人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊6.3 二項式定理 同步訓(xùn)練（含答案）

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人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊6.3二項式定理同步訓(xùn)練（原卷版）

考法一二項式定理展開式

【例1】(1)求的展開式為．

（2）（2023·江蘇省太湖高級中學(xué)高二期中）已知，則的值為

【一隅三反】

1．（2023·全國課時練習(xí)）化簡多項式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的結(jié)果是()

A．(2x+2)5B．2x5

C．(2x-1)5D．32x5

2．（2023·江蘇宿遷市·宿遷中學(xué)高二期中）化簡：_________.

考法二二項式指定項的系數(shù)與二項式系數(shù)

【例2】（1）（2023·全國高二單元測試）在(x-)10的展開式中，x6的系數(shù)是

（2）（2023·廣東佛山市·高二期末）二項式的展開式中常數(shù)項是______（用數(shù)字作答）

（3）（2023·安徽省蚌埠第三中學(xué)高二月考）的有理項共有項

【一隅三反】

1．（2023·北京市魯迅中學(xué)高二月考）二項式的展開式中的常數(shù)項是_______.（用數(shù)字作答）

2.（2023·上海青浦區(qū)）在二項展開式中，常數(shù)項是_______.

3.．（2023·青海西寧市）若的展開式中的系數(shù)為7，則實數(shù)=______.

4．（2023·梁河縣）已知的展開式的常數(shù)項是第7項，則________.

考法三多項式系數(shù)或二項式系數(shù)

【例3】（1）（2023·福建三明市·高二期末）的展開式中常數(shù)項是（）

A．-252B．-220C．220D．252

（2）．（2023·四川成都市）若的展開式中常數(shù)項為，則（）

A．B．C．D．

【一隅三反】

1．（2023·全國高三專題練習(xí)）展開式中常數(shù)項為（）.

A．11B．C．8D．

2．（2023·全國高三專題練習(xí)）的展開式中常數(shù)項為()

A．B．C．D．

3．（2023·河南商丘市）的展開式的常數(shù)項為（）

A．6B．10C．15D．16

4．（2023·棗莊市第三中學(xué)高二月考）在的展開式中，x2項的系數(shù)為（）

A．30B．45C．60D．90

5．（2023·全國高二專題練習(xí)）若的展開式中的系數(shù)為，則等于（）

A．B．C．1D．2

考法四二項式定理的性質(zhì)

【例2】（1）（多選）（2023·全國高二單元測試）的展開式中二項式系數(shù)最大的項是（）

A．第5項B．第6項

C．第7項D．第8項

（2）（2023·山東省桓臺第一中學(xué)高二期中）（多選）二項式的展開式中，系數(shù)最大的項為（）.

A．第五項B．第六項C．第七項D．第八項

（3）（2023·綿陽市·四川省綿陽江油中學(xué)高二開學(xué)考試）若的展開式中只有第項的二項式系數(shù)最大，則展開式中含項的系數(shù)是

A．B．

C．D．

【一隅三反】

1．（2023·遼寧沈陽市·高二期中）在的二項展開式中，若只有第5項的二項式系數(shù)最大，則的二項展開式中的常數(shù)項為（）

A．960B．1120C．-560D．-960

2．（2023·湖南常德市）的展開式中各項系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項為（）

A．B．C．10D．20

3．（多選）（2023·三亞華僑學(xué)校高二開學(xué)考試）已知的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，則n的值可以為（）

A．7B．8C．9D．10

4．（2023·全國高二課時練習(xí)）已知展開式中各項系數(shù)的和為m，且，求展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù).

5．（2023·重慶市第七中學(xué)校高二月考）二項式的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是第4項，則其展開式中的常數(shù)項是_________．

考法五二項式系數(shù)或系數(shù)和

【例5】（2023·安徽省泗縣）若.

求：（1）；

（2）；

（3）.

【一隅三反】

1．（2023·北京朝陽區(qū)·高二期末）在的二項展開式中，二項式系數(shù)之和為___________；所有項的系數(shù)之和為_______.

2．（2023·全國高二單元測試）若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝

3．（2023·福建廈門市·廈門雙十中學(xué)高二期中）已知，則_____.

4．（2023·寧縣第二中學(xué)高二期中）設(shè)展開式中只有第1010項的二項式系數(shù)最大．

（1）求n；

（2）求;

（3）求..

考法六二項式定理運用

【例6】（1）（2023·上海市七寶中學(xué)高二期中）除以100的余數(shù)是________

（2）（2023·全國高二單元測試）的計算結(jié)果精確到0.01的近似值是_________

【一隅三反】

1．（2023·四川棠湖中學(xué)高二月考）已知能夠被15整除，則________.

2．（2023·江蘇泰州市·泰州中學(xué)高二期中）被除所得的余數(shù)是_____________．

（2023·河北保定市）的計算結(jié)果精確到0.001的近似值是

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊6.3二項式定理同步訓(xùn)練（解析版）

考法一二項式定理展開式

【例1】(1)求的展開式為．

（2）（2023·江蘇省太湖高級中學(xué)高二期中）已知，則的值為

【答案】（1）＋＋54＋108x＋81x2

【解析】（1）方法一4＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.

方法二4＝4＝(1＋3x)4＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.

（2）由得

則，即，解得.

【一隅三反】

1．（2023·全國課時練習(xí)）化簡多項式(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1的結(jié)果是()

A．(2x+2)5B．2x5

C．(2x-1)5D．32x5

【答案】D

【解析】依題意可知，多項式的每一項都可看作，故為的展開式，化簡.故選D.

2．（2023·江蘇宿遷市·宿遷中學(xué)高二期中）化簡：_________.

【答案】

【解析】

則

所以故答案為：.

考法二二項式指定項的系數(shù)與二項式系數(shù)

【例2】（1）（2023·全國高二單元測試）在(x-)10的展開式中，x6的系數(shù)是

（2）（2023·廣東佛山市·高二期末）二項式的展開式中常數(shù)項是______（用數(shù)字作答）

（3）（2023·安徽省蚌埠第三中學(xué)高二月考）的有理項共有項

【答案】（1）9（2）70（3）6

【解析】（1）由Tk+1=x10-k(-)k，令10-k=6，解得k=4，∴系數(shù)為(-)4=9

（2）二項式的展開式的通項公式，令，得,則常數(shù)項為，故答案為：70

（3）的通項公式為：，

，

，

，

所以有理項共有6項，故選：C

【一隅三反】

1．（2023·北京市魯迅中學(xué)高二月考）二項式的展開式中的常數(shù)項是_______.（用數(shù)字作答）

【答案】60

【解析】有題意可得，二項式展開式的通項為：

令可得，此時.

2.（2023·上海青浦區(qū)）在二項展開式中，常數(shù)項是_______.

【答案】60

【解析】展開式的通項公式是，當(dāng)時，

.故答案為60

3.．（2023·青海西寧市）若的展開式中的系數(shù)為7，則實數(shù)=______.

【答案】

【解析】根據(jù)二項展開式的通項公式可得：，

令，可得，，解得：，故答案為：

4．（2023·梁河縣）已知的展開式的常數(shù)項是第7項，則________.

【答案】8

【解析】根據(jù)題意，可知第7項為，而常數(shù)項是第7項，則

，故.故答案為：8.

考法三多項式系數(shù)或二項式系數(shù)

【例3】（1）（2023·福建三明市·高二期末）的展開式中常數(shù)項是（）

A．-252B．-220C．220D．252

（2）．（2023·四川成都市）若的展開式中常數(shù)項為，則（）

A．B．C．D．

【答案】（1）A（2）C

【解析】(1）由，

可得二項式的展開式通項為，

令，解得，所以展開式的常數(shù)項為.故選：A.

（2）的展開式的通項公式為：，顯然，為奇數(shù)，

若求展開式的常數(shù)項，，解得

故的展開式的常數(shù)項等于：故選：C.

【一隅三反】

1．（2023·全國高三專題練習(xí)）展開式中常數(shù)項為（）.

A．11B．C．8D．

【答案】B

【解析】將看成一個整體，展開得到：

的展開式為：取

當(dāng)時，系數(shù)為：當(dāng)時，系數(shù)為：

常數(shù)項為故答案選B

2．（2023·全國高三專題練習(xí)）的展開式中常數(shù)項為()

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】的通項為，，根據(jù)式子可知當(dāng)或時有常數(shù)項，令;令;故所求常數(shù)項為，故選C.

3．（2023·河南商丘市）的展開式的常數(shù)項為（）

A．6B．10C．15D．16

【答案】D

【解析】由題意得的展開式的通項為，

令，則，所以的展開式的常數(shù)項為.故選：D.

4．（2023·棗莊市第三中學(xué)高二月考）在的展開式中，x2項的系數(shù)為（）

A．30B．45C．60D．90

【答案】B

【解析】在的展開式中，通項公式為Tr+1.

對于，通項公式為Tk+1xr﹣2023k，k≤r，r、k∈N，r≤10.

令r﹣2023k＝2，可得r＝2+2023k，故k＝0，r＝2，故x2項的系數(shù)為45，故選：B.

5．（2023·全國高二專題練習(xí)）若的展開式中的系數(shù)為，則等于（）

A．B．C．1D．2

【答案】D

【解析】將題中所給式子可化為

根據(jù)二項式定理展開式通項為,的通項為

令解得

所以的項為令解得

所以的項為

綜上可知,的系數(shù)為解得故選:D

考法四二項式定理的性質(zhì)

【例2】（1）（多選）（2023·全國高二單元測試）的展開式中二項式系數(shù)最大的項是（）

A．第5項B．第6項

C．第7項D．第8項

（2）（2023·山東省桓臺第一中學(xué)高二期中）（多選）二項式的展開式中，系數(shù)最大的項為（）.

A．第五項B．第六項C．第七項D．第八項

（3）（2023·綿陽市·四川省綿陽江油中學(xué)高二開學(xué)考試）若的展開式中只有第項的二項式系數(shù)最大，則展開式中含項的系數(shù)是

A．B．

C．D．

【答案】（1）BC（2）BC（3）D

【解析】(1）因為n＝11為奇數(shù)，所以展開式中第項和第項，即第6項和第7項的二項式系數(shù)相等，且最大.故選：BC

（2）二項式的展開式中，每項的系數(shù)與二項式系數(shù)相等，共有12項

所以系數(shù)最大的項為第六項和第七項故選：BC

（3）∵的展開式中只有第項的二項式系數(shù)最大，∴為偶數(shù)，展開式共有項，則.

的展開式的通項公式為，令，得.

∴展開式中含項的系數(shù)是，故選D．

【一隅三反】

1．（2023·遼寧沈陽市·高二期中）在的二項展開式中，若只有第5項的二項式系數(shù)最大，則的二項展開式中的常數(shù)項為（）

A．960B．1120C．-560D．-960

【答案】B

【解析】在（x﹣1）n（n∈N+）的二項展開式中，若只有第5項的二項式系數(shù)最大，則n=8，

則=的二項展開式的通項公式為Tr+1=28﹣r（﹣1）rx4﹣r，

令4﹣r=0，求得r=4，可得展開式中的常數(shù)項為24（﹣1）4=1120，故選B．

2．（2023·湖南常德市）的展開式中各項系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項為（）

A．B．C．10D．20

【答案】C

【解析】由已知，當(dāng)時，即，所以展開式中常數(shù)項為，故選.

3．（多選）（2023·三亞華僑學(xué)校高二開學(xué)考試）已知的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大，則n的值可以為（）

A．7B．8C．9D．10

【答案】ABC

【解析】∵已知的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大,則或n＝8或n＝9故選：ABC.

4．（2023·全國高二課時練習(xí)）已知展開式中各項系數(shù)的和為m，且，求展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù).

【答案】59136

【解析】設(shè)，令，得，

所以，則展開式中有13項，且中間一項（第7項）的二項式系數(shù)最大，

該項為.故所求的系數(shù)為59136.

5．（2023·重慶市第七中學(xué)校高二月考）二項式的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是第4項，則其展開式中的常數(shù)項是_________．

【答案】-20

【解析】由題意知，展開式中有7項，．因為

令，得，所以常數(shù)項為．

考法五二項式系數(shù)或系數(shù)和

【例5】（2023·安徽省泗縣）若.

求：（1）；

（2）；

（3）.

【答案】（1）27；（2）14；（3）27.

【解析】（1）令，可得，

∴．①

（2）令可得，

∴．②

由①②得，

∴．

（3）由題意得二項式展開式的通項為，

∴每項的系數(shù)，

∴．

【一隅三反】

1．（2023·北京朝陽區(qū)·高二期末）在的二項展開式中，二項式系數(shù)之和為___________；所有項的系數(shù)之和為_______.

【答案】

【解析】根據(jù)二項展開式的性質(zhì)，展開式的二項式系數(shù)之和為，

令可得所有項的系數(shù)之和為，故答案為：，

2．（2023·全國高二單元測試）若(－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，則(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝

【答案】1

【解析】令，得，令，得，

.故選：A.

3．（2023·福建廈門市·廈門雙十