《非線性系統(tǒng)分析與控制》資料教材課件

《非線性系統(tǒng)分析與控制》

研究生課程：32學時

授課教師：王印松

《非線性系統(tǒng)分析與控制》

研究生課程：32學時

授課教師：1主要教學內(nèi)容第一部分：非線性系統(tǒng)的主要特征；第二部分：李雅普諾夫分析方法；第三部分：現(xiàn)代穩(wěn)定理論第四部分：非線性系統(tǒng)的反饋線性化第五部分：非線性系統(tǒng)的自適應控制主要參考書：1、馮純伯等《非線性控制系統(tǒng)分析與設計》2、曹建福等《非線性系統(tǒng)理論及應用》3、斯洛廷，李衛(wèi)平譯《應用非線性控制》主要教學內(nèi)容第一部分：非線性系統(tǒng)的主要特征；2第一章緒論線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的主要區(qū)別：1.線性系統(tǒng)滿足疊加原理，非線性系統(tǒng)不滿足；2.一般來說對于非線性系統(tǒng)不能求得完整的解，只能定性分析；研究非線性控制的理由：

1.改進現(xiàn)有的控制系統(tǒng)；2.硬非線性特性分析；

3.對模型不確定處理；4.設計簡化?！?.1控制理論發(fā)展概述

一、古典控制理論1.數(shù)學模型理論；2.響應分析；3.穩(wěn)定性分析；4.綜合校正。第一章緒論線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的主要區(qū)別：§1.1控3特點：獨特的建模方法

若有一自變量為時間的函數(shù)，使得積分是絕對收斂的；在初始條件為零的條件下，根據(jù)拉氏變換定義可得到

這樣，可把由常系數(shù)線性常微分方程描述的線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)描述。特點：獨特的建模方法4古典控制理論有如下基本特點和實用范圍：

1.它所運用的數(shù)學工具較為簡單，主要是拉氏變換和多項式代數(shù)；2.傳遞函數(shù)所能描述的，只能是線性定常的控制系統(tǒng)；3.這種理論與方法主要適用于研究單控制量單輸出量的系統(tǒng)；4.它難以揭示系統(tǒng)內(nèi)部的動態(tài)行為。

古典控制理論有如下基本特點和實用范圍：5二、現(xiàn)代控制理論（線性多變量系統(tǒng)控制理論）

背景：對控制品質(zhì)要求的提高和計算機技術(shù)的發(fā)展；

理論基礎：1960年R.Bellman的《矩陣分析引論》一書和1963年R.E.Kalman的《線性動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學描述》一文；

最主要的特征：狀態(tài)空間的建模理論與線性代數(shù)的數(shù)學方法相結(jié)合。二、現(xiàn)代控制理論（線性多變量系統(tǒng)控制理論）6狀態(tài)空間建模理論與方法：將能夠唯一地確定系統(tǒng)動力學行為的最小的一組變量定義為系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量集合或狀態(tài)向量

以每一個狀態(tài)變量為軸所形成的維歐氏空間定義為狀態(tài)空間?，F(xiàn)代控制理論的建模方法要求用個一階常微分方程所組成的方程組去描述一個階的線性動態(tài)系統(tǒng)。其數(shù)學模型的標準形式為：

上式稱為：線性動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。

狀態(tài)空間建模理論與方法：將能夠唯一地確定系統(tǒng)動力學行為的最7所有線性動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學模型都可歸結(jié)為上式所示的矩陣形式的狀態(tài)方程；矩陣代數(shù)（線性代數(shù)）中的幾乎所有方法都可以用來對線性動態(tài)系統(tǒng)的各個問題，如可控性問題、動態(tài)品質(zhì)問題、穩(wěn)定性問題、參數(shù)辨識問題以及綜合校正（即控制系統(tǒng)的設計問題）等問題進行分析和研究。線性最優(yōu)控制（最有影響的分支之一）所有線性動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學模型都可歸結(jié)為上式所示的矩陣形式的狀態(tài)8對于一個給定的線性系統(tǒng)，提出一個性能指標，其一般表達式為問題是：要找出狀態(tài)反饋規(guī)律，使得上式給出的性能指標達到極值，這種控制稱為最優(yōu)控制。從數(shù)學上來看，就是在狀態(tài)方程約束條件下求泛函的條件極值問題，這是一個典型的條件變分法問題。條件變分問題中的歐拉-拉格朗日（Euler-Lagrange）方程是解決線性二次型最優(yōu)控制問題的基礎。

對于一個給定的線性系統(tǒng)，提出一個性能指標，其一般表達式為9結(jié)論為：線性二次型最優(yōu)控制規(guī)律是狀態(tài)變量的線性函數(shù)，即

為最優(yōu)增益矩陣，其表達式為對線性定常系統(tǒng)，為常數(shù)矩陣；上式中為黎卡梯（Riccati）矩陣方程的解。因此，二次型性能指標的線性最優(yōu)控制問題稱為LQR問題，即線性·二次型·黎卡梯問題。

結(jié)論為：線性二次型最優(yōu)控制規(guī)律是狀態(tài)變量的線性函10線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖11特點：1、以一階線性自變量對時間的微分方程組來對系統(tǒng)進行描述的，其數(shù)學模型與分析方法是時域的；2、所用到的數(shù)學工具主要是線性常微分方程理論與線性代數(shù)理論；3、它的建模理論與數(shù)學方法使得這種控制理論體系適應于線性多輸入多輸出系統(tǒng)；4、它建立了一整套最優(yōu)控制設計原理與方法，使得所求得的控制規(guī)律能保證系統(tǒng)性能指標達到極值；5、對于參數(shù)可能在較大范圍內(nèi)變化的線性系統(tǒng)，最優(yōu)控制設計方法與線性系統(tǒng)參數(shù)辨識技術(shù)相結(jié)合，可得到自適應的或稱之為自動尋找最優(yōu)點的控制系統(tǒng)。特點：1、以一階線性自變量對時間的微分方程組來對系統(tǒng)進行描述12三、非線性控制理論有一部分系統(tǒng)可以在基本滿足工程需要的條件下將其在某一平衡點處加以近似線性化；也有一些系統(tǒng)，在分析它的大干擾穩(wěn)定性與動態(tài)品質(zhì)時，就不宜把它近似地作為線性系統(tǒng)處理；現(xiàn)代非線性科學所揭示的大量有意義的事實，例如分叉、混沌、奇異吸引子等，均遠遠超過人們熟知的非線性系統(tǒng)的自振現(xiàn)象，無法用線性系統(tǒng)理論來解釋。非線性控制系統(tǒng)的研究幾乎是與線性系統(tǒng)平行的，并已經(jīng)提出了許多具體方法，如相平面法、描述函數(shù)法、絕對穩(wěn)定性理論、Lyapunov穩(wěn)定性理論、輸入輸出穩(wěn)定性理論等。

三、非線性控制理論13非線性控制的最新研究成果主要表現(xiàn)在以下幾個方面：1、微分幾何法

；

2、微分代數(shù)方法；3、變結(jié)構(gòu)控制理論；

4、非線性控制系統(tǒng)的鎮(zhèn)定設計；5、逆系統(tǒng)方法；6、神經(jīng)網(wǎng)絡方法；7、非線性頻域控制理論；8、混沌動力學方法。非線性控制的最新研究成果主要表現(xiàn)在以下幾個方面：14§1.2非線性系統(tǒng)的數(shù)學描述及其

近似線性化建模方法的局限性1、相當廣泛的一類非線性系統(tǒng)可用階常微分來描述：

可寫成向量微分方程的形式：上述微分方程代表最一般化的非線性控制系統(tǒng)的方程。如果函數(shù)與無關(guān)，則稱此系統(tǒng)為自治的，否則稱為非自治的。在許多控制系統(tǒng)中輸入量可以從函數(shù)中分列出來，系統(tǒng)方程可寫成以下形式：這類系統(tǒng)為仿射非線性系統(tǒng)?！?.2非線性系統(tǒng)的數(shù)學描述及其

近似線性化建模方法的局限15

2、非線性系統(tǒng)近似線性化建模方法的局限性

近似線性化建模：在某一平衡點處加以近似線性化，從而得到原非線性系統(tǒng)近似線性化的數(shù)學模型---傳遞函數(shù)或線性狀態(tài)方程；要求：當非線性函數(shù)在所研究的區(qū)域內(nèi)沒有間斷點并在所選擇的平衡點附近沒有多值關(guān)系或者急劇的曲折時，允許進行近似線性化。實質(zhì)：就是在某一選定的系統(tǒng)平衡點處以非線性函數(shù)的全微分代替其增量。工程設計中廣泛采用的原因有：1、非線性控制系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近工作，近似線性化所得到的模型可以滿足需要；2、利用線性控制理論成熟地綜合校正與設計方法；3、線性系統(tǒng)的反饋是狀態(tài)變量或輸出量的線性函數(shù)，其控制規(guī)律易于實現(xiàn)。

2、非線性系統(tǒng)近似線性化建模方法的局限性近似線性化建模：16近似線性化局限性的例題分析例1.關(guān)于穩(wěn)定的平衡點，近似線性化系統(tǒng)及其解可描述為：原系統(tǒng)的解：結(jié)論分析：系統(tǒng)收斂于由線性模型確定的穩(wěn)定的平衡點；系統(tǒng)快速地發(fā)散（有限時間逃逸問題）。近似線性化局限性的例題分析17初值條件：由右到左依次為1.2,1.5,1.8,2.5t/s初值條件：由右到左依次為1.2,1.5,1.8,2.5t/s18例2.

線性化可以改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，有可能變成不可控系統(tǒng)。某一機器人運動系統(tǒng)；在點線性化后有：顯然，對狀態(tài)變量是不可控的。例2.線性化可以改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，有可能變成不可控系統(tǒng)。19§1.3非線性系統(tǒng)的主要特征1.多平衡點

非線性狀態(tài)反饋系統(tǒng)數(shù)學模型的一般形式為：令，該方程的一個解，就確定了非線性系統(tǒng)的一個平衡狀態(tài)，即平衡點（速度為零的點）。非線性系統(tǒng)一般有多個平衡點?；\統(tǒng)的談其穩(wěn)定性是沒有任何意義的，只能討論在某個具體平衡點的穩(wěn)定性。判斷非線性系統(tǒng)在某平衡點處是否穩(wěn)定的方法有：1）根據(jù)線性系統(tǒng)理論，用其在該點近似線性化的線性系統(tǒng)，分析該平衡點的穩(wěn)定性；

2）Lyapunov第二方法。

§1.3非線性系統(tǒng)的主要特征1.多平衡點202.極限環(huán)

非線性系統(tǒng)能夠在沒有外激勵時產(chǎn)生固定幅值和固定周期的振蕩，這種振蕩叫極限環(huán)或自激振蕩。例：描述范德堡方程的二階微分方程（質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)）為：（、和為正常數(shù)，分析該系統(tǒng)的特點）非線性系統(tǒng)的極限環(huán)不同于線性系統(tǒng)的臨界穩(wěn)定或持續(xù)振蕩。極限環(huán)代表了非線性系統(tǒng)的一種重要現(xiàn)象，分有害和有益兩種情況，應分別對待。2.極限環(huán)21

－＋scope

－

－質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)Simulink結(jié)構(gòu)圖－＋scope－－質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)Simu223.分叉當非線性系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生變化時，其平衡點的穩(wěn)定性也可能變化。這些使系統(tǒng)運動品質(zhì)特性發(fā)生變化的參數(shù)值，稱為臨界值或分叉值。這種由參數(shù)的量變導致系統(tǒng)特性發(fā)生質(zhì)變的現(xiàn)象，稱為分叉現(xiàn)象?？紤]無阻尼達芬（Duffing）方程：當由正變負時，一個平衡點分裂為三個點（），這表明系統(tǒng)的動態(tài)特性的質(zhì)變，為一臨界分叉值。

3.分叉234.混沌1）混沌的解釋：由確定性方程（內(nèi)因）直接得到的具有隨機性的運動狀態(tài)?；蛘哒f，混沌是具有隨機性的非周期性振蕩。2）混沌對初始條件非常敏感，即初始條件的微小差別常常使軌道按指數(shù)形式分開（蝴蝶效應）。3）混沌是一種確定性運動：無周期而有序、已發(fā)現(xiàn)三條通向混沌的道路、Feigenbaum普適常數(shù)、有界性和對初值具有很強的敏感性。4）具有通常確定性運動所沒有的統(tǒng)計和幾何特征：5）局部不穩(wěn)定而整體穩(wěn)定、無限自相似、連續(xù)功率譜、奇怪吸引子分維數(shù)、正的Lyapunov特征指數(shù)、正測度熵等。4.混沌24例：分析下面非線性系統(tǒng)在初值分別為和的特征。例：分析下面非線性系統(tǒng)25電力系統(tǒng)是一個巨維數(shù)的強非線性系統(tǒng)，電力電子技術(shù)在電力系統(tǒng)中的廣泛應用進一步增加了系統(tǒng)的復雜程度；現(xiàn)代互連電網(wǎng)可以用重壓、高度非線性、不連續(xù)來描述，因而難以在數(shù)學甚至概念上建模。這使得輸配電網(wǎng)絡的安全性、動態(tài)性能、傳輸控制的研究必須在非線性的基礎上展開?！?.4非線性控制理論在電力系統(tǒng)中的應用現(xiàn)狀

電力系統(tǒng)是一個巨維數(shù)的強非線性系統(tǒng)，電力電子技術(shù)在電力系統(tǒng)中26一.電力系統(tǒng)的模型電力系統(tǒng)的模型大致可以分為五個部分：發(fā)電機，勵磁控制系統(tǒng)，原動機及調(diào)速系統(tǒng)，負荷和電網(wǎng)。1.發(fā)電機的模型一.電力系統(tǒng)的模型電力系統(tǒng)的模型大致可以分為五個部分：發(fā)電機272.勵磁系統(tǒng)

勵磁的動態(tài)特性可用一階慣性環(huán)節(jié)來描述。3.原動機及其調(diào)速系統(tǒng)

汽門控制的高壓和中低壓汽門調(diào)節(jié)均可以用二階系統(tǒng)描述。由于汽輪機正常工作時，中低壓汽門不受控，故研究中只考慮高壓汽門。為了研究的方便，還可以采用一階環(huán)節(jié)來近似汽門控制。4.電網(wǎng)

電網(wǎng)一般采用導納矩陣方程式來描述：2.勵磁系統(tǒng)285.負荷多采用等效負荷進行分析。等效負荷的特性包括靜態(tài)特性和動態(tài)特性，其中靜態(tài)特性多采用二階以下的多項式進行近似，而動態(tài)特性則呈現(xiàn)出明顯的非線性特征，目前仍沒有很好的描述方法，往往是根據(jù)研究的內(nèi)容來假定。在考慮負荷和發(fā)電機動態(tài)特性的基礎上，電力系統(tǒng)非線性控制的對象可以表達為仿射非線性模型：若綜合考慮潮流、負荷和發(fā)電機動態(tài)的影響，則可描述為：5.負荷29二.非線性控制理論在電力系統(tǒng)中的應用

1.李雅普諾夫方法

對于一個非線性系統(tǒng)，若存在一個由其狀態(tài)變量和控制量構(gòu)成的正定函數(shù)（能量函數(shù)），通過判斷其導數(shù)的負定性就可以判斷整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。電力系統(tǒng)是一個巨維數(shù)系統(tǒng)，單獨采用李雅普諾夫方法設計全局控制是非常困難的。2.微分幾何方法微分幾何方法通過微分同胚影射實現(xiàn)坐標變換，根據(jù)變換后的系統(tǒng)設計非線性反饋，實現(xiàn)非線性系統(tǒng)的精確線性化。

二.非線性控制理論在電力系統(tǒng)中的應用1.李雅普諾夫方法303.直接反饋線性化方法對于由微分方程描述的非線性系統(tǒng)：其中,稱為系統(tǒng)的相對階，令則得到一個線性受控系統(tǒng)由隱含數(shù)定理得有解的條件：3.直接反饋線性化方法對于由微分方程描述的非線性系統(tǒng)：314.逆系統(tǒng)方法對于一個可逆過程，若輸入信號先后經(jīng)過逆過程和原過程，則相當于進行了一次標準的單位影射。逆系統(tǒng)方法的使用需要解決兩個問題：（1）系統(tǒng)是否可逆；（2）逆系統(tǒng)的求取方法。

LiChunwenandFengYuankun在《InverseMethodforMulti-valueNonlinearControl》一書中對逆系統(tǒng)方法的原理和以往的一些主要結(jié)論進行了系統(tǒng)的論述。5.變結(jié)構(gòu)控制對一非線性系統(tǒng)：

確定一切換函數(shù)向量：4.逆系統(tǒng)方法32同時尋求變結(jié)構(gòu)控制：使得:1)滿足到達條件（切換面S以外的相軌跡能在有限的時間內(nèi)到達切換面）；2)切換面是滑動模態(tài)區(qū)，且滑動運動漸近穩(wěn)定，動態(tài)品質(zhì)良好。有關(guān)變結(jié)構(gòu)控制的系統(tǒng)論述可以參閱GaoWeibing編著《TheoryandDesignMethodofVariableStructureControl》一書。6.非線性控制非線性系統(tǒng)的控制有兩種思路：一種是對系統(tǒng)進行線性化，在此基礎上，估計出仍然存在的非線性項的上界，將它們作為不確定項處理，采用線性方法進行設計，另外一種思路以減小閉環(huán)系統(tǒng)的增益作為設計目標，針對非線性系統(tǒng)，該方面的結(jié)論集中在仿射非線性系統(tǒng)方面，其設計可以歸結(jié)為HJL(HamilconJaccobilssacs)方程的求解問題?！斗蔷€性系統(tǒng)分析與控制》資料教材課件33對于分布式系統(tǒng)負荷頻率控制(LPC)問題，SMIB系統(tǒng)勵磁控制問題，多機系統(tǒng)的勵磁控制問題，非線性系統(tǒng)的控制都有成功的應用。7.自適應控制自適應控制的研究對象是具有一定程度不確定性的系統(tǒng)，自適應控制器能夠修正自己的特性以適應對象和擾動的動態(tài)變化。反饋線性化方法依賴于非線性的精確對消，當系統(tǒng)參數(shù)變化時，可以采用參數(shù)自適應調(diào)整來保證非線性項的漸近對消。例如：自適應勵磁控制、自校正移相控制等；對諧波進行自適應預測，然后根據(jù)預測來設計補償律等。由于自適應控制的缺點也限制了它在電力系統(tǒng)中的應用。對于分布式系統(tǒng)負荷頻率控制(LPC)問題，SMIB系統(tǒng)勵磁控348.分叉理論與結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分叉：當系統(tǒng)在某個模型參數(shù)值變化到一個特定數(shù)值時，系統(tǒng)的定性特征隨該參數(shù)的微小變化而發(fā)生變化。

分叉理論研究：分叉現(xiàn)象發(fā)生的時刻和分叉的控制。

分叉現(xiàn)象在電力系統(tǒng)中是普遍存在的，隨著近年來電網(wǎng)大停電事故的頻繁發(fā)生，采用分叉理論來描述和解釋事故機理成為了一個研究熱點。目前的分叉研究主要在于揭示系統(tǒng)中存在的分叉現(xiàn)象，分叉的控制則集中于不穩(wěn)定分叉的消除；主要研究了單機系統(tǒng)和多機系統(tǒng)的鞍結(jié)、Hopf、倍周期、環(huán)、音叉等多種分叉現(xiàn)象和分叉現(xiàn)象導致電壓崩潰的機理。

8.分叉理論與結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性359.混沌及其控制混沌運動的本質(zhì)特征是系統(tǒng)長期行為對初值的敏感依賴性，混沌運動的另一個特征是具有奇異吸引子，即相空間中的一個低維集合，一方面它是穩(wěn)定的，因為運動限定在該集合(吸引子)中，另一方面，在該集合中的運動則極不穩(wěn)定。含有反饋的系統(tǒng)都有可能導致混沌的產(chǎn)生，因而混沌是一種普遍的現(xiàn)象?；煦缈刂浦父淖兿到y(tǒng)的混沌形態(tài)，使之呈現(xiàn)出周期性動力行為，它包括抑制、引導和跟蹤問題。

在電力系統(tǒng)