九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第06講 實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)（原卷版）

/第06講實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)(重點(diǎn)題型方法與技巧)目錄類型一：利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問(wèn)題類型二：利用二次函數(shù)求圖形面積的最值類型三：利用二次函數(shù)解決拋物線形問(wèn)題類型一：利用二次函數(shù)解決利潤(rùn)問(wèn)題二次函數(shù)與利潤(rùn)最大問(wèn)題（1）調(diào)整價(jià)格分漲價(jià)和降價(jià)．（2）總利潤(rùn)=單件商品的利潤(rùn)×銷售量．化．典型例題例題1．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某超市將進(jìn)價(jià)為40元件的商品按50元/件出售時(shí)，每月可售出500件．經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，該商品售價(jià)每上漲1元，其月銷量就減少10件．超市為了每月獲利8000元，則每件應(yīng)漲價(jià)多少元？若設(shè)每件應(yīng)漲價(jià)x元，則依據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．例題2．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）某服裝店購(gòu)進(jìn)單價(jià)為15元的童裝若干件，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價(jià)為25元時(shí)平均每天能售出8件，而當(dāng)銷售價(jià)每降低2元，平均每天能多售出4件，為使該服裝店平均每天的銷售利潤(rùn)最大，則每件的定價(jià)為（

）A．21元 B．22元 C．23元 D．24元例題3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）生產(chǎn)季節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，當(dāng)它的產(chǎn)品無(wú)利潤(rùn)時(shí)就會(huì)及時(shí)停產(chǎn)．現(xiàn)有一生產(chǎn)季節(jié)性產(chǎn)品的企業(yè)，其一年中獲得的利潤(rùn)和月份之間的函數(shù)關(guān)系式為，則該企業(yè)一年中應(yīng)停產(chǎn)的月份是（

）A．1月、2月、3月 B．2月、3月、4月 C．1月、2月、12月 D．1月、11月、12月例題4．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）陽(yáng)光超市里銷售的一種水果，每千克的進(jìn)價(jià)為10元，銷售過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，每天銷量y（kg）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)的關(guān)系.若不計(jì)其他成本（利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)），則該超市銷售這種水果每天能夠獲得的最大利潤(rùn)是_________元．例題5．（2022·湖北武漢·九年級(jí)期末）某高檔游泳健身館每人每次游泳健身的票價(jià)為80元，每日平均客流量為136人，為了促進(jìn)全民健身運(yùn)動(dòng)，游泳館決定降價(jià)促銷，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，票價(jià)每下降1元，每日游泳健身的人數(shù)平均增加2人．當(dāng)每日銷售收入最大時(shí)，票價(jià)下調(diào)_______元．例題6．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）某品牌頭盔4月份銷售150個(gè)，6月份銷售216個(gè)，且從4月份到6月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同．(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率；(2)若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測(cè)算在市場(chǎng)中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲0.5元/個(gè)，則月銷售量將減少5個(gè)，為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？同類題型演練1．（2021·福建省福州第十九中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）某商品的進(jìn)價(jià)為每件20元，現(xiàn)在的售價(jià)為每件40元，每星期可賣出200件．市場(chǎng)調(diào)查反映：如調(diào)整價(jià)格，每漲價(jià)1元，每星期要少賣出5件．則每星期售出商品的利潤(rùn)y（單位：元）與每件漲價(jià)x（單位：元）之間的函數(shù)關(guān)系式是（

）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x） B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x） D．y＝200﹣5x2．（2022·河北·大城縣教學(xué)研究中心九年級(jí)期末）某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一種小商品，已知進(jìn)購(gòu)時(shí)單價(jià)是20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是30元時(shí)，月銷售量為240件，而銷售單價(jià)每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件商品的售價(jià)不能高于40元．當(dāng)月銷售利潤(rùn)最大時(shí)，銷售單價(jià)為（

）A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一人一盔安全守規(guī)，一人一帶平安常在！某商店銷售一批頭盔，售價(jià)為每頂80元，每月可售出200頂．在“創(chuàng)建文明城市”期間，計(jì)劃將頭盔降價(jià)銷售，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每降價(jià)1元，每月可多售出20頂．已知頭盔的進(jìn)價(jià)為每頂50元，則該商店每月獲得最大利潤(rùn)時(shí)，每頂頭盔的售價(jià)為（）元．A．60 B．65 C．70 D．754．（2021·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某童裝專賣店銷售一批某品牌童裝，已知銷售這種童裝每天獲得的利潤(rùn)y（元）與童裝的銷售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)解析式為y＝﹣x2+160x﹣4800．若想每天獲得的利潤(rùn)最大，則銷售價(jià)應(yīng)定為（）A．110元/件 B．100元/件 C．90元/件 D．80元/件5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)）為了減少空氣污染，國(guó)家要求限制塑料玩具生產(chǎn)，這樣有時(shí)企業(yè)會(huì)被迫停產(chǎn)，經(jīng)過(guò)調(diào)研預(yù)測(cè)，某塑料玩具生產(chǎn)公司一年中每月獲得的利潤(rùn)y（萬(wàn)元）和月份n之間滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣n2+14n﹣24，則沒有盈利的月份為（

）A．2月和12月 B．2月至12月 C．1月 D．1月、2月和12月6．（2022·山東棗莊·九年級(jí)期末）將進(jìn)貨單價(jià)為70元的某種商品按零售價(jià)100元售出時(shí)，每天能賣出20個(gè)；若這種商品的零售價(jià)在一定范圍內(nèi)每降價(jià)1元，其日銷售量就增加2個(gè)．設(shè)單價(jià)降價(jià)x元，則每天的利潤(rùn)y與x的關(guān)系式是：________；最大利潤(rùn)為________元．7．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）學(xué)子書店購(gòu)進(jìn)了一批單價(jià)為20元的中華傳統(tǒng)文化叢書．在銷售的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，這種圖書每天的銷售數(shù)量y（本）與銷售單價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系：y＝－3x＋108（29≤x≤36）．如果銷售這種圖書每天的利潤(rùn)為p（元），那么在這種關(guān)系下銷售單價(jià)定為________元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最大？8．（2021·福建·長(zhǎng)汀縣第四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）某大學(xué)生創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)抓住商機(jī)，購(gòu)進(jìn)一批干果分裝成營(yíng)養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售，每袋成本3元．試銷期間發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（袋）與銷售單價(jià)x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系y＝﹣80x+560，其中3.5≤x≤5.5，另外每天還需支付其他各項(xiàng)費(fèi)用80元．(1)如果每天獲得160元的利潤(rùn)，銷售單價(jià)為多少元？(2)設(shè)每天的利潤(rùn)為w元，當(dāng)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？9．（2021·四川成都·三模）某經(jīng)銷商銷售一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品的成本價(jià)為10元/千克，已知銷售價(jià)不低于成本價(jià)，且物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不高于18元/千克，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示：(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)求每天的銷售利潤(rùn)w（元）與銷售價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式．當(dāng)銷售價(jià)為多少時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大(3)該經(jīng)銷商想要每天獲得150元的銷售利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為多少？類型二：利用二次函數(shù)求圖形面積的最值求面積最大（小）值問(wèn)題，常以三角形、四邊形、圓等基本圖形為背景，以某條變化的線段的長(zhǎng)度為自變量，構(gòu)建二次函數(shù)模型求解．典型例題例題1．（2020·甘肅武威·九年級(jí)期中）用20cm長(zhǎng)的繩子圍成一個(gè)矩形，如果這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)為xcm，面積是Scm2，則S與x的函數(shù)關(guān)系式為（

）A．S＝x（20﹣x） B．S＝x（20﹣2x） C．S＝x（10﹣x） D．S＝2x（10﹣x）例題2．（2023·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）已知矩形MNPQ的頂點(diǎn)M，N，P，Q分別在正六邊形ABCDEF的邊DE，F(xiàn)A，AB，CD上，且．在點(diǎn)從移向（與不重合）的過(guò)程中，下列的判斷中，正確的是（

）A．矩形MNPQ的面積與周長(zhǎng)保持不變B．矩形MNPQ的面積逐漸減小，周長(zhǎng)逐漸增大C．矩形MNPQ的面積與周長(zhǎng)均逐漸增大D．矩形MNPQ的面積與周長(zhǎng)均逐漸減小例題3．（2020·浙江·湖州市第五中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)，，是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，則長(zhǎng)的最小值是（

）A．10 B． C． D．9例題4．（2022·廣東梅州·九年級(jí)期末）某園藝公司準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形花圃，其中一邊靠墻（墻長(zhǎng)20米），另外三邊用籬笆圍成如圖所示，所用的籬笆長(zhǎng)為32米．請(qǐng)問(wèn)當(dāng)垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為____米時(shí)，花圃的面積有最大值，最大值是____．例題5．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，用一段長(zhǎng)為的籬芭圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形圍欄（墻足夠長(zhǎng)），則這個(gè)圍欄的最大面積為_______．例題6．（2022·浙江麗水·九年級(jí)期中）如圖，某中學(xué)課外活動(dòng)小組準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形苗圃園．其中一邊靠墻，另外三邊用長(zhǎng)為20米的籬笆圍成．已知墻長(zhǎng)為18米，設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為x米．(1)若這個(gè)苗圃園的面積為S平方米，求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為多少米時(shí)，這個(gè)苗圃園的面積最大，并求出這個(gè)最大面積．同類題型演練1．（2021·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC與BD互相垂直，AC+BD=10，設(shè)AC=x(0<x<10)，四邊形ABCD的面積為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y=x(10－x) B．y=x(10－x) C．y=x(10+x) D．y=(10－x)22．（2019·四川·樹德中學(xué)九年級(jí)）設(shè)、、為實(shí)數(shù)，且，拋物線，頂點(diǎn)在上，與軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的最大值是（

）A．1 B． C．3 D．43．（2020·重慶一中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB交射線AD于點(diǎn)Q，連接CP，CQ，則△CPQ面積的最大值是（）A． B． C． D．4．（2019·浙江溫州·九年級(jí)期末）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，且滿足．分別以，為邊向矩形內(nèi)部構(gòu)造正方形和正方形，記陰影部分的面積為S，則S的最小值為（

）A．9 B．10.5 C．12 D．155．（2022·江蘇二模）如圖利用135°的墻角修建一個(gè)梯形的儲(chǔ)料場(chǎng)，并使∠C=90°．如果新建的墻BCD總長(zhǎng)24m，那么BC=________儲(chǔ)料場(chǎng)的面積最大．6．（2022·廣西·南丹縣教學(xué)研究室二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，D為線段OB上一點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)E，與直線BC相交于點(diǎn)F，則點(diǎn)E到直線BC距離d的最大值為_________．7．（2022·廣西·防城港外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在一塊正方形ABCD木板上要貼三種不同的墻紙，正方形EFCG部分貼A型墻紙，△ABE部分貼B型墻紙，其余部分貼C型墻紙．A型、B型、C型三種墻紙的單價(jià)分別為每平方60元、80元、40元．(1)探究1：如果木板邊長(zhǎng)為2米，F(xiàn)C＝1米，則一塊木板用墻紙的費(fèi)用需_____元；(2)探究2：如果木板邊長(zhǎng)為1米，當(dāng)FC的長(zhǎng)為多少時(shí)，一塊木板需用墻紙的費(fèi)用最??？最省是多少元？(3)探究3：設(shè)木板的邊長(zhǎng)為a（a為整數(shù)），當(dāng)正方形EFCG的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，墻紙費(fèi)用最?。?．（2022·河北秦皇島·九年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)開始移動(dòng)（移動(dòng)方向如圖所示），點(diǎn)P的速度為2cm/s，點(diǎn)Q的速度為1cm/s，點(diǎn)P移動(dòng)到B點(diǎn)后停止，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P、Q從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，四邊形APQC的面積是S(1)試寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍；(2)若S是21cm2時(shí)，確定t值；(3)t為何值時(shí)，S有最大（或最?。┲?，求出這個(gè)最值．類型三：利用二次函數(shù)解決拋物線形問(wèn)題用二次函數(shù)解決拋物線形問(wèn)題（1）建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；（2）將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，正確寫出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）合理地設(shè)出函數(shù)解析式；（4）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出解析式；（5）利用解析式求解．在解題過(guò)程中要充分利用拋物線的對(duì)稱性，同時(shí)要注意對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．典型例題例題1．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，某拱橋呈拋物線形狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是（

）A．12米 B．13米 C．14米 D．15米例題2．（2021·安徽蕪湖·九年級(jí)階段練習(xí)）某廣場(chǎng)有一個(gè)小型噴泉，水流從垂直于地面的水管噴出，長(zhǎng)為．水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落到地面上，某方向上拋物線路徑的形狀如圖所示，落點(diǎn)到的距離為．建立平面直角坐標(biāo)系，水流噴出的高度與水平距離之間近似滿足函數(shù)關(guān)系，則水流噴出的最大高度為（

）A． B． C． D．例題3．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）小明在期末體育測(cè)試中擲出的實(shí)心球的運(yùn)動(dòng)路線呈拋物線形．若實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的拋物線的解析式為，其中y是實(shí)心球飛行的高度，x是實(shí)心球飛行的水平距離．已知該同學(xué)出手點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則實(shí)心球飛行的水平距離OB的長(zhǎng)度為（

）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m例題4．（2022·湖北襄陽(yáng)·二模）如圖，某單位的圍墻由一段段形狀相同的拋物線形柵欄組成，為了牢固，每段柵欄間隔0.2米設(shè)置一根立柱（即AB間間隔0.2米的7根立柱）進(jìn)行加固，若立柱EF的長(zhǎng)為0.28米，則拱高OC為_____米例題5．（2022·貴州黔西·中考真題）如圖，是一名男生推鉛球時(shí)，鉛球行進(jìn)過(guò)程中形成的拋物線．按照?qǐng)D中所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是，則鉛球推出的水平距離OA的長(zhǎng)是_____m．例題6．（2021·浙江·溫州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）某大樓前廣場(chǎng)有一噴水池，水從地面噴出，噴出水的路徑是一條拋物線．如果以水平地面為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，水在空中畫出的曲線是拋物線的一部分，則水噴出的水平距離最大為________米．例題7．（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，一個(gè)圓形噴水池的中央豎直安裝了一個(gè)柱形噴水裝置OA，A處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，按如圖所示的直角坐標(biāo)系，水流噴出的高度y（m）與水平距離x（m）之間的關(guān)系式是（x＞0）．(1)柱子OA的高度是______米；(2)若不計(jì)其他因素，水池的半徑至少為多少米，才能使噴出的水流不至于落在池外？例題8．（2022·甘肅蘭州·中考真題）擲實(shí)心球是蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項(xiàng)目．如圖1是一名女生投擲實(shí)心球，實(shí)心求行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，拋出時(shí)起點(diǎn)處高度為，當(dāng)水平距離為3m時(shí)，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)3m處．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)根據(jù)蘭州市高中階段學(xué)校招生體有考試評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（女生），投擲過(guò)程中，實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離大于等于6.70m，此項(xiàng)考試得分為滿分10分．該女生在此項(xiàng)考試中是否得滿分，請(qǐng)說(shuō)明理由．同類題型演練1．（2021·湖北·武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校（武漢實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）九年級(jí)階段練習(xí)）河北省趙縣的趙州橋的橋拱是近似的拋物線形，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其函數(shù)關(guān)系式為y＝x2，當(dāng)水面離橋拱頂?shù)母叨菵O是4m時(shí)，這時(shí)水面寬度AB為（）A．4m B．10m C．20m D．8m2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某地要建造一個(gè)圓形噴水池，在水池中央垂直于地面安裝一個(gè)柱子恰為水面中心，安置在柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，在過(guò)的任一平面上，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），水流噴出的高度與水平距離之間的關(guān)系式是，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．柱子的高度為B．噴出的水流距柱子處達(dá)到最大高度C．噴出的水流距水平面的最大高度是D．水池的半徑至少要才能使噴出的水流不至于落在池外3．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，一小球從斜坡點(diǎn)處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫．則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)小球達(dá)到最高處時(shí)，它離斜坡的豎直距離是B．當(dāng)小球落在斜坡上時(shí)，它離點(diǎn)的水平距離是C．小球在運(yùn)行過(guò)程中，它離斜坡的最大豎直距離是D．該斜坡的坡度是：4．（2021·山東·青島大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大高度為16m，跨度為40m．現(xiàn)將它的