2020-2021學(xué)年浙江省杭州之江高級(jí)中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2020-2021學(xué)年浙江省杭州之江高級(jí)中學(xué)高一(下)期中

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共10小題，共40.0分)

1.已知集合4={x|/=%},B={-1,0,1},則4nB=()

A.{1}B.{0,1}C.{-1,0}D.{-1,0,1)

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足2?(3-。=10。為虛數(shù)單位)，則團(tuán)=()

A.3B.4C.V10D.10

3.若向量五=(2,3),E=(—1,2),則/小=()

A.—4B.—2C.2D.4

4.荏=反是四邊形48CC構(gòu)成平行四邊形的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.在△4BC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若4=30。，B=45。，a=2b，

則b=()

A.V6B.V2C.V3D.2V6

6.若向量五=(1,一2),b=(3,-1).則與B共線的向量是()

A.(-1,1)B.(-3,-4)C.(-4,3)D.(2,-3)

7.在△ABC中，內(nèi)角A,8,C所對的邊分別為a",c,c?=a?+爐—百帥，則C=()

A.60°B.30°C.60°或120°D.120°

9.平面上點(diǎn)P與不共線三點(diǎn)A、B、C滿足關(guān)系式：PA+PB+PC=AB，則下列結(jié)

論正確的是()

A.P在CA上，且方=2mB.P在AB上，且而=2而

C.P在8c上，且麗=2玩D.P點(diǎn)為AABC的重心

10.若鈍角△力BC的內(nèi)角A,8,C滿足A+C=2B,且最大邊長與最小邊長的比值為相，

則機(jī)的取值范圍是()

A.(1,2)B.(2,+8)C.[3,+8)D.(3,+8)

二、單空題(本大題共7小題，共36.0分)

11.已知cos(1—。)=|,3G(0,^),貝UsinO=；cosO-.

12.已知向量五=(%3),石=(4,6),若五〃石，則實(shí)數(shù)x的值為；若五1石,則實(shí)

數(shù)x的值為.

13.在A4BC中，角A,B,C所對的邊分別為a,h,c.若a=V7,b=2,A=60°,則

sinB=,c=.

14.已知向量五=(2,1),b=(-3,1).貝+;向量不在向量方的投影向量

是.

15.已知瓦，宅是單位向量，超=2瓦+可，而=-/+3可，而=4瓦-五，若A,

B,。三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)2=.

16.已知向量五=(cos。,sin。)，b=(1,V3).則|23+B|的取值范圍是.

17.南宋數(shù)學(xué)家秦九韶在儆學(xué)九章少中提出“三斜求積木”，即以小斜募，并大斜幕,

減中斜暴，余半之，自乘于上：以小斜寤乘大斜基，減上，余四約之，為實(shí)：一為

從隅.開平方得積.現(xiàn)設(shè)△ABC中，a,Ac分別為角A,B,C所對的邊，S為面

積，則“三斜求積木”可用公式S=J；[c2a2-(立亭麗表示.

若a=3,且bcosC—ccosB=巴，則△ABC面積的最大值為______.

3

三、解答題(本大題共5小題，共74.0分)

18.已知向量匯=(1,一1),\b\=V2,且(2萬+3)7=4.

(1)求向量4與石的夾角;

(2)求|五+方|的值.

第2頁，共14頁

19.已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊，且a2+非一c?=Bab,則:

(1)求角C；

(2)若a=b=2,求△ABC的面積.

20.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,h,c,且百asinB-bcosA=0.

(1)求角A的大小；

(2)若a=l,求—a的取值范圍.

21.在三角形ABC中，AB=2,AC=1,4ACB=梟D

是線段BC上一點(diǎn)，且前=：反，F(xiàn)為線段48上

一點(diǎn).

(1)若同=x而+y而，求x-y的值；

(2)求而?同的取值范圍.

22.已知函數(shù)/(%)=/+2%氏一Q|—4x,其中

(1)當(dāng)Q=1時(shí)，方程/(%)=5恰有三個(gè)根，求實(shí)數(shù)人的取值范圍；

(2)若關(guān)于工的不等式/(%)>-1在區(qū)間百2］上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：■.A={0,1},B={-1,0,1},

二AnB={0,1}.

故選：B.

可求出集合A,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.

本題考查了描述法、列舉法的定義，交集的定義及運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：由z?(3-i)=10得z=券=0靠：)=3+i,

貝U|z|=VTo.

故選：c.

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算法則進(jìn)行化簡即可.

本題主要考查復(fù)數(shù)模長的計(jì)算，比較基礎(chǔ).

3.【答案】D

【解析】解：向量五=(2,3),b=(-1,2).

則五?b=-2+6=6

故選：D.

直接利用向量的數(shù)量積求解即可.

本題考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：四邊形ABC。構(gòu)成平行四邊形=荏=覺，

反之不一定成立，A,B,C,。四點(diǎn)可能共線，

AB=泥是四邊形ABCD構(gòu)成平行四邊形的必要不充分條件，

故選：B.

利用平行四邊形的判定定理、向量相等的性質(zhì)即可判斷出結(jié)論.

本題考查了平行四邊形的判定定理、向量相等的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：因?yàn)?=30。，B=45°,a=2百，

由正弦定理得，號(hào)=上，

sinAstnB

所以b=竺姓=巴理=2遍.

sinA-

2

故選：D.

由已知結(jié)合正弦定理即可直接求解.

本題主要考查了正弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：向量方=(1,—2),b=(3,—1),

則為+方=(4,一3)，

所以與五+B共線的向量是2(4,—3),其中;leR；

當(dāng)；1=一1時(shí)，共線向量是(一4,3).

故選：C.

根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線定理，判斷即可.

本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與共線定理應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：cosC=吆匕=酗=更，

2ab2ab2

■■CG(0,TT),?1.C=30°,

故選：B.

利用余弦定理將方程變形得到a2+加一c2的表達(dá)式即可得到.

本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查余弦定理的變形問題，屬于低檔題.

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8.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，掌握函數(shù)的奇偶性與函數(shù)值的特點(diǎn)是關(guān)鍵，屬于中檔題.

先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用/(兀)的符號(hào)確定選項(xiàng).

【解答】

解：y—f(.x)—xcosx+sinx,

則f(-x)=—xcosx—sinx=—f(x),

???/(x)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除C,D,

當(dāng)x=兀時(shí)，y=/(7T)=rtcosit+sin;r=-n<0,故排除B,

故選：A.

9.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查向量加法的幾何運(yùn)算，向量共線的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

將成+兩+正=四中的而移向，再化簡整理得出而=2方即可求解.

【解答】解：將方+而+定=布移向得：~PA+PC=AB-^B,即：PA+PC=AB+

JP=AP，再移向得#=2萬，而與同共線，P在CA上.

故選：A.

10.【答案】B

【解析】解：設(shè)三角形的三邊從小到大依次為“，b,c,

因?yàn)?+C=2B,貝必l+B+C=3B=180。，故可得B=60。，

根據(jù)余弦定理得：cosB=S+J-竺_1,于是￡(2=a2+c2-ac,

2ac2

因?yàn)椤?BC為鈍角三角形，故a?+爐一c2<0,于是2a2-ac<0,即5>2,

則m=(>2,即me(2,+8).

故選：B.

由題意首先求得的大小，然后結(jié)合余弦定理即可得到m的取值范圍.

本題主要考查余弦定理及其應(yīng)用，屬于中等題.

11.【答案】II

【解析】解：因?yàn)镃OS6—。)=|,所以sine=|,

又。e(o,|),

所以cos?！猇1—sin20-_4

一5

故答案為：

利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.

本題考查了三角函數(shù)的求值問題，誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，考查了運(yùn)算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】23

【解析】解：向量五=(x,3),h=(4,6)，

若云〃3，則6x—3x4=0,解得x=2；

若五JL&，則4x-3x6=0,解得％=(

故答案為：2；

利用共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解x的值；利用向量垂直，數(shù)量積為0即可求解x的值.

本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，向量垂直的充要條件，考查方程思想與運(yùn)算求解能

力，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】亨

3

【解析】

【分析】

本題考查正弦定理、余弦定理，屬于簡單題.

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由正弦定理得上=二一，由此能求出sinB,由余弦定理得cos6（r=也上，由此能求

sm60°stnB2x2c

出C.

【解答】

解：???在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.

a=k，b=2,A=60°,

???由正弦定理得：一、=白，即==二一，

sinAsinBsin600sinB

解得5譏8=草=叵.

V77

由余弦定理得：cos/1=b2+c2-a\即cos6（T=把匕，

2bc2x2c

解得c=3或c=一1（舍），

故答案為：叵；3.

7

14.【答案】遍-3b

【解析】解：?.?向量方=（2,1）,b=（-3,1），

a+b=（-1,2），

■.\a+b\=V（-l）2+22=V5，

二向量五在向量方的投影向量|弓I?cosd?奈=需，b==一沙

故答案為：V5;—］匕?

根據(jù)已知條件，運(yùn)用向量模的計(jì)算公式和向量的投影公式，即可求解.

本題考查了向量的線性運(yùn)算，向量的投影，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】5

【解析】解：由已知可得前=配+方=（4一1）瓦*+2瓦,

因?yàn)锳,B,。三點(diǎn)共線，則而=〃前，

即2前+與=可（；1-1）江+2可，所以｛；:,￡一1），

解得4=5,

故答案為：5.

由已知求出向量80,然后利用三點(diǎn)共線建立關(guān)系式，即可求解.

本題考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，涉及到三點(diǎn)共線的問題，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】[0,4]

【解析】解：??,向量五={cosO,sinO）,b=（1,遮）,

?,?2五+方=（2cos94-1,2s譏8+遍），

=784-4y/3sin04-4cos0=+8sin(0+孑)，

當(dāng)sin(。+》=-1時(shí)，|2方+石|取得最小值0,

當(dāng)sin(0+》=l時(shí)，|2五+石|取得最大值4.

|2五+方|的取值范圍是[0,4].

故答案為：[0,4].

根據(jù)向量蒼=(cos0,sin。)，b=(l,V3)，求出|2五+B|,利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，

即可求出的|2五++的取值范圍.

本題主要考查了向量的模和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的

綜合運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】?

【解析】??-bcosC-ccosB=

二由余弦定理知，b?貯勺—=至,

2ab2ac3

Va=3,

*2*29+/-匕2_空

：?b?9+b-c

6b6c-3

化簡得，b=V3c?

...s=曲C2a2_/2+'；-振）2]=_盧產(chǎn)）2=1J-C4+18c2-y=

[誓_（C2_9）2,

當(dāng)C2=9,即c=3時(shí)，s取得最大值些.

4

故答案為：越.

4

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利用余弦定理對已知等式進(jìn)行化簡，可得b=Bc，代入s中，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的函

數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可得解.

本題主要考查解三角形，還涉及利用二次函數(shù)解決最值問題，考查邏輯推理能力和運(yùn)算

能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)由五=(1,—1)得|為|=V2,v|h|=V2,

且(28+b)?b=2五?b+b=2\a\\b\cos(a,b)+2=4cos(a,b)+2=4,

cos(a,b)=p向量五與石的夾角為60。.

(2)|a+K|=Jfa+b)*2=y/a2+2a-b+b

五|2+2\a\?|b|cos(a,K)+|6|2=V6-

【解析】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的夾角以及向量的模的求法，考查計(jì)算能

力.

(1)利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡已知條件，轉(zhuǎn)化求向量五與方的夾角；

(2)通過向量的模的運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化求解|方+9|的值.

19.【答案】解：(1)由余弦定理知，cosC=老火士=縹=立，

2ab2ab2

??,CE(0,71),

「n

???C=6-

(2)va=h=2,

1-1-I

ABC的面積S=-absinC=-x2x2x-=l.

【解析1(1)由余弦定理求得cosC的值，即可得解；

(2)由S=gabsiziC,得解.

本題考查解三角形，熟練掌握余弦定理和正弦的面積公式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理

能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)由正弦定理知，意=高，

vy/SasinB-bcosA=0,

Ay/3sinAsinB一sinBcosA=0,

---sinB^O,.：V3SmA-cosA=0,即「加4=鬻=菖，

vA6(0,7T),

???471

6

(2)由正弦定理知，目b

sinB?

1b

???前=痂，即b=2sinB,

6

???2A/3/J-a=2V3-2sinB-1=4V3sinB-1，

vBG(0,^),AsinB6(0,1],

6

?，-2^36—a€(—1,4V3-1]?

【解析】(1)利用正弦定理將已知等式中的邊化角，再由同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，得

解；

(2)由正弦定理推出b=2sinB,再結(jié)合B€(0,法)，知sinB的取值范圍，從而得解.

本題考查解三角形與三角函數(shù)的綜合，熟練掌握正弦定理、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

21.【答案】解：⑴???前=：玩，

.■.AD-AB=^(AC-AD),即|而=而+評，

.-.AD=-AB+-AC,

33

又而=%+y~ACy

21

???x=-y=

39z3

x—y=-2--1=1

J333

(2)???在△48C中,AB=2,AC=1,/-ACB=p

???Z.CAB=pBC=V3,

-FA=(CA+AFy~FA=CA-~FA-^-AF-

設(shè)I而I=%,由題意，%6[0,2],

CF-E4=\CA\\FA\cos^CAB一|行『="一’=一(％一了十卷,

第12頁，共14頁

又XE[0,2],

???一0-：）26[-3,勺,即赤?瓦5的取值范圍為[-3,2].

41O1O1O

【解析】(1)由平面向量的線性運(yùn)算可得而=