電動(dòng)力學(xué)二三分離變量法

電動(dòng)力學(xué)二三分離變量法1第1頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月基本問題：電場由電勢描述電勢滿足泊松方程+邊界條件只有在界面形狀是比輕簡單的幾何曲面時(shí)，這類問題的解才能以解析形式給出，而且視這體情況不同而有不同解法本節(jié)和以下幾節(jié)我們研究幾種求解的解析方法具體的工作：解泊松方程2第2頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月在許多實(shí)際問題中，靜電場是由帶電導(dǎo)體決定的．例如電容器內(nèi)部的電場是由作為電極的兩個(gè)導(dǎo)體板上所帶電荷決定的電子光學(xué)系統(tǒng)的靜電透鏡內(nèi)部，電場是由分布于電極上的自由電荷決定的這些問題的特點(diǎn)：自由電荷只出現(xiàn)在一些導(dǎo)體的表面上，在空間中沒有其他自由電荷分布．3第3頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月選擇導(dǎo)體表面作為區(qū)域V的邊界，V內(nèi)部自由電荷密度

＝0，泊松方程化為比較簡單的拉普拉斯方程它的通解可以用分離變量法求出。拉氏方程在球坐標(biāo)中的通解為anm,bnm,cnm,dnm為任意常數(shù)4第4頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月若該問題中具有對稱軸，取此軸為極軸，這種情形下通解為5第5頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月例1一個(gè)內(nèi)徑和外徑分別為R2和R3的導(dǎo)體球殼，帶電荷Q，同心地包圍一個(gè)半徑為R1的導(dǎo)體球（R1<R2），使這個(gè)導(dǎo)體球接地。求空間各點(diǎn)的電勢和這個(gè)導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷。6第6頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月這問題有球?qū)ΨQ性，電勢φ不依賴于角度θ和Φ。設(shè)導(dǎo)體殼外和殼內(nèi)的電勢分別為解7第7頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月邊界條件為：（1）內(nèi)導(dǎo)體接地（2）整個(gè)導(dǎo)體球殼為等勢體（3）球殼帶總電荷Q，8第8頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月將通解代入邊界條件9第9頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月由這些邊界條件得其中利用這些值得電勢的解導(dǎo)體球上的感應(yīng)電荷為10第10頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月例2電容率為ε的介質(zhì)球置于均勻外電場E0中，求電勢。11第11頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)球半徑為R0，球外為真空（如圖）。這問題具有軸對稱性，對稱軸為通過球心沿外電場E0方向的軸線，取此軸線為極軸。球內(nèi)區(qū)域的電勢解球外區(qū)域的電勢12第12頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月邊界條件：（1）無窮遠(yuǎn)處，因而（2）R＝0處，

2為有限值，因此（3）在介質(zhì)球面上，有13第13頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月則有比較P1的系數(shù)得可解出其他Pn項(xiàng)的系數(shù)可解出為14第14頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月所有常數(shù)已經(jīng)定出，因此本問題的解為在球內(nèi)總電場作用下，介質(zhì)的極化強(qiáng)度為介質(zhì)球的總電偶極矩為

1表達(dá)式中的第二項(xiàng)正是這個(gè)電偶極矩所產(chǎn)生的電勢15第15頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月例3半徑為R0的導(dǎo)體球置于均勻外電場E0中，求電勢和導(dǎo)體上的電荷面密度。16第16頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月用導(dǎo)體表面邊界條件，照上例方法可解出導(dǎo)體球外電勢導(dǎo)體面上電荷面密度為解17第17頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月例4導(dǎo)體尖劈帶電勢V，分析它的尖角附近的電場。18第18頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月用柱坐標(biāo)系,取z軸沿尖邊,柱坐標(biāo)下的拉氏方程為設(shè)

的特解為解19第19頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月把

的特解疊加為通解形式為則上式分解為兩個(gè)方程20第20頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月在尖劈

=0面上，=V與r無關(guān)，因此因r

0時(shí)

有限，得在尖劈=2-面上，=V與r無關(guān)，必須因此v的可能值為21第21頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月考慮這些條件，

可以重寫為了確定選定常數(shù)An,還必須用某一大曲面包圍著電場存在的區(qū)域,并給定這曲面上的邊界條件。22第22頁，課件共23頁，創(chuàng)作于2023年2月在尖角附近r

0，上式求和式的主要貢獻(xiàn)來自r