公式，本題屬于中等題型．

8．D

【分析】利用冪的乘法把、、化為指數(shù)都為11的冪，然后比較底數(shù)的大小即可．

【詳解】解：因?yàn)?55＝（35）11＝24311，444＝（44）11＝25611，533＝（53）11＝12511，

而125＜243＜256，

所以12511＜24311＜25611，即533＜355＜444．

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方與積的乘方：冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即（am）n＝amn（m，n是正整數(shù)）；積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，即（ab）n＝anbn（n是正整數(shù)）．

9．B

【分析】先根據(jù)平方差公式把每個(gè)括號(hào)內(nèi)的式子分解因式，進(jìn)一步計(jì)算乘法即得答案．

【詳解】解：原式=

=

=

=．

故選：B．

【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的因式分解和有理數(shù)的簡便運(yùn)算，屬于?？碱}型，熟練掌握分解因式的方法是解題關(guān)鍵．

10．D

【分析】先觀察規(guī)律，再按照規(guī)律寫出第一項(xiàng)、第二項(xiàng)，其中第二項(xiàng)，寫出系數(shù)即可

【詳解】解：根據(jù)規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)：第一項(xiàng)的系數(shù)為1，第二項(xiàng)的系數(shù)為2023，

∴第一項(xiàng)為：x2023，

第二項(xiàng)為：

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查楊輝三角多項(xiàng)式乘法找規(guī)律的問題，觀察發(fā)現(xiàn)式子中的規(guī)律是關(guān)鍵

11．128

【分析】直接利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則以及冪的乘方運(yùn)算法則分別計(jì)算得出答案．

【詳解】解：∵am=32，an=2，

∴（an）2=4，

∴a2n=4，

則am+2n=am×（a2n）=32×4=128．

故答案為：128．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算以及冪的乘方運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．

12．

【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程的方法求解即可．根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可求得．

【詳解】是一個(gè)完全平方式，

．

解得．

故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．

13．

【分析】直接利用平方差公式計(jì)算即可．

【詳解】解：原式=[（x-（2y-3））][x+（2y-3）]

=x2-（2y-3）2

=x2-4y2+12y-9

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用熟練應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．．

14．

【分析】（1）化再利用十字乘法分解即可；

（2）化再利用十字乘法分解即可；

（3）化再利用十字乘法分解即可；

（4）化再利用十字乘法分解即可；

（5）化再利用十字乘法分解即可；

（6）化再利用十字乘法分解即可；

【詳解】解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）

故答案為：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用十字乘法分解因式，掌握十字乘法分解因式的方法是解題的關(guān)鍵.

15．m（a+b+c）=ma+mb+mc（答案不唯一）．

【分析】從兩方面計(jì)算該圖形的面積即可求出該等式．

【詳解】解：從整體來計(jì)算矩形的面積：m(a+b+c)，

從部分來計(jì)算矩形的面積：ma+mb+mc，

所以m(a+b+c)=ma+mb+mc

故答案為m(a+b+c)=ma+mb+mc．

16．0

【分析】根據(jù)冪的乘方運(yùn)算法則和同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)果．

【詳解】

=

=

=0．

故答案為：0．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了冪的乘方運(yùn)算和同底數(shù)冪的乘法，熟練掌握運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵．

17．20

【分析】根據(jù)陰影部分的面積等于兩個(gè)正方形的面積之和減去空白的面積，列式化簡，再把a(bǔ)+b=10，ab=20代入計(jì)算即可．

【詳解】解：∵大小兩個(gè)正方形邊長分別為a、b，

∴陰影部分的面積S=a2+b2a2（a+b）ba2b2ab；

∵a+b=10，ab=20，

∴Sa2b2ab

（a+b）2ab

10220

=20．

故答案為：20．

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，熟練掌握完全平方公式及正方形和三角形的面積計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

18．

【分析】由題目中提供的方法把前兩項(xiàng)湊成一個(gè)完全平方式即可求得最小值．

【詳解】

所以代數(shù)式的最小值是1；

故答案為：1

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，根據(jù)二次項(xiàng)與一次項(xiàng)湊成完全平方式是本題的關(guān)鍵．

19．(1)-2

(2)﹣7a9

(3)2x3﹣12x2y+18xy2

(4)

【分析】（1）根據(jù)乘方運(yùn)算法則，零指數(shù)冪計(jì)算即可；

（2）根據(jù)同底數(shù)冪相乘法則，積的乘方法則計(jì)算即可；

（3）先根據(jù)公式計(jì)算完全平方式，再用乘法分配律去括號(hào)即可；

（4）先運(yùn)用平方差公式，再運(yùn)用完全平方公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：原式=-1-1=-2；

（2）解：原式=；

（3）解：原式=；

（4）解：原式=

=

=

【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握整式的運(yùn)算法則，平方差公式，完全平方公式是解題的關(guān)鍵．

20．(1)0

(2)

(3)3

(4)

【分析】(1)根據(jù)同底數(shù)冪的乘法及合并同類項(xiàng)，即可求得；

(2)根據(jù)積的乘方運(yùn)算法則和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則進(jìn)行運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)，即可求得；

(3)根據(jù)乘方運(yùn)算法則，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，進(jìn)行運(yùn)算即可求得；

(4)根據(jù)平方差公式及完全平方公式即可求得．

【詳解】（1）解：原式=-a2a5+aa3a3=-a7+a7=0；

（2）解：原式=-8x3-4x2+8x3=-4x2；

（3）解：原式=1＋3＋1-2=3；

（4）解：原式=(2x+y)24=4x2+4xy+y24．

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，掌握和靈活運(yùn)用各運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．

21．（1）2b(a-2b)2；（2）（m﹣n）（a+3）（a-3）；（3）（3x+2）（3x-2）（9x2+4）；（4）（m+1）2（m-1）2

【分析】（1）先提取2b，再利用完全平方公式分解因式即可；

（2）先提?。╩﹣n），再利用平方差公式分解因式即可；

（3）利用平方差公式分解因式，即可；

（4）先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式即可．

【詳解】解：（1）原式=2b(a2-4ab+4b2)

=2b(a2-4ab+4b2)

=2b(a-2b)2；

（2）原式=a2（m﹣n）-9（m﹣n）

=（m﹣n）（a2-9）

=（m﹣n）（a+3）（a-3）；

（3）原式=（9x2﹣4）（9x2+4）

=（3x+2）（3x-2）（9x2+4）；

（4）原式=[（m2+5）-6]2

=（m2-1）2

=（m+1）2（m-1）2．

【點(diǎn)睛】本題主要考查分解因式，熟練掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解題的關(guān)鍵．

22．（1）；（2）

【分析】（1）根據(jù)公式法因式分解即可；

（2）先用十字相乘法分解因式，再用平方差公式分解因式．

【詳解】（1）；

（2）

．

【點(diǎn)睛】本題考查了十字相乘法和公式法因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．

23．，-9

【分析】首先進(jìn)行整式的乘法和除法，然后進(jìn)行加減運(yùn)算，再代入數(shù)值求出結(jié)果．

【詳解】解：原式，

當(dāng)x＝－1，y＝1時(shí)，原式＝－9．

【點(diǎn)睛】本題考查整式的化簡求值，首先進(jìn)行整式的混合運(yùn)算，再把數(shù)值代入化簡后的式子求值，運(yùn)算中注意乘法公式的應(yīng)用．

24．（1）5；（2）6x2-25x+25

【分析】（1）根據(jù)題意可得（3x+m）（2x-5），應(yīng)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，可得6x2-（15-2m）x-5m，由已知常數(shù)項(xiàng)相等可得-5m=-25，計(jì)算即可得出答案；

（2）由（1）可知m的值，代入應(yīng)用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．

【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得，

（3x+m）（2x-5）

=6x2-15x+2mx-5m

=6x2-（15-2m）x-5m，

即-5m=-25，

解得m=5；

（2）（3x-5）（2x-5）

=6x2-15x-10x+25

=6x2-25x+25．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．

25．（1）a（a﹣2b）+2b（a﹣2b），a2﹣4b2；（2）2700

【分析】（1）直接根據(jù)圖形列式即可；

（2）先將a（a﹣2b）+2b（a﹣2b）因式分解，再把已知數(shù)據(jù)代入進(jìn)而得出答案．

【詳解】解：（1）由圖可知：小明的列式是a（a﹣2b）+2b（a﹣2b），小麗的列式是a2﹣4b2，

故答案為：a（a﹣2b）+2b（a﹣2b），a2﹣4b2；

（2）當(dāng)a＝63.5，b＝18.25時(shí)，

a（a﹣2b）+2b（a﹣2b）＝（a﹣2b）（a+2b），

＝（63.5﹣2×18.25）×（63.5＋2×18.25）

＝（63.5﹣36.5）×（63.5+36.5）

＝27×100

＝2700．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正確分解因式是解題關(guān)鍵．

26．（1）不正確；（2）①，第②③步還有錯(cuò)誤；（3）見解析

【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則判斷，并寫出正確過程．

【詳解】解：（1）不正確；

（2）

，

第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤，導(dǎo)致第②③步還有錯(cuò)誤；

（3）的展開式中

含的項(xiàng)有：，

含的項(xiàng)有：．

又項(xiàng)的系數(shù)為，項(xiàng)的系數(shù)為，

有，

解得．

【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，此類問題，應(yīng)先利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行正確計(jì)算，再求值．

27．（1）C；（2）否，；（3）

【分析】（1）從第三步的結(jié)果得出結(jié)論；

（2）觀察最后結(jié)果中的x2-4x+4是否還能因式分解，得出結(jié)論；

（3）設(shè)，然后因式分解，化簡后再代入，再因式分解．

【詳解】解：（1）由n2+8n+16=（n+4）2得出運(yùn)用了兩數(shù)和的完全平方公式，

故選C．

（2）該同學(xué)沒有完成因