自動(dòng)控制原理二五

第四章根軌跡法8/27/20231本章主要內(nèi)容根軌跡的基本概念根軌跡的繪制準(zhǔn)則特殊根軌跡利用根軌跡分析閉環(huán)系統(tǒng)用MATLAB繪制根軌跡8/27/20232根軌跡意義概述我們知道，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)分布，其它性能取決于其零極點(diǎn)分布。因此，可以用系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布來(lái)間接地研究控制系統(tǒng)的性能。W.R.伊文思提出了一種在復(fù)平面上由開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)確定閉環(huán)零極點(diǎn)的圖解方法—根軌跡法。將系統(tǒng)的某一個(gè)參數(shù)（比如開(kāi)環(huán)放大系數(shù)）的全部值與閉環(huán)特征根的關(guān)系表示在一張圖上。利用根軌跡法，可以：分析系統(tǒng)的性能確定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)校正裝置的綜合8/27/20233第一節(jié)根軌跡的基本概念8/27/20234根軌跡定義[根軌跡定義]：開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的某一個(gè)參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在復(fù)平面上變化的軌跡。例：如圖所示二階系統(tǒng)，-特征方程為：閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：特征根為：8/27/20235根軌跡定義特征根為：[討論]：①當(dāng)K=0時(shí)，s1=0,s2=-2,是開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)②當(dāng)K=0.32時(shí)，s1=-0.4,s2=-1.6③當(dāng)K=0.5時(shí)，s1=-1,s2=-1④當(dāng)K=1時(shí)，s1=-1+j,s2=-1-j⑤當(dāng)K=5時(shí)，s1=-1+3j,s2=-1-3j⑥當(dāng)K=∞時(shí)，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j8/27/20236根軌跡基本概念系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：-閉環(huán)傳遞函數(shù)為：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：將寫(xiě)成以下標(biāo)準(zhǔn)型，得：8/27/20237根軌跡座定義閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是閉環(huán)特征方程：的根。[根澇軌跡舅定義痕]：開(kāi)環(huán)民系統(tǒng)油傳遞錄函數(shù)叢的某泊一個(gè)腔參數(shù)飛變化翁時(shí)，傅閉環(huán)要系統(tǒng)得特征年方程如的根黨在復(fù)杏平面張上變飛化的裳軌跡碰。7/盜6/衛(wèi)20爛238根軌跡霜的幅超值和雷相角喂條件上述牛兩式端分別甜稱(chēng)為身滿足微根軌懸跡方繩程的唐幅值搖條件蟻和相閣角條冷件。[一些約定]：在根軌跡圖中，“”表示開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，“”表示開(kāi)環(huán)有限值零點(diǎn)。粗線表示根軌跡，箭頭表示某一參數(shù)增加的方向?！啊北硎靖壽E上的點(diǎn)。我們先以根軌跡增益（當(dāng)然也可以用其它變量）作為變化量來(lái)討論根軌跡。7/葉6/夏20興239[例昌4-穿1]嚷如圖窩二階刷系統(tǒng)劫，當(dāng)Kg從0盟→∞時(shí)繪鳥(niǎo)制系懂統(tǒng)的鳥(niǎo)根軌坊跡。-[解]閉環(huán)傳遞函數(shù)：特征方程和特征根：[討論]：①②③④⑤根軌跡極解析存法繪資制7/銷(xiāo)6/僵20浴2310根軌跡趣解析伍法繪認(rèn)制[總結(jié)]當(dāng)從0變化到時(shí)，系統(tǒng)的根軌跡是連續(xù)的。的點(diǎn)稱(chēng)為起點(diǎn)， 的點(diǎn)稱(chēng)為終點(diǎn)。本例中有兩個(gè)分支，終點(diǎn)都在無(wú)窮遠(yuǎn)處。這里兇是用隙解析席法畫(huà)車(chē)出的宅根軌掘跡，允但對(duì)祖于高昌階系難統(tǒng)，潮求根芳困難莫，需瓣用圖真解法疤畫(huà)圖雹。復(fù)平面上滿足相角條件的點(diǎn)應(yīng)在根軌跡上。上例中，A點(diǎn)在根軌跡上嗎？向量s和s+1的相角分別為根據(jù)相角條件(試探法)：顯然，只有三角形OAB是等腰三角形時(shí)，，A點(diǎn)在根軌跡上。點(diǎn)顯然不在根軌跡上。AB7/罵6/傷20猜2311[定旨義]采：滿足界相角被條件橋的點(diǎn)偵連成損的曲炎線稱(chēng)轎為1鞠80顆度等虛相角休根軌寒跡。監(jiān)同樣渠，滿友足幅拆值條謠件的攔點(diǎn)連烘成的并曲線粥稱(chēng)為閥等增袍益根繳軌跡熄（它驢是在筒某一疊增益拜的情乓況下滾繪制灣的）疑。P1牢12塔,F僵4-平5180度等相角根軌跡和等增益根軌跡是正交的，其交點(diǎn)滿足根軌跡方程，每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)。由于180度等相角根軌跡上的任意一點(diǎn)都可通過(guò)幅值條件計(jì)算出相應(yīng)的值，所以直接稱(chēng)180度等相角根軌跡為根軌跡。在根軌跡上的已知點(diǎn)求該點(diǎn)的值的例子。上例中，若A點(diǎn)的坐標(biāo)是0.5+j2，則根據(jù)幅值條件：7/說(shuō)6/封20中2312小結(jié)根軌跡旨定義根軌每跡的灑幅值滴條件喘和相便角條兇件18碰0度袖等相裂角